Trigonometrische Funktionen/Einfluss von a und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|[[File:Area under function.png|right]]Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden.
===FAQ===
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]


===Einfluss von a===
Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:Dickesen Dickesen]) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.




Wir betrachten nun den Einfluss von <math> a </math> in


:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>.
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|left|verweis=Mathematik-digital]]
{{Box|1=Aufgabe A1|2=
|Lernpfad}}
<ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> <br>
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> a </math> ändern. <br>
# Stelle den Schieberegler auf <math> a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> a = 3  </math> und <math> a = -1 </math> sowie <math> a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer:
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestreckt.
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestaucht.
* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>x</math>-Achse gespiegelt.
Der Betrag von <math> a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}}  
</span>


[[Bild:N_sin_a.jpg|center]]
'''Hinweise''':
[[Bild:N_sin_a-.jpg|center]]
}}


Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich erst nach eigenständiger Bearbeitung dazu rate! <br>
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!


{{Box|1=Aufgabe A2|2=


Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
'''So, jetzt geht's aber los! '''Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:
|3=Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Aufgabe 1|2=
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit <math>v</math> des Hundes, wobei positives <math>v</math> die Bewegung nach rechts, negatives <math>v</math> die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit <math>v</math> wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit <math>t</math> in Sekunden (s) gemessen.


'''Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.''' <br>
<center>[[Bild:Diagramm_Hund.jpg]]</center>


Eine mögliche formale Begründung:
'''Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:''' <br>  
 
<math>a\cdot \sin x = 0</math> mit <math>a\neq 0</math>
 
<math>\Leftrightarrow \sin x = 0</math>
d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist der Betrag dieses Faktors größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe A3|2=
 
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
 
 
<quiz display="simple">
}
| <math>a<-1; </math> | <math> -1<a<0; </math> | <math> 0<a<1; </math> | <math> 1<a</math>
 
---- Verschiebung nach oben
---- Verschiebung nach unten
---- Verschiebung nach rechts
---- Verschiebung nach links
---- Streckung in <math> x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
---- Stauchung in <math> x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
+--+ Streckung in <math> y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
-++- Stauchung in <math> y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
++-- Spiegelung an <math> x </math>- Achse
 
</quiz>


'''a)''' In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links? {{Lösung versteckt|Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>0 \leq t \leq 8</math> &nbsp; und &nbsp; <math>13 \leq t \leq 16.</math> <br>
Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>9 \leq t \leq 13</math> &nbsp; und &nbsp; <math>16 \leq t \leq 28.</math>
}}
'''b)''' Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?
{{Lösung versteckt|Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 5.</math> <br>
Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 25.</math>
}}
'''c)''' Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?{{Lösung versteckt|
Bewegung nach rechts: <br>
Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 5 \ ; \ 13 \leq t \leq 15</math> <br>
Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>5 \leq t \leq 8 \ ; \ 15 \leq t \leq 16</math>
<br>
Bewegung nach links: <br>
Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 12 \ ; \ 16 \leq t \leq 25</math> <br>
Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>12 \leq t \leq 13 \ ; \ 25 \leq t \leq 28</math>
}}
'''d)''' Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum  Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat. {{Lösung versteckt|
Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m. <br>
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.
}}
'''e)''' Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?{{Lösung versteckt|
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
}}
'''f)''' Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns? {{Lösung versteckt|
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Fortsetzung|weiter=Vorüberlegungen|weiterlink=/Vorüberlegungen}}




Nun betrachten wir den Einfluss von <math> a </math> in
{{Lernpfad Integral}}
 
:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x  </math>.
 
 
{{Box|1=Aufgabe A4|2=
 
<ggb_applet height="450" width="900" id="k8rxjyxa" />  <br>
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe A1 noch einmal für <math>cos</math>.
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> a </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
[[Bild:N_cos_a.jpg|center]]
}}
 
 
----
 
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe A1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!
 
----


{{Fortsetzung|weiter=Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}}
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]

Version vom 23. April 2022, 16:28 Uhr

Lernpfad
Area under function.png
Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden.

Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.


Logo Mathematik-digital 2011.png

Hinweise:

Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich erst nach eigenständiger Bearbeitung dazu rate!
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst.
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!


So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:

Aufgabe 1

Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit des Hundes, wobei positives die Bewegung nach rechts, negatives die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit in Sekunden (s) gemessen.

Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.

Diagramm Hund.jpg

Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:

a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links?

Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für     und  
Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für     und  

b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?

Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für
Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für

c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?

Bewegung nach rechts:
Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen:
Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen:
Bewegung nach links:
Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen:
Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen:

d) Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat.

Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m.
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.

e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?

Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse unterhalb der x-Achse!

f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns?

Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse etwas größer ist als derjenige unterhalb der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.

Vorüberlegungen


Area under function.png

Integralrechnung

  1. Vorüberlegungen
  2. Ober- und Untersumme
  3. Flächen bestimmen
  4. Bestimmtes Integral
  5. Flächeninhaltsfunktion
  6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
  7. Stammfunktion
  8. Aufgaben
  9. Hauptsatz
  10. Integrationsregeln
  11. Aufgaben II

Mathematik-digital.de

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