Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
Main>Jan Wörler |
Main>Hans-Georg Weigand |
||
(21 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | ||
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div> | '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div> | ||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
Zeile 8: | Zeile 8: | ||
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 === | === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 === | ||
<ggb_applet height="300" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" /> | |||
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | ||
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | # Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | ||
Zeile 20: | Zeile 19: | ||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
: | : Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden, | ||
}} | |||
}} | }} | ||
== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze == | == Exponenten, Brüche und Potenzgesetze == | ||
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. | Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang: | ||
:''Für eine reelle Zahl <math>a</math> und eine natürliche Zahl <math>n</math> wird definiert:'' | :''Für eine reelle Zahl <math>a</math> und eine natürliche Zahl <math>n</math> wird definiert:'' | ||
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math> | :<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math> | ||
Zeile 46: | Zeile 41: | ||
''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.'' | ''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.'' | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M =</math>''IR<sup>+</sup>''.<br /> | :Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup><sub>o</sub> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M =</math>''IR<sup>+</sup>''u {0}.<br /> | ||
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' auf die Funktion ''f''.}} | :Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' auf die Funktion ''f''.}} | ||
}} | }} | ||
Zeile 101: | Zeile 96: | ||
}} | }} | ||
== Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S" == | == *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip == | ||
<small>freiwillig</small> | |||
Die "5 S" lauten: | |||
* Spiegeln | * Spiegeln | ||
* Strecken | * Strecken | ||
Zeile 109: | Zeile 106: | ||
* Superponieren | * Superponieren | ||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="10_axminuas1nc.ggb" /> | |||
== | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | ||
Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an und beantworte dann die folgenden Fragen: | |||
# Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er? | |||
# Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich? | |||
# Wo gehen die Variationsmöglichkeiten über die im Video vorgestellten hinaus? | |||
}} | |||
== Mit Funktionen malen == | == *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen == | ||
<small>(freiwillig)</small> | |||
{| | {| | ||
|<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /><br /><br /> | |<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /><br /><br /> | ||
Zeile 123: | Zeile 123: | ||
:<math>f(x)=a\cdot x^q</math> | :<math>f(x)=a\cdot x^q</math> | ||
mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt. | mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt. | ||
<br /> | |||
<br /> | |||
Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen: | Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen: | ||
# Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert? | |||
# Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut.<br />Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind. | # Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut.<br />Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind. | ||
# Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden? | # Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden? | ||
Zeile 133: | Zeile 134: | ||
| | | | ||
[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei | [[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]] | ||
[[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]] | [[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]] | ||
[[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]] | [[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]] | ||
|} | |} |
Version vom 21. Februar 2009, 20:50 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: .
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
- Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
- für
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
Vorlage:Arbeiten |
Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Beispiel
Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von .
ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist: Vertauschen von und ergibt schließlich die gesuchte Funktion: . |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Beispiel
Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .
Auflösen nach ergibt: |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Hinweis: man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von und !
Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1
Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.
Zusammenfassung
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart mit sind Potenzfunktionen der Bauart
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart mit sind Potenzfunktionen der Bauart .
*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip
freiwillig
Die "5 S" lauten:
- Spiegeln
- Strecken
- Stauchen
- Schieben
- Superponieren
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen
(freiwillig)
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form mit zusammengesetzt.
|