Integralrechnung und Integralrechnung/Vorüberlegungen: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Nic3381
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Main>Dickesen
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Zeile 1: Zeile 1:
==kleine Einführung in die Integralrechnung==
==Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen==
{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}}Der folgende Lernpfad soll eine kleine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse der Jahrgangsstufe 12 im Fach Mathematik gegeben. <br><br>
{{Kasten_blau|Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.}}  
 
Der Lernpfad wurde im Rahmen der der zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Nicole Streil (Benutzername: Nic3381) mit Unterstützung von D.Jacobs (Benutzername:Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.}}
<br><br>
<br><br>
{{Frage|Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?}}
<br>
<div align="center">
Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!
</div>
<br>
Um der Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
<br>
{{Aufgaben-M|2|
Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>
Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!
}}
<br>
a) Konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)=5</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
<br><br>
<br><br>
{{Kasten_blau|Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich '''{{Schrift_grün|erst nach eigenständiger Bearbeitung}}''' dazu rate! <br>  
[[Bild:const_fkt.png|zentriert|500px]]
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
<br>
Alle Aufgaben sollen im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten werden. Alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich ins Heft übernehmen!}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 20.</math> <br>
Die Fläche ist rechteckig, also berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel <math>A = </math>  Breite <math>\cdot</math> Höhe. <br>
Die Breite ist dabei durch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> festgelegt, misst also
<math>x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4.</math> <br>
Die Höhe ist durch den (konstanten) Funktionswert <math>f(x)=5</math> festgelegt. <br>
Also: <math>A=4 \cdot 5 = 20.</math>
}}}}
<br>
b) Lineare, nicht-konstante Funktion: &nbsp; <math>f(x)= 0,5 x + 1</math> &nbsp; in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
<br><br>
<br><br>
So, jetzt kann es endlich losgehen. <br> <br>
[[Bild:lin_fkt.png|zentriert|500px]]
{{Aufgaben-M|1|
<br>
Eine Rangierlok wurde am Abend von Schaffner Paulsen am Mittleren von drei Signale abgestellt. Dieses Signal steht mittig auf dem Rangierbahnhof "Hasenweide". Am folgenden Tag soll Lokführer Knutsen die Funktionstüchtigkeit der Lok überprüfen, indem er ein paar Rangierübungen abfährt.<br><br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 12.</math> <br>
In folgender Tabelle sind die Geschwindigkeiten und die jeweiligen Zeiten angegeben.
Die Fläche lässt sich aufteilen in einen rechteckigen Teil ( Höhe <math> = y_1 = 2,</math> Breite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=8</math> <br>
}} <br>
und einen dreieckigen Teil ( Höhe <math> = y_2-y_1 = 2,</math> Grundseite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=4</math>. <br>
'''Die Lok startet zur Zeit t = 0 am Mittleren Signal.''' <br> <br>
Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>
 
<br>
 
{{Merke-M|
{| class="wikitable "
Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechteck- und Dreieckfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br>
|+ Tabelle Rangierübung
Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der  unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)! <br>
|- style="background: #DDFFDD;"
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.
! Zeit t[s]
[[Bild:Flaeche_mittelwert.png|zentriert|350px]]
! Geschwindigkeit v[m/s]
}}
|-
}}}}
| 0
<br>
| 0
c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine
|-
Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen: <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> &nbsp; in den Grenzen -8 und 10.<br>
| 4
| 10
|-
| 7
| 0
|-
| 9
| 0
|-
| 12
| -6
|-
| 14
| -7
|-
| 16
| -6
|-
| 18
| 0
|-
| 20
| 0
|-
| 22
| 5
|-
| 24
| 5
|-
| 26
| 0
|-
| 28
| -3
|-
| 30
| 0
|}
 
<br>  
Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort: <br> <br>
a) '''Skizziere den Graphen der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der Rangierlok!'''<br>
{{Lösung versteckt|[[Datei:Nic3381_Rangierlok3.JPG|500px]]}}<br><br>
b) '''In welchen Zeitabschnitten bewegt sich die Lok vorwärts  bzw. rückwärts?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Bewegung vorwärts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>0 \leq t \leq 7</math> &nbsp; und &nbsp; <math>20 \leq t \leq 25.</math> <br> <br>
Bewegung rückwärts wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>9 \leq t \leq 18</math> &nbsp; und &nbsp; <math>26 \leq t \leq 30.</math>
}}}}<br><br>
c)''' Wann hat die Lok die größte Geschwindigkeitvorwärts bzw. rückwärts erreicht?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Größte Geschwindigkeit vorwärts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 4.</math> <br>
Größte Geschwindigkeit rückwärts am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 14.</math>
}}}}<br><br>
d) '''Wann wird die Lok schneller, wann wird sie langsamer?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Bewegung '''vorwärts''': <br>
Lok wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 4 \ ; \ 20 \leq t \leq 22</math> <br>
Lok wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>4 \leq t \leq 7 \ ; \ 22 \leq t \leq 25</math>
<br><br>
<br><br>
Bewegung '''rückwärts''': <br>
[[Bild:flaeche_allgemein.png|zentriert|500px]]
Lok wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 14 \ ; \ 26 \leq t \leq 28</math> <br>
<br>
Lok wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>14 \leq t \leq 18 \ ; \ 28 \leq t \leq 30</math>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Man könnte die Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> in viele schmale Trapeze aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Trapezflächen (''Trapezsumme'') annähern.
}}}}<br><br>
<br>
e)''' Gib eine Schätzung für die Breite des Rangierbahnhofes an unter der Voraussetzung, dass die Lok zum  Zeitpunkt t = 7 das Endsignal und somit die Grundstücksgrenze erreicht hat.''' <br>
Das Ganze sähe dann mit <math>n = 6</math> gleich breiten Trapezstreifen folgendermaßen aus: <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
[[Bild:flaeche_allgemein_summen.png|zentriert|350px]]
Strecke vom mittleren Signal bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 35m. <br>
{{Merke-M|
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 70m.
Mathematisch sehr viel einfacher zu handhaben sind jedoch Rechteckflächen. Man unterscheidet ''Obersumme'' und ''Untersumme''. Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.
}}}}
<br>
f)''' Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der von der Lok zurückgelegten Strecke die Bahnhofsbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?''' <br>
[[Bild:flaeche_summen.png|zentriert|350px]]
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
}}
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke vorwärts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke rückwärts ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
}}}}<br><br>
g) '''Befindet sich die Lok nach 30 Sekunden vor oder hinter dem mittleren Signal?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich die Lok vor dem mittleren Signal.
}}}}
}}}}
<br><br><br>
<br><br><br>
<br><br><br>
<div align="center">
<div align="center">
[[Benutzer:Nic3381|Home]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung2|>>Weiter>>]]
[[Benutzer:Dickesen/Integral|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen/Integral3|>>Weiter>>]]
</div>
</div>
<br>
{{Kastendesign1|
BORDER = cornflowerblue|
BACKGROUND = cornflowerblue|
BREITE =100%|
INHALT=
[[Benutzer:Nic3381|Home]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung2|Vorüberlegungen]] &nbsp; &#124;  &nbsp;[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung3|Ober- und Untersumme]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung4|Flächen bestimmen]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung5|Bestimmtes Integral]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung6|Flächeninhaltsfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung6a|Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung7|Stammfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung8|Aufgaben]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung9|Hauptsatz]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung10|Integrationsregeln]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Nic3381/eine kleine Einführung in die Integralrechnung11|Aufgaben II]]
|
BILD=Erioll_world.png‎|24px|
ÜBERSCHRIFT=<div align="center">Navigation</div>|
}}
[[Kategorie:eine kleine Einführung in die Integralrechnung]]

Version vom 20. Oktober 2009, 06:58 Uhr

Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen

Vorlage:Kasten blau

Frage
Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?



Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!


Um der Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
Vorlage:Aufgaben-M
a) Konstante Funktion:     in den Grenzen und

Const fkt.png


Vorlage:Lösung


b) Lineare, nicht-konstante Funktion:     in den Grenzen und

Lin fkt.png


Vorlage:Lösung


c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen:   in den Grenzen -8 und 10.


Flaeche allgemein.png


Vorlage:Lösung




Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Integralrechnung&oldid=70130“