Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Wiederholung Binomialverteilung und Symmetrie - Mathematik trifft Kunst/Kunstwerke analysieren – Punktsymmetrie erkennen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Johannes K. WWU-9
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<br>Hier wiederholst du nochmal kurz die wichtigsten Inhalte der Binomialverteilung.<br><br> 
{{Box
{{Box|Übung 1: Grundlagen der Binomialverteilung|2=
|1=Info
Fülle den Lückentext aus!
|2=In diesem Lernpfadkapitel wirst du
<div class="lueckentext-quiz">
* Punktsymmetrie kennenlernen,
* lernen punktsymmetrische Figuren zu erkennen
* und erfahren, wie du einen Symmetriepunkt bestimmst.


Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man ''' Bernoulli-Experiment'''. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt, und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine '''Bernoulli-Kette''' der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die '''Formel von Bernoulli''' (<math>P(X=k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}</math>) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt '''Binomialverteilung''' mit den Parametern n und p. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige '''Verteilungsfunktion''', für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise <math>P(X\leq k)</math> üblich ist. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten werden wie folgt berechnet: <math>P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)</math>
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}


</div>|3=Arbeitsmethode
 
==Einführung==
===Erdbeben im Museum===
 
{{Box | Aufgabe 1: Erdbeben im Museum |
Im Kunstmuseum Münster gab es ein Erdbeben. Alle Werke sind dabei von den Wänden gefallen. Der Museumsdirektor ist verzweifelt, er weiß nicht wie sie aufgehängt waren. Hilf ihm, die Gemälde richtig aufzuhängen.
 
Schneide dazu die Bilder auf dem Arbeitsblatt aus und überlege, wie die Bilder aufgehängt werden können.
Beschreibe auf deinem Arbeitsblatt, was dir auffällt.[[Datei:Erdbeben im Museum.jpg|center]]
<br />
| Arbeitsmethode | Farbe ={{Farbe | orange}}
}}
}}
<br><br>
===Kunstwerke auf den Kopf stellen===
Vor allem der Umgang mit kumuliertern Wahrscheinlichkeiten und die grafische Anschauung der Binomialverteilung sind wichtig für die Durchführung eines Signifikanztests. Prüfe und wiederhole dein Können dazu in Übung 2.  
 
{{Box | Aufgabe 2: Kunstwerke auf den Kopf stellen |
Hier siehst du eine Reihe von Kunstwerken. Indem du die Schieberegler links neben den jeweiligen Kunstwerken von links nach rechts schiebst, kannst du die Kunstwerke um einen Punkt drehen, bis sie auf den Kopf stellen.


{{Box|1=Übung 2: Grafische Anschauung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten|2=
Beschreibe auf deinem Arbeitsblatt was sich verändert, wenn du die jeweiligen Kunstwerke auf den Kopf stellst.
Es werden 1000 Menschen in Deutschland befragt, ob sie den Klimawandel als Bedrohung ansehen.<br>  
<br /><ggb_applet id="sduhzeqf" width="800" height="500"></ggb_applet>
a) Skizziere die zugehörige Binomialverteilung, wenn 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen.
| Arbeitsmethode | Farbe ={{Farbe | orange}}
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Lösung .png|300px]]
}}
}}
Bereche folgende Wahrscheinlichkeiten!<br><br>
 
b) Das in der Stichprobe '''genau''' 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
{{Box | Aufgabe 3: Tims Erkenntnis |
{{Lösung versteckt|1=Nutze die Formel von Bernoulli!<br> Gib im Taschenrechner die Funktion binompdf(n,p,k)ein.<br> '''n''' die Anzahl der Versuche(Befragungen), '''p''' die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und '''k''' die Anzahl der Treffer.
Tim hat die Aufgaben auch gelöst, vergleiche deine Notizen mit seiner Erkenntnis.
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
[[Datei:Sprechblase- Mathe trifft Kunst.png|center]]
{{Lösung versteckt|1=
 
<math>P(X=710)=\tbinom{1000}{710}\cdot 0,71^{710}\cdot0,29^{290}</math><math>=0,0278</math>.<br>
Ordne die Kunstwerke danach, ob sich diese verändern oder gleich bleiben, nachdem du sie auf den Kopf stellst.
In den Taschrenrechner wurde zur Berechnung folgende Funktion eingegeben binomcdf (1000, 0.71, 710).<br>
 
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Hinweis: Zum Überprüfen deiner Lösung drücke auf das blaue Häkchen.
 
 
{{LearningApp|app=pa24b8obn21|width=100%|height=400px}}
| Arbeitsmethode | Farbe ={{Farbe | orange}}
}}
}}


c) Das '''höchstens''' 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
'''Wir haben gesehen, dass einige Kunstwerke sich nicht verändern, wenn man sie auf den Kopf stellt.'''
{{Lösung versteckt|1= Höchtes heißt es können 1,2,3, ...680 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.<br>
 
Nutze zur Berechnung die Formel für die kumulierten Wahrscheinlichkeit (siehe Übung 1).<br> In dem Taschenrechner kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeiten über die Funktion binomcdf(n,p,k)berechnen.  
'''Diese Entdeckung wollen wir nun mathematisch festhalten:'''
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
 
<br />{{Box | Merksatz - Punktsymmetrie|
Wenn eine Figur auf den Kopf gedreht (180°-Drehung) genauso aussieht wie vorher, so nennt man sie '''punktsymmetrisch'''.
Der Punkt, um den du die Figur drehst, heißt '''Symmetriepunkt S'''.
| Merksatz }}
 
 
==Übungen==
===Symmetriepunkt überprüfen===
 
'''Nicht alles lässt sich einfach so auf den Kopf stellen. Wie du in einem solchen Fall Punktsymmetrie trotzdem überprüfen kannst, lernst du mit der nächsten Aufgabe.'''
 
{{Box | Methode: Punktsymmetrie überprüfen|Jede punktsymmetrische Figur hat einen Symmetriepunkt. <br>Um zu überprüfen, ob ein gewählter Punkt der Symmetriepunkt S ist, benötigst du ein Geodreieck. Lege dieses mit dem Nullpunkt an den vermuteten Symmetriepunkt an. <br>Haben zwei Punkte A und A' denselben Abstand zum Punkt S, so ist das der Symmetriepunkt und die Figur somit punktsymmetrisch.
[[Datei:Andreaskreuz mit falschem Symmetriepunkt.jpg|mini|links|400px|Ein Verkehrsschild mit einem markiertem Punkt, der der Symmetriepunkt sein könnte.]] [[Datei:Andreaskreuz mit falschem Symmetriepunkt und Geodreieck.jpg|mini|rechts|400px|Nach Anlegen des Geodreiecks siehst du, dass der Punkt A keinen Spiegelpunkt auf der Figur hat. Deshalb kann der Punkt S nicht der Symmetriepunkt sein.]]
_________________________________________________________________________________________________________________________________
<br>[[Datei:Andreaskreuz mit richtigem Symm.punkt.jpg|mini|links|400px|Wählen wir nun einen anderen Punkt, welcher der Symmetriepunkt sein könnte.]][[Datei:Andreaskreuz mit richtigem S und Geodreieck.jpg|mini|rechts|400px|Mit dem angelegten Geodreieck erkennt man, dass die Punkte A und A' denselben Abstand zum Punkt S haben (7cm). Also ist der Punkt S der Symmetriepunkt.]]| Hervorhebung1}}
 
{{Box | Aufgabe 4: Punktsymmetrie mit dem Geodreieck erkennen |
Bestimme bei den Bildern auf dem Arbeitsblatt mit dem Geodreieck, welcher der eingezeichneten Punkte der Symmetriepunkt ist.
 
Mithilfe des versteckten Applets kannst du überprüfen, ob deine Lösung richtig ist.
Klicke einfach auf das Bild und dann die richtige Farbe an.
 
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Hinweis: Indem du auf das Bild klickst, kannst du es vergrößern.
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206</math><br>
<br>Bild 1: Grüner Punkt
In den Taschenrechner wurde zur Berechnung die Funktion binomcdf(1000, 0.71, 680) eingegeben.<br>
<br>Bild 2: Blauer Punkt
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06 %
<br>Bild 3: Roter Punkt
}}
<br>Bild 4: Grüner Punkt
<br>Bild 5: Blauer Punkt
<br>Bild 6: Roter Punkt
|2=Lösungen zeigen|3=Lösungen verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
_________________________________________________________________________________________________________________________________
 
===Symmetriepunkt außerhalb einer Figur bestimmen===
'''Bisher lag der Symmetriepunkt S immer innerhalb der Figur. Jedoch kann er auch außerhalb liegen.'''
[[Datei:Gespiegeltes Dreieck.jpg|center|600px|]]
Hier siehst du eine Beispiel, bei dem der Symmetriepunkt S außerhalb der Figur liegt.


d) Das '''mindestens''' 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
{{Box | Aufgabe 5: Punktsymmetrie außerhalb der Figur |
{{Lösung versteckt|1= Wahrscheinlichkeiten für mindetstens werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:<br> '''P(mindestens k)= 1 - P(höchstens k - 1)'''<br> Die Wahrscheinlichkeit für höchstens kannst du wieder mit der Funktion  binomcdf(n,p,k)berechnen.
Bestimme den Symmetriepunkt  mithilfe der obengenannten Methode.
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
Auf deinem Arbeitsblatt kannst du die Methode anwenden.
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus punktsymmetrisch.jpg|center]]
<math>P(X\geq740)= 1-P(X\leq739)=0,0191</math><br>
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Haus Spiegelung mit Punkt und Strecken.jpg|center]] |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
In den Taschenrechner berechnest du es wie folgt: 1- binomcdf(1000, 0.71, 739)<br>
| Arbeitsmethode}}
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.
}}


|3=Arbeitsmethode}}
{{Box
|1=Info
|2=Super, du hast alle Aufgaben bearbeitet.
Du kennst jetzt
* die zentralen Merkmale von punktsymmetrischen Figuren
* und das Verfahren, wie du einen Symmetriepunkt innerhalb und außerhalb einer Figur bestimmen kannst.
|3=Kurzinfo}}


'''Super gemacht! Dann geht es jetzt weiter mit dem Signifikanztest! '''
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Mathematik_trifft_Kunst}}{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
{{Fortsetzung|weiter=Grundidee vom Signifikanztest|weiterlink=Grundidee_vom_Signifikanztest}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Version vom 19. November 2021, 14:11 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel wirst du

  • Punktsymmetrie kennenlernen,
  • lernen punktsymmetrische Figuren zu erkennen
  • und erfahren, wie du einen Symmetriepunkt bestimmst.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!


Einführung

Erdbeben im Museum

Aufgabe 1: Erdbeben im Museum

Im Kunstmuseum Münster gab es ein Erdbeben. Alle Werke sind dabei von den Wänden gefallen. Der Museumsdirektor ist verzweifelt, er weiß nicht wie sie aufgehängt waren. Hilf ihm, die Gemälde richtig aufzuhängen.

Schneide dazu die Bilder auf dem Arbeitsblatt aus und überlege, wie die Bilder aufgehängt werden können.

Beschreibe auf deinem Arbeitsblatt, was dir auffällt.
Datei:Erdbeben im Museum.jpg


Kunstwerke auf den Kopf stellen

Aufgabe 2: Kunstwerke auf den Kopf stellen

Hier siehst du eine Reihe von Kunstwerken. Indem du die Schieberegler links neben den jeweiligen Kunstwerken von links nach rechts schiebst, kannst du die Kunstwerke um einen Punkt drehen, bis sie auf den Kopf stellen.

Beschreibe auf deinem Arbeitsblatt was sich verändert, wenn du die jeweiligen Kunstwerke auf den Kopf stellst.


GeoGebra

Aufgabe 3: Tims Erkenntnis

Tim hat die Aufgaben auch gelöst, vergleiche deine Notizen mit seiner Erkenntnis.

Datei:Sprechblase- Mathe trifft Kunst.png

Ordne die Kunstwerke danach, ob sich diese verändern oder gleich bleiben, nachdem du sie auf den Kopf stellst.

About icon (The Noun Project).svg Hinweis: Zum Überprüfen deiner Lösung drücke auf das blaue Häkchen.


Wir haben gesehen, dass einige Kunstwerke sich nicht verändern, wenn man sie auf den Kopf stellt.

Diese Entdeckung wollen wir nun mathematisch festhalten:


Merksatz - Punktsymmetrie

Wenn eine Figur auf den Kopf gedreht (180°-Drehung) genauso aussieht wie vorher, so nennt man sie punktsymmetrisch. Der Punkt, um den du die Figur drehst, heißt Symmetriepunkt S.


Übungen

Symmetriepunkt überprüfen

Nicht alles lässt sich einfach so auf den Kopf stellen. Wie du in einem solchen Fall Punktsymmetrie trotzdem überprüfen kannst, lernst du mit der nächsten Aufgabe.

Methode: Punktsymmetrie überprüfen

Jede punktsymmetrische Figur hat einen Symmetriepunkt.
Um zu überprüfen, ob ein gewählter Punkt der Symmetriepunkt S ist, benötigst du ein Geodreieck. Lege dieses mit dem Nullpunkt an den vermuteten Symmetriepunkt an.
Haben zwei Punkte A und A' denselben Abstand zum Punkt S, so ist das der Symmetriepunkt und die Figur somit punktsymmetrisch.

Datei:Andreaskreuz mit falschem Symmetriepunkt.jpg
Ein Verkehrsschild mit einem markiertem Punkt, der der Symmetriepunkt sein könnte.
Datei:Andreaskreuz mit falschem Symmetriepunkt und Geodreieck.jpg
Nach Anlegen des Geodreiecks siehst du, dass der Punkt A keinen Spiegelpunkt auf der Figur hat. Deshalb kann der Punkt S nicht der Symmetriepunkt sein.

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Datei:Andreaskreuz mit richtigem Symm.punkt.jpg
Wählen wir nun einen anderen Punkt, welcher der Symmetriepunkt sein könnte.
Datei:Andreaskreuz mit richtigem S und Geodreieck.jpg
Mit dem angelegten Geodreieck erkennt man, dass die Punkte A und A' denselben Abstand zum Punkt S haben (7cm). Also ist der Punkt S der Symmetriepunkt.

Aufgabe 4: Punktsymmetrie mit dem Geodreieck erkennen

Bestimme bei den Bildern auf dem Arbeitsblatt mit dem Geodreieck, welcher der eingezeichneten Punkte der Symmetriepunkt ist.

Mithilfe des versteckten Applets kannst du überprüfen, ob deine Lösung richtig ist. Klicke einfach auf das Bild und dann die richtige Farbe an.

About icon (The Noun Project).svg Hinweis: Indem du auf das Bild klickst, kannst du es vergrößern.


Bild 1: Grüner Punkt
Bild 2: Blauer Punkt
Bild 3: Roter Punkt
Bild 4: Grüner Punkt
Bild 5: Blauer Punkt


Bild 6: Roter Punkt

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Symmetriepunkt außerhalb einer Figur bestimmen

Bisher lag der Symmetriepunkt S immer innerhalb der Figur. Jedoch kann er auch außerhalb liegen.

Datei:Gespiegeltes Dreieck.jpg

Hier siehst du eine Beispiel, bei dem der Symmetriepunkt S außerhalb der Figur liegt.

Aufgabe 5: Punktsymmetrie außerhalb der Figur

Bestimme den Symmetriepunkt mithilfe der obengenannten Methode. Auf deinem Arbeitsblatt kannst du die Methode anwenden.

Datei:Haus punktsymmetrisch.jpg
Datei:Haus Spiegelung mit Punkt und Strecken.jpg

Info

Super, du hast alle Aufgaben bearbeitet. Du kennst jetzt

  • die zentralen Merkmale von punktsymmetrischen Figuren
  • und das Verfahren, wie du einen Symmetriepunkt innerhalb und außerhalb einer Figur bestimmen kannst.
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