Main>Hans-Georg Weigand |
Main>Laura Klaus |
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| <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
| | {{Information_ohne_UploadWizard |
| '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div>
| | |Beschreibung = |
| | | |Quelle = |
| == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN ==
| | |Urheber = |
| | | |Datum = |
| Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br />
| | |Genehmigung = |
| '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>.
| | |Andere Versionen = |
| | | |Anmerkungen = |
| === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
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| <ggb_applet height="300" width="500" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />
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| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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| Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
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| # Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
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| #* Definitionsbereich
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| #* Symmetrie
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| #* Monotonie
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| #* größte und kleinste Funktionswerte
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| # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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| :{{Lösung versteckt|
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| : Die Definitionsbereiche der roten und blauen Funktionen sind nicht-negativ. Im Definitionsbereich der blauen Funktionen muss ferner auch die 0 ausgeschlossen werden,
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| }} | | }} |
| }}
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| == Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==
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| Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
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| :''Für eine reelle Zahl <math>a</math> und eine natürliche Zahl <math>n</math> wird definiert:''
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| :<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>
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| Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
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| :<font style="vertical-align:0%;"><math>x^{-\frac 1 n}</math></font><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>
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| {| cellspacing="10"
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| |- style="vertical-align:top;"
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| | {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
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| Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:<br>
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| ''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion''
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| <math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math>
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| ''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.''
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| :{{Lösung versteckt|
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| :Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup><sub>o</sub> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M =</math>''IR<sup>+</sup>''u {0}.<br />
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| :Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' auf die Funktion ''f''.}}
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| }}
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| |}
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| == Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==
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| === Beispiel ===
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| {|
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| |Es sei <math>g</math> eine Potenzfunktion, definiert durch <math>g(x)=x^{\frac 1 3}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>g</math>.
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| <math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>g</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br />
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| <math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
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| y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\
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| &=& x. &\,& && \end{matrix}</math>
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| Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> ergibt schließlich die gesuchte Funktion: <math>f(x)=x^3</math>.
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| |<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="w_x3_001.ggb" />
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| |}
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| === Beispiel ===
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| {|
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| |Es sei <math>f</math> eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit Definitionsbereich ID = IR<sup>+</sup>. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>.
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| Auflösen nach <math>x</math> ergibt:<br />
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| <math>\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\
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| y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\
| |
| &=& x^{-1}, && \\
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| &=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\
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| x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\
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| x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\
| |
| &=& y^{-3}.&& \end{matrix}</math>
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| |<ggb_applet height="300" width="300" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W_x3m_001.ggb" />
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| |}
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| ''Hinweis: man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von <math>f^{-1}</math> und <math>f(x)=x^{-1}</math>!''
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| === Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1 ===
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| Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].
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| === Zusammenfassung ===
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| Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x) = x^n.</math><br />
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| Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x) = x^{- \frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>.
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| {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
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| Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkerfunktion gibt?<br />
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| Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br />
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| {{Lösung versteckt| kommt noch }}
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| }}
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| == *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip ==
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| <small>freiwillig</small>
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| Die "5 S" lauten:
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| * Spiegeln
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| * Strecken
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| * Stauchen
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| * Schieben
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| * Superponieren
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| <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="10_axminuas1nc.ggb" />
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| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
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| Schau Dir dieses [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an und beantworte dann die folgenden Fragen:
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| # Wie findest Du das Video? Was macht der Vortragende gut, welche Fehler macht er?
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| # Welche der genannten Veränderungen kannst Du mit dem Applet erzielen? Welche der Parameter sind für welche Veränderung verantwortlich?
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| # Wo gehen die Variationsmöglichkeiten über die im Video vorgestellten hinaus?
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| }}
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| == *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen ==
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| <small>(freiwillig)</small>
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| {|
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| |<ggb_applet height="380" width="400" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="rosette.ggb" /><br /><br />
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| Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form
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| :<math>f(x)=a\cdot x^q</math>
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| mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt.
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| <br />
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| <br />
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| Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen:
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| # Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert?
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| # Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut.<br />Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
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| # Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
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| # Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?
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| # Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?
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| [[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.]]
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| [[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]]
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| [[Bild:rosette_3.png|thumb|frameless|right|250px| Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?]]
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| |}
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