{{Box|Aufgabe| [[Datei:Cologne Germany KölnTriangle-Tower-02.jpg|links|mini]] In Köln Deutz steht der sogenannte Köln-Triangle, ein Turm mit ganz besonderer Form. Der 103,20 m große Turm hat 29 Etagen und auf dem Dach eine Aussichtsplattform.
{{Box|Aufgabe
|[[Datei:Torwart.png|mini]]Ein guter Torhüter zeichnet sich durch sein Stellungsspiel bei gegnerischen Angriffen aus. Es ist entscheidend, dass er bei einem Angriff die ideale Position einnimmt und dadurch dem gegnerischen Spieler den Torschuss erschwert. Wie du im unterstehenden Video sehen kannst, bewegt sich ein gegnerischer Spieler frontal auf das Tor zu und setzt zum Schuss an.
Neben Etagen mit Veranstaltungsräumen und Restaurants gibt es auch einige Etagen, die sich Geschäftsleute als Büros mieten können.
'''Gib dem Torwart eine Empfehlung, wie er sich positionieren sollte.'''
Unten in dem GeoGebra-Applet siehst du einen Grundriss einer solchen Büro-Etage, die Aufzüge, das Treppenhaus und die Toiletten abbildet.
[[Datei:VideoTorschuss.mp4|zentriert|600x600px]]
'''Wie viele Quadratmeter hat eine Büro-Etage?'''|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}
{{Box|Merke|Da Modellierungsaufgaben häufig einen langen Aufgabentext mit sich bringen, bei dem man erst einmal herausfiltern muss, welche Informationen wichtig sind und welche noch fehlen, ist es sinnvoll, die '''Aufgabenstellung mehrfach zu lesen'''. Dabei kann man bei Texten auf dem Papier wichtige Stellen markieren oder '''Notizen anfertigen''' (z. B. im Hefter [[Datei:Notepad-117597.svg|43x43px]]). So versteht man die Fragestellung auch besser und entdeckt, welche Annahmen man noch treffen muss, um die Aufgabe zu lösen.
{{Box|Merke|Um einen mathematischen Ansatz zu finden oder die Aufgabe zu verstehen, ist es bei solchen problemorientierten und realitätsbezogenen Aufgaben sinnvoll, zunächst eine '''Skizze''' anzufertigen. Nutze dazu deinen Hefter ([[Datei:Notepad-117597.svg|43x43px]]). Versuche dabei auch, die Skizze zu beschriften. Die Skizze muss natürlich nicht exakt maßstabsgetreu sein und dient auch nicht dazu, das Ergebnis zu ermitteln, sondern eher, '''um einen Ansatz zu finden'''.
}}
{{Box|Merke|Wie du bei der letzten Aufgabe (Schlosspark) gelernt hast, erfordern Modellieungsaufgaben das Durchlaufen von verschiedenen Teilschritten. Dabei ist es nützlich, wenn man sich an einem sogenannten '''Lösungsplan''' orientiert, um den gesamten Lösungsprozess besser zu überblicken und kleinere Teilschritte zu betrachten, wenn man nicht weiterkommt. Die einzelnen Teilschritte hast du in der Aufgabe Schlosspark bereits kennengelernt. Hier sind sie noch einmal im Überblick dargestellt:
Im Lösungsplan, den du bei der Aufgabe ''Tower'' kennengelernt hast, lässt sich das Erstellen einer Skizze bei Schritt 1 einordnen.
[[Datei:Loesungsplan.png]]|Merksatz
[[Datei:Loesungsplan.png]]|Merksatz
}}
}}
Löse nun die Aufgabe, indem du den Angriff mit GeoGebra modellierst.
[[Datei:Notepad-117597.svg|links|43x43px]] Bearbeite in deinem Hefter folgende Aufträge:
[[Datei:Notepad-117597.svg|links|43x43px]] Bearbeite in deinem Hefter folgende Aufträge:
*Benenne, wie viele Quadratmeter eine solche Büro-Etage hat!
*Beschreibe, wie sich der Torhüter platzieren sollte!
*Beschreibe dein Vorgehen in GeoGebra!
*Beschreibe dein Vorgehen in GeoGebra!
{{Lösung versteckt|
Im Video ist zu sehen, dass die Torhüterposition nicht statisch, sondern dynamisch ist. Es wird also eine Regel für die bestmögliche Positionierung gesucht. Man kann annehmen, dass nur die Schussposition des Angreifers für das Stellungsspiel des Torhüters von Bedeutung ist und außerdem wird von einem flachen Schuss ausgegangen. Außerdem wird angenommen, dass der Angreifer perfekt geradeaus läuft. Die Armspannweite des Torhüters beträgt 2 m und das Tor ist ungefähr 7,3 Meter breit. <br \>
{{Lösung versteckt|
Es soll die graue Fläche der Etage berechnet werden. Das Büromobiliar sowie die (Stell-)Wände sind nicht zu beachten. Der mittig Kreis wird als Treppenhaus angesehen und daher nicht mitgerechnet. Die Bürofläche wird durch ein Vieleck angenähert. Die untere Linie der Fläche wird als Balustrade angenommen und nicht berücksichtigt. Um den Maßstab zu bestimmen, kann man zum Beispiel eine Türbreite nehmen, welche auf 80 cm geschätzt wird. <br \>
[[Datei:TorschussLoesung.png|links|mini]] So könnte ein Ausschnitt des GeoGebra-Applets aussehen. Daraus lässt sich erkennen, dass man eine allgemeine Regel mit Hilfe des Strahlensatzes ableiten kann (T steht für Torwart und B für Ball): <br \>
[[Datei:Triangle Loesung.png|links|mini]] So könnte ein Ausschnitt des GeoGebra-Applets aussehen. Die Fläche wird durch ein Vieleck angenähert. Die Flächen werden berechnet und die Kreisfläche der Etage abgezogen. Dabei muss der Maßstab berücksichtigt werden: <br \>
Und somit erhält man <math> |\overline{BT}| \approx 0,27 \cdot |\overline{BH}|</math>. <br \>
Ein Unternehmer erhält also circa 650 m<sup>2</sup> Bürofläche, wenn er eine Etage des Towers anmietet.<br \>
Der Torhüter muss seine Position also an die Schussposition des Angreifers anpassen. Dabei sollte der Abstand zwischen Torhüter und Angreifer beim Torschuss ungefähr ein Viertel des Abstandes zwischen Angreifer und Tormittelpunkt betragen.<br \>
Das Ergebnis klingt plausibel: Bei 15 Büroräumen, die man auf dem Grundriss schätzen kann, würden sich Büros mit je ca. 43 m<sup>2</sup> ergeben, was ein realistisches Maß sein könnte. Zudem liegt das Ergebnis nah an den im Internet angegebenen 640 m<sup>2</sup>. Die 10 m<sup>2</sup> Unterschied könnten Messfehler oder Rundungsfehler sein. Auch ist fraglich, ob wirklich der gesamte Kreis ausgespart werden sollte. Im unteren Bereich scheinen Toiletten zu sein, die man eventuell mit mieten würde.
Es wurde nicht berücksichtigt, dass der Angreifer taktieren könnte, indem er beispielsweise den Ball über den Torhüter hinweg lupft oder nicht perfekt gerade auf das Tor zuläuft.
Ein guter Torhüter zeichnet sich durch sein Stellungsspiel bei gegnerischen Angriffen aus. Es ist entscheidend, dass er bei einem Angriff die ideale Position einnimmt und dadurch dem gegnerischen Spieler den Torschuss erschwert. Wie du im unterstehenden Video sehen kannst, bewegt sich ein gegnerischer Spieler frontal auf das Tor zu und setzt zum Schuss an.
Gib dem Torwart eine Empfehlung, wie er sich positionieren sollte.
Video laden
Lokale Datei sammelt möglicherweise persönliche Daten.
Merke
Um einen mathematischen Ansatz zu finden oder die Aufgabe zu verstehen, ist es bei solchen problemorientierten und realitätsbezogenen Aufgaben sinnvoll, zunächst eine Skizze anzufertigen. Nutze dazu deinen Hefter (). Versuche dabei auch, die Skizze zu beschriften. Die Skizze muss natürlich nicht exakt maßstabsgetreu sein und dient auch nicht dazu, das Ergebnis zu ermitteln, sondern eher, um einen Ansatz zu finden.
Im Lösungsplan, den du bei der Aufgabe Tower kennengelernt hast, lässt sich das Erstellen einer Skizze bei Schritt 1 einordnen.
Löse nun die Aufgabe, indem du den Angriff mit GeoGebra modellierst.
Bearbeite in deinem Hefter folgende Aufträge:
Beschreibe, wie sich der Torhüter platzieren sollte!
Beschreibe dein Vorgehen in GeoGebra!
Im Video ist zu sehen, dass die Torhüterposition nicht statisch, sondern dynamisch ist. Es wird also eine Regel für die bestmögliche Positionierung gesucht. Man kann annehmen, dass nur die Schussposition des Angreifers für das Stellungsspiel des Torhüters von Bedeutung ist und außerdem wird von einem flachen Schuss ausgegangen. Außerdem wird angenommen, dass der Angreifer perfekt geradeaus läuft. Die Armspannweite des Torhüters beträgt 2 m und das Tor ist ungefähr 7,3 Meter breit.
So könnte ein Ausschnitt des GeoGebra-Applets aussehen. Daraus lässt sich erkennen, dass man eine allgemeine Regel mit Hilfe des Strahlensatzes ableiten kann (T steht für Torwart und B für Ball):
Und somit erhält man .
Der Torhüter muss seine Position also an die Schussposition des Angreifers anpassen. Dabei sollte der Abstand zwischen Torhüter und Angreifer beim Torschuss ungefähr ein Viertel des Abstandes zwischen Angreifer und Tormittelpunkt betragen.
Es wurde nicht berücksichtigt, dass der Angreifer taktieren könnte, indem er beispielsweise den Ball über den Torhüter hinweg lupft oder nicht perfekt gerade auf das Tor zuläuft.
Cookies helfen uns bei der Bereitstellung von ZUM-Unterrichten. Durch die Nutzung von ZUM-Unterrichten erklärst du dich damit einverstanden, dass wir Cookies speichern.
). Versuche dabei auch, die Skizze zu beschriften. Die Skizze muss natürlich nicht exakt maßstabsgetreu sein und dient auch nicht dazu, das Ergebnis zu ermitteln, sondern eher, um einen Ansatz zu finden.
