Analysis

Kurzinfo
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Funktionsbegriff und wiederholende Betrachtung elementarer Funktionsklassen

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen, dass heißt, man muss jedem Element der Defintionsmenge genau ein Element der Wertemenge zuordnen können.

Umgangssprachlich ausgedrückt, bedeutet die Definition, dass man aus jedem Wert, den man in die Funktion einsetzen darf, ein Ergebnis errechnen kann. Ausserdem darf man nicht zwei oder mehr Ergebnisse für einen Ausgangswert erhalten (sonst wäre die Funktion nicht eindeutig). Stellt man sich die Funktion anschaulich als Graph vor, dann darf der Graph nie senkrecht zur x-Achse (allgemeiner und richtiger: der Achse mit den Elementen der Definitionsmenge) verlaufen oder an einer Stelle der Achse zwei Werte abzulesen sein.

Definitionsmenge

Die Defintionsmenge ist die Menge der Werte, für die eine Funktion definiert ist, das heißt, für welche Bereiche von $x$ bei $f(x)$ die Funktion ein gültiges Ergebnis liefert.

Beispiel:

$f(x)={1\over2}x^2 \,$

$\mathbb{D}=\{\mathbb{R}\} \,$

Wertemenge

Die Wertemenge beschreibt die Menge der Zahlen, die aus der Funktion resultieren.

Beispiel:

$f(x)=e^x \,$

$W=\{R | f(x)>0\} \,$

Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichung beschreibt die mathematischen Rechenvorschriften, welche die Funktion beinhaltet. Es gibt mehrere Notationsformen:

f(x) = x² (sprich "f von x ist gleich...")

x -> x²

x² wäre in diesem Fall der Funktionsterm.

Funktionsgraph

Ein Funktionsgraph ist die gemalte Version einer Funktion oder gehoben ausgedrückt die Visualisierung. Ein Funktionsgraph zeigt meist den Verlauf einer Funktion in einem bestimmten Interval, wobei die Elemente der Definitionsmenge aus der x-Achse eines karteisischen Koordinatensystems aufgetragen werden. Die zugeordneten Werte werden auf die y-Achse des gleichen Systems aufgetragen.

Um einen Funktionsgraphen zu skizzieren muss man die charakteristischen Punkte einer Funktion durch eine Funktionsuntersuchung bestimmen. Diese Punkte sind Nullstellen, Wendepunkte und Extrempunkte. Weiterhin muss man den Verlauf der Funktion für große beziehungsweise kleine Werte bestimmen.

Ein Funktionsplotter wie Derive kann einen Funktiongraphen perfekt darstellen. <<< Beschreibung wie man in Derive einen Funktionsgraphen bekommt >>>

Verschiedene Funktionstypen haben charakteristische Funktionsgraphen. <<< Bilder von Typen einfügen >>>

Wertetabelle

Eine Wertetabelle ist eine Tabelle, die zusammengehörende Werte auflistet. Für eine Funktion kann man so einige zusammengehörige x- und y-Werte auflisten und anschließend mit deren Hilfe einen Graph zeichen, wenn man die Wertepaare in ein Koordinatensystem einträgt.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion dreht die Ursprungsfunktion um, statt den Elementen der Definitionsmenge diejenigen der Ergebnissmenge zuzuordnen, ordnet die Umkehrfunktion den Werten der Ergebnissmenge die der Definitionsmenge zu. Bei der Umkehrfunktion wird also die Definitionsmenge der Ursprungsfunktion zur Ergebnissmenge und die Ergebnismenge der Ursprungsfunktion zur Definitionsmenge.

Einführung des Ableitungsbegriffs

Änderungsrate einer Funktion; Steigung eines Graphen

Die Werte einer Funktion unterscheiden sich voneinander und haben somit, betrachtet man sie als eine Kette, eine Änderungsrate. Man kann also die Unterschiede zwischen den einzelnen Funktionswerten beschreiben, wieder durch eine andere Funktion. Diese Funktion beschreibt dann die Änderungsrate der Funktion.

Betrachtet man die Funktion mit dem Graphenmodell, also einer visuellen Veranschaulichung, dann spiegelt sich die Änderungsrate der Funktion in deren Verlauf als Steigung wider.

Ableitung einer Funktion an einer Stelle - Ableitungsfunktion

Berechnung von Ableitungen elementarer Funktionen

Die Ableitung an einem Punkt $x_1$ sagt aus, mit welcher Steigung die Tangente an $x_1$ verläuft. Man berechnet somit die Steigung eines bestimmten Punktes $x_1$ auf einer Funtkion $f(x)=ax^n\,$.

Wenn $f(x)=ax^n\,$; n€N, ergibt sich mit dem Grenzwert der Sekantensteigung folgende allgemein gültige Ableitung:

$f '(x)=anx^{n-1}\,$

Ableitungsfunktionen bzw. höhere Ableitungsfunktionen

Die Ableitungsfunktion ist der Funktionsterm der Tangente an dem Punkt $x_i$, durch das Anwenden der oben genannten Ableitungsregel: $f '(x)=anx^{n-1}\,$.

Erläuterung an einem Beispiel: $f(x)=x^2+2\,$

$f(x)=1x^2+2\,$

Die einzelnen Summanten werden einzelnd abgeleitet;im konkreten Fall $x^2$ und $2$. Bei dem zweiten Teil muss beachtet werden, dass $2\,$ in $2*x^0\,$ umgeschrieben werden kann, da $x^0=1\,$.

Basierend auf diesen Fakten, kommt man zur folgender Rechnug:

$f '(x)=anx^{n-1} = 1*2*x^{2-1}+ 0*2^{0-1} = 2*x^1 + 0 = 2x\,$

Es ist erkennbar, dass die Konstante $2$ beim Ableiten verällt. Das geschieht mit jeder Konstante <\,/math>.

Typische Ableitungskalküle

Summenregel

Beispiel mit $g(x)=x^2 \,$ und $h(x)=x^3 \,$

$f(x)=x^2 + x^3 \,$

In die Formel eingesetzt lautet der Term:

$f'(x)=2x + 3x^2 \,$

Würde man die Funktionen einzeln ableiten erhält man für:

$g(x)=x^2 \,$

das Ableitungsergebnis

$g'(x)=2x \,$

und für

$h(x)=x^3 \,$

das Ableitungsergebnis

$h'(x)=3x^2 \,$

Da das Ergebnis dasselbe ist, ist es egal, ob man die Sumanden einzeln ableitet, oder ob man die Formel benutzt.

Faktorregel

Wenn eine Funktion $f(x)=a*v(x) \,$ mit dem Vorfaktor $a\,$ abgeleitet werden soll, dann wird der Faktor $a\,$ in der Ableitung der Funktion unverändert beibehalten.

Bei der Ableitung muss gelten:

$v(x)\,$ muss differenzierbar sein, sodass auch $f(x)\,$ mit $f(x) = a*v(x) (a\in \mathbb{R}) \,$ differenzierbar ist.

Beispiel: Wir nehmen die Funktion:

         $f(x)=a*v(x)\,$

Die Ableitung dieser Funktion lautet also:

        $f'(x)=a*v'(x)\,$

Zahlenbeispiel:

$f(x)=3x^2 \,$

$f'(x)=3*2*x =6x\,$

Quelle:

Dudenverlag Abiturwissen Mathematik

Umkehren des Ableitens

Die Umkehrung des Ableitens wird auch als Integrieren bezeichnet. Die Funktion, die sich beim Integrieren der Funktion $f(x) \,$ ergibt, nennt man auch Stammfunktion $F(x) \,$ der Funktion $f(x) \,$.

Das Umkehren des Ableitens ist außerdem eine Methode zum Ausrechnen von Flächeninhalten unter einem Graphen.

Zur Bestimmung der Stammfunktion im Allgemeinen:

Gegben sei die Funktion $f(x)= 4x^5 \,$

Die Ableitung dieser Funktion ist

$f'(x)= 20x^4 \,$.

Man sieht, dass der Exponent nach vorne gezogen wurde und mit dem Koeffizienten multipliziert wird. Der Exponent wird danach um eins kleiner.

Beim Integrieren benutzt man dieses Wissen, da der Exponent um eins größer werden muss und der Koeffizient mit dem Kehrwert des neuen Exponentes multipliziert werden muss, um die Ausgangsfunktion wieder zu erhalten.

Bei der nun neuen Funktion $f(x)= 20x^4 \,$ muss man, wie oben beschrieben, den Exponenten 4 um eins auf 5 erhöhen, und den Koeffizienten 20 durch den neuen Exponenten 5 teilt.

Die daraus resultierende Funktion $F(x)= {20 \over 5} x^{4+1}\,$ entspricht der Stammfunktion $F(x)= 4x^5\,$.

Quelle:

http://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html#4

Funktionsuntersuchung

Bei einer Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion) wird der Graph einer Funktion hinsichtlich seines Verlaufs und seiner Eigenschaften untersucht. Dabei geht man auf Definitions- und Wertebereich, Grenzverhalten, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte, Wendepunkte, sowie eventuelle Polstellen ein. Zur Veranschaulichung fertigt man anhand der zuvor ermittelten Ergebnisse eine Skizze des Graphen an.

Grenzverhalten

Hier wird das Verhalten des Graphen bestimmt, wenn dieser sich den Grenzen des Definitionsbereichs annähert. Dies wird durch den Limes ausgedrückt, der besagt, welchem Wert sich der Graph anschmiegt.

Symmetrie

Ein Funktionsgraph kann folgende symmetrische Eigenschaften aufweisen: Punktsymmetrie oder Achsensymmetrie, muss jedoch nicht symmetrisch sein. Allgemein lässt sich sagen, dass Polynomfunktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung sind und Polynomfunktionen mit ausschließlich geraden Exponenten (auch absolutes Glied) achsensymmetrisch zur Y-Achse sind. Es gilt:

   f(-x) = f(x) , dann ist der Graph von f achsensymmetrisch bezüglich der Y-Achse.
   f(-x) = -f(x) , so ist der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Nimmt man f(0), so errechnet man den Y-Achsenabschnitt. Um die Nullstellen zu berechnen setzt man die Funktion mit 0 gleich und löst dann nach x auf. Bei komplizierten Funktionen kann man hierzu auf Polynomdivision oder Substitution, sowie den Taschenrechner zurückgreifen. Um zu wissen ob der Graph über oder unter der X-Achse verläuft, nutzt man Vorzeichenintervalle.

relative und absolute Extremalpunkte

Zunächst muss man die erste Ableitung der Funktion bilden und diese mit 0 gleichsetzen. Um die X-Werte der Extrempunkte zu berechnen, kann man auf die gleichen Rechenmethoden zurückgreifen, die man bei der Nullstellenbestimmung auch schon benutzen konnte. Den/Die errechneten X-Wert/e setzt man nun in die Ausgangsfunktion ein und erhält dadurch die Y-Koordinate des Extrempunktes. Man unterscheidet die Extrema in Hoch-, Tief- und Sattelpunkte. Um herauszufinden, welches der 3 Extrema vorliegt, nutzt man Monotonieintervalle. Außerdem unterscheidet man relative (lokal) und absolute (global) Extremalpunkte. Relative Extremalpunkte beziehen sich auf ein bestimmtes Intervall des Graphen, Absolute auf den gesamten Graph.

Monotonie

Die Monotonie sagt etwas darüber aus, ob die Funktionswerte einer Funktion immer größer oder kleiner werden.

Werden die Funktionswerte (y-Werte) mit zunehmendem x immer größer, so heißt die Funktion streng monoton steigend. Der Graph steigt dann nach rechts immer weiter an.

Werden die Funktionswerte mit zunehmendem x immer kleiner, so heißt die Funktion streng monoton fallend. Der Graph fällt dann nach rechts immer weiter ab.

Ist eine Funktion weder streng monoton fallend noch steigend, kann sie immer noch monoton sein. Man spricht von einer monoton steigenden Funktion, wenn die Funktionswerte immer mehr zunehmen oder konstant bleiben. Analog dazu sind monoton fallende Funktionen, Funktionen die immer mehr abnehmen oder zumindest konstant bleiben (dies trifft beispielsweise bei einem Sattelpunkt zu).

Weist eine Funktion positive und negative Steigung auf, weist sie keine Monotonie auf.

Man kann die Monotonie einer Funktion immer nur für ein bestimmtes Intervall angeben.

Wendepunkte

Wendepunkte ermittelt man mit Hilfe der 2. Ableitung, indem man diese 0 setzt. Am Wendepunkt ändert der Graph die Richtung seiner Krümmung. Man kann erneut die bereits erwähnten mathematischen Operationen (s.o.: Achsenschnittpunkte) durchführen um die X-Werte der Wendepunkte herauszufinden. Die X-Werte setzt man nun in die Ausgangsfunktion ein um die Y-Koordinate des Wendepunktes zu erhalten. Krümmungsintervalle zeigen auf, in welche Richtung sich der Graph krümmt.

Krümmungsverhalten

Die Krümmung einer Funktion gibt an, ob der Graph eine "Linkskurve" oder eine "Rechtskurve" beschreibt. Zur Vereinfachung kann man sich denken, man sitzt in einem Auto und fährt den Graphen ab. Müsste man dabei nach links lenken, heißt die Funktion linksgekrümmt oder konvex. Müsste man nach rechts lenken, heißt die Funktion rechtsgekrümmt oder konkav.

vollständige Kurvendiskussion

Eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus den oben genannten Schritten, die wir anhand eines Musterbeispiels genauer erläutern wollen. Dazu sei $f(x) = 2x^4+7x^3+5x^2$

Grenzverhalten: $\lim_{|x|\to\infty}=\infty$

Symmetrie: $f(x)$ hat gerade und ungerade Exponenten. Der Graph besitzt daher weder eine Symmetrie zum Ursprung noch eine Symmetrie zur Y-Achse.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Y-Achsenabschnitt: Da die Funktion kein absolutees Glied aufweist, liegt der Y-Achsenabschnitt im Ursprung.[ f(0)=0 ]

Nullstellen:

           Ansatz: f(x)=0
           x²(2x²+7x+5)=0
           Lösung: x=0 v x=-1 v x=-2,5 (p-q-Formel)

Extrempunkte: 1.Ableitung f'(x)=8x³+21x²+10x

      Ansatz f'(x)=0
      x(8x²+21x+10)=0
      Lösung x=0 v x=-0.625 v x=-2

Diese X-Werte setzt man nun in die Ausgangsunktion ein, um die Y-Koordinaten der Extrempunkte herauszubekommen. Extrempunkte T1(0|0), H(-0,625|0,55), T2(-2|-4)

Wendepunkte: 2.Ableitung f´´(x)=24x²+42x+10

       Ansatz f´´(x)=0
       x $\approx$ 0,28 v x $\approx$ -1,47

Diese X-Werte setzt man nun in die Ausgangsunktion ein, um die Y-Koordinaten der Wendepunkte herauszubekommen. Wendepunkte W1(-0,28|0,25), W2(-1,47|-2,09)

Zeichnung des Graphen mit Geogebra:

Bestimmung funktionaler Zusammenhänge

Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften

Die Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften ist der umgekehrte Vorgang zur Kurvendiskussion. Bei ihr hat man normalerweise eine Funktionsgleichung und versucht mit Hilfe von Schnitt-, Extrem- und Wendepunkte usw. den Graphen zu beschreiben, um ihn zeichnen zu können. Bei der Funktionsbestimmung macht man im Prinzip dasselbe rückwärts. Durch beispielsweise in einer Textaufgabe gegebene Eigenschaften kann man Bedingungen aufstellen und schließlich eine Funktionsgleichung bestimmen.

Allgemein

Es geht um das Bestimmen von Funktionsgleichungen zu Graphen oder auch nur zu Aufgaben. Oftmals ist ein Graph gegeben oder einfach mehrere Punkte bzw. Eigenschaften. Manchmal muss man diese so genannten Bedingungen auch aus einem Text entnehmen. Voraussetzung ist also, dass man genügend Daten / Eigenschaften / Bedingungen hat.

Vorgehensweise

Aus einem Aufgabentext kann man die verschiedenen Bedingungen herauslesen. Ist bei einer Kosten-Nutzenfunktion beispielsweise der maximale Gewinn bei dem Punkt P angegeben (also ein Hochpunkt), so ist die erste Ableitung an diesem Punkt Null. Bei Schnittpunkten mit der X-Achse ist die ganz normale Funktion mit Null gleichzusetzen - bei Wendepunkten natürlich die zweite Ableitung. Es müssen nicht immer Nullstellen der Funktion / Ableitung sein; es können auch verschiedene Steigungen oder ähnliches gegeben werden.

Generell gilt: drei Bedingungen beschreiben eine Funktion 2. Grades, 4 Bedingungen ergibt 3. Grades usw.

Wenn man nur einen Graphen hat muss man entsprechende Bedingungen aus der Grafik entnehmen. Das funktioniert aber sonst gleich: Graph anschauen, verschiedene Bedingungen finden und rausschreiben.

Wenn man alle Bedingungen gefunden hat, den Grad der Funktion bestimmt hat und sich beider sicher ist, so bestimmt man die allgemeinen Ableitungen. In diese setzt man dann die gefundenen Bedingungen ein und löst sie in Form einer Matrix (händisch, mit Taschenrechner oder Derive).

Wichtig!: Es ist sehr wichtig dass man ALLE Bedingungen findet, sonst hat man am Ende eine falsche Funktionsgleichung und kann die Richtige nicht bestimmen (Die ganze Arbeit war dann umsonst.).

Checkliste

1. Bedingungen suchen und herausschreiben
2. Alle Bedingungen kontrollieren !
3. Grad der Funktion bestimmen (Allgemeine Form und Ableitungen bestimmen)
4. Gleichungssystem aufstellen und lösen
5. Überprüfen, da beim händischen Lösen der Matrix schnell Fehler passieren

Ein Beispiel

Folgende Funktion stellt den Verlauf einer Skischanze dar.

Skischanze

Aus dem Bild (bzw. der zusätzlichen Information über die Steigung am Start- & Absprungpunkt) kann man nun diese Bedingungen herleiten:

1. Die Funktion schneidet den Ursprung, daraus folgt $\ f(0)=0$
2. Die Steigung an der Stelle (0|0) ist -0,5, da ansonsten keine nach oben laufende Rampe vorhanden wäre, also $\ f'(0)=-0,5$
3. Die Steigung beim Losfahren ist 4, demnach $\ f'(2)=4$
4. Als letztes muss der Startpunkt bei (2|6) liegen: $\ f(2)=6$

Wir sehen: es sind 4 Bedingungen gefunden worden, also handelt es sich um eine Funktion 3. Grades.

Eine solche Funktion hat bekannterweise die Grundform $\ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Die erste Ableitung ist folglich $\ f'(x)=3ax^2+2bx+c$; nun folgt mehr Schreibarbeit als Denkleistung und am schönsten & schnellsten lässt sich der Rest mit Derive erledigen.

Dort klickt man, nachdem man die Funktion mit Hilfe des Befehls ":=" als Grundform definiert hat $\ (f(x):=ax^3+bx^2+cx+d)$, auf die Schaltfläche Lösen und wählt "System" aus. Man gibt die Anzahl der Unbekannten ein (in unserem Fall 4) und kann obige Bedingungen direkt übernehmen, Derive unterstützt die Schreibweise $\ f(x)= ...$, sowie Ableitungsgleichungen.

Wenn man die Aufgabe jedoch händisch lösen muss, bildet man selbst die Ableitung(en) und erhält ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen und Unbekannten. Der Trick besteht nun darin, durch Addieren & Subtrahieren der Gleichungen Stück für Stück die Variabeln zu eliminieren, sodass am Ende eine Variable bekannt wird. Diese wird wieder geschickt in die anderen Gleichungen eingesetzt, sodass man Nach und Nach alle Koeffizienten bestimmen kann. Des hohen Schreib- und Umformungsaufwand zu Grunde, sollte man sich den letzten Checklisten Schritt wirklich zu Herze nehmen und die Probe machen.

>>HIER<< geht's zur Kontrolllösung

Anwendung und Weiterführung des Ableitungskalküls: Extremalprobleme

Arten von Extrema

Es gibt verschiedene Extrema(Definition):

• Lokale Extrema: Hochpunkte und Tiefpunkte
• Globale Extrema: Der höchste Hochpunkt und der tiefste Tiefpunkt
• Randextrema: Extrema an den Rändern des Definitionsbereichs

Wichtige Hilfen um Extremalprobleme zu lösen:

1. Die Größen die extremal werden sollen, müssen durch einen Term beschrieben werde
2. Suchen von Nebenbedingungen
3. Zielfunktion bestimmen
4. Zielfunktion auf Extremwerte untersuchen
5. "Bei Extremalproblemen kann die Wahl der Variablen und die geeignete Verwendung von Nebenbedingungen entscheidend sein für die Einfachheit der Zielfunktion."

Vorraussetzung für die Berechnung eines Extremalproblems

1. Zielfunktion (soll extrem werden)
2. Nebenbedingung (Einschränkung)
3. Intervall

Beispiel:

In dem Graphen von $\ f(x)= x^2$ soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt, in den Grenzen von $\ x= 0$ bis $\ x=4$ einbeschrieben werden.

Wie muss die Länge und Breite des Rechteckes gewählt werden, damit der Flächeninhalt maximal wird ?

Hauptbedingung: $f(x) = x^2 \,$ $[0;4]\,$

Nebenbedingung: $(4-x)* f(x) = max \,$

In den Grenzen: $\ \; 0 \le x \le 4$

Flächeninhalt: $\ A(x)= (4-x)*x^2$

Ableitung: $\ A'(x)= -1*x^2 + (4-x)*2x$

Vereinfacht: $\ A'(x)= -3x^2+8x$

Gesucht ist der Hochpunkt (Ableitung 0 setzen): $\ m_{hp} =0$

Ableitung 0 gesetzt: $\ 0= -3x^2+8x$

x ausklammern: $\ 0 = x*(-3x+8)$

Daraus ergibt sich: $\ x_1 = 0$

Der Restterm wird nach x aufgelöst: $\ 0 = -3x+8$

Daraus ergibt sich für x: $\ x_2 = \frac{8}{3}$

Prüfung der Extremwerte (Zweite Ableitung wird gebildet): $\ A''(x) = -6x+8$

In diese werden die x-Werte der Extremwerte eingesetzt: $\ A''(0) = 8$ Da $\ 8 > 0$ ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Der zweite x Wert wird eingesetzt: $\ A''(\frac{8}{3}) = -8$ Da $\ -8 < 0$ ist, handelt es sich um einen Hochpunkt. Da das Maximum gesucht ist, wird dieser benötigt.

Y-Wert der Extremstelle(es wird nur der eine benötigt): $f(\frac{8}{3})= (\frac{8}{3})^2 =7.11$

Zeichnung:

Zeichnung

Einführung in die Integralrechnung

Definition des bestimmten Integrals

Das bestimmte Integral ist ein Integral einer Funktion mit den Grenzen a und b.

$\int_{a}^{b} f (x)\,dx$

Das bestimmte Integral unterscheidet sich von dem unbestimmten Integral lediglich in einem einzigen Aspekt: den Grenzen! Während bei einem unbestimmten Integral noch keine Grenzen definiert sind, werden sie beim bestimmten Integral eingefügt. Generell kann man das bestimmte Integral also als spezifiziertes unbestimmtes Integral bezeichnen.

Umformung des unbestimmten Integrals: $\int f (x)\,dx$

in ein bestimmtes: $\rightarrow \int_{a}^{b} f (x)\,dx$

$\int_{a}^{b} f (x)\,dx = F(b) - F(a)$

Eigenschaften und Anwendungen des bestimmten Integrals

Eine problematische und häufig nicht beachtete (und damit Fehler verursachende) Eigenschaft des bestimmten Integrals entsteht durch die Kombination von Flächen oberhalb und uterhalb der x-Achse. Oftmals wird vergessen, dass auch wenn das Integral in einem Intervall [a;b] Null ergibt, der Flächeninhalt in dem Teilintervall [a;c] (mit a<c<b) nicht zwingenderweise Null ist: $\int_{0}^{2\pi} \sin\left(x\right) =0 \qquad aber \qquad \int_{0}^{\pi} \sin\left(x\right) =2$

Da die Fläche von 0 bis $\pi$ genauso groß wie die von $\pi$ bis $2\pi$ ist, jedoch einmal positiv und einmal negativ erbibt die Summe der Flächen Null. Diesen Fehler kann man leicht vermeiden, indem man nicht über Nullstellen hinweg integriert!

Ein weiterer kleiner, häufig gemachter Fehler tritt bei der Berechnung von Flächen unterhalb der x-Achse auf, da in solch einem Fall das Integrationsergebnis negativ ist, und häufig nicht weiter überdacht wird. Ein Flächeninhalt ist jedoch immer positiv!

Um die Eigenschaften eines bestimmten Integrals besser verdeutlichen zu können, definiert man außerdem verschiedene Sonderfälle:

1) $\int_{a}^{b} f (x)\,dx$ = -$\int_{b}^{a} f (x)\,dx$ für a<b

2) $\int_{a}^{a} f (x)\,dx=0$

3) $\int_{a}^{b} f (x)\,dx=\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx$

Punkt 3) besagt, dass jede im Intervall I=[a;b] integrierbare Funktion auch in einem beliebigen Teilintervall von I integrierbar ist (für a<c<b).

Für das bestimmte Integral gibt es eine Vielzahl an Anwendungsmöglichkeiten, wobei die wahrscheinlich wichtigste die Berechnung eines Flächeninhaltes unter einem Graphen ist. Eine weitere Anwedungsmöglichkeit in der Mathematik ist die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers (Punkt 9.2.5.2.1). Die Integralrechnung spielt außerdem in der Physik eine wichtige Rolle, da sie in nahezu jedem Unterthema angewendet werden kann/muss. So erhält man beispielsweise durch Integration einer Funktion, die die Leistung (pro Zeit) eines Motors angibt, die insgesamt geleistete Arbeit.

Summen- und Faktorregel

Die Summenregel ist eine der Grundregeln der Integralrechnung. Sie besagt, dass die Summe zweier integrierbarer Funktionen wieder integrierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise integriert werden kann.

(Gleiches gilt natürlich auch für Differenzen.)

$\int_{a}^{b} (f (x) \pm g (x))\,dx = \int_{a}^{b} f (x)\,dx \pm \int_{a}^{b} g (x)\,dx$

Kurz: $\int_{a}^{b} ( f \pm g )\,dx = \int_{a}^{b} f \,dx \pm \int_{a}^{b} g \,dx$

Beispiel:

f(x) mit $f(x) = 3 x^2 - x^3$ zeigt den ungefähren Verlauf der zur Unterdrückung der Wut erbrachten Leistung der vom Mathematiklehrer gedissten Schülerinnen an einem Freitagmorgen (x in Schulstunden, y in J/Schulstunde). Wie viel Arbeit müssen sie leisten, um dem Lehrer nicht zu zeigen, dass seine Mobbingversuche Erfolge erzielen? (Lohnt sich das? Begründen Sie mit einem adäquaten Vergleich.)

⇒ $W=\int_{0}^{2} 3 x^2 - x^3 \,dx = \int_{0}^{2} 3 x^2 \,dx - \int_{0}^{2} x^3\,dx$ usw.

(Diese Aufgabe kann nach Aneignung von 8.6 in geringer Zeit vollständig gelöst werden.)

Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor vor einer Funktion bei der Integral rechnung ( und der Differentialrechnung) immer vor der Funktion bestehen bleibt, beziehungsweise diesen faktor man aus dem Integral "herausziehen" kann.

$\int_{a}^{b} k*f (x)\,dx$ = $k*\int_{a}^{b} f (x)\,dx$

Beispiel: $\int_{3}^{4} 3* (4x^3 - 2x)\,dx$ = $3*\int_{3}^{4} 4x^3-2x\,dx$ = $\ 3*168 = 504$

Begriff der Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Die Stammfunktion ist die Umkehrung der Differnetiation. Um auf sie zu kommen muss man also nicht ableiten, wie beim differenzieren, sondern integrieren. Sie Schwierigkeit der Stammfunktion besteht darin, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion f(x) gibt, aber auch manchmal gar keine. Als Regel zum aufleiten kann man sich merken: "Exponenten um 1 erhöhen und dann durch den neuen Exponenten teilen."

Als allgemeine Defenition kann man sich merken: Eine Funktion F ist dann eine Stammfunktion von f, wenn gilt: F'(x)=f(x)

aufleiten: $\ f (x) = F(x)+c$

Beim Ableiten fällt dann dieses $\ + c$ weg:

ableiten: $F'(x)+ c = f(x)$

Beispiel:

aufleiten: $12x^3 - 3x = 12*\frac{1}{4} x^4 - 3*\frac{1}{2} x^2 + 23 = 3x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 23$

ableiten: $3x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 23 = 4*3x^3 - 2*\frac{3}{2} x$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht aus zwei Teilen und bringt Differenzial- und Integralrechnung in einen Zusammenhang.

Aus dem ersten Teil des Satzes folgt die Existenz von Stammfunktionen (unbestimmten Integralen) und die Erkenntnis, dass Ableiten und Integrieren jeweils die Umkehrung des anderen sind.

Es gilt $F ' \left(x\right) = f(x)$ , mit x є I, wenn F und f in einem Intervall I definiert sind und F in I differenzierbar ist.

Beispiel: In welchem Zusammenhang stehen $f(x) = 2x^7+8x$ und $g(x) = 0,25 x^8 + 4x^2 + 56$ ?

⇒ F(x) = g(x) beziehungsweise g'(x) = f(x)

Der zweite Teil des Satzes erklärt die Berechnung von Integralen.

Es gilt $\int_{a}^{b} f (x)\,dx = F(b) - F(a)$ , wenn f eine im Intervall [a;b] stetige Funktion und F eine Stammfunktion von f ist.

Dies ermöglicht es den Freunden der Mathematik den genauen Flächeninhalt auf eine schnelle Art und Weise und nicht durch mühsame Annäherung zu berechnen.

Zur Erklärung und Verdeutlichung: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche der Graph mit der Funktion f mit $f(x) = 5x^2-x^3$ mit der x-Achse einschließt.

Vorgehensweise:

Gesucht: $\int_{a}^{b} f (x)\,dx$

Schritt 1: Bestimmung von a und b, also der Nullstellen

⇒ Aus $5x^2-x^3 = 0$ folgt, $x_1 = x_2$ = 0 = a und $x_3$ = 5 = b.

Schritt 2: Bestimmung der Stammfunktion F

⇒ Wenn $f(x) = 5x^2-x^3$ , dann $F(x) = (5/3)x^3-(1/4)x^4+c$

Schritt 3: $\int_{a}^{b} f (x)\,dx = F (b) - F(a)$

⇒ $\int_{0}^{5} f (x)\,dx = F (5) - F(0) = (\frac{5}{3}*5^3-\frac{1}{4}*5^4) - (\frac{5}{3}*0^3-\frac{1}{4}*0^4) \approx 364,583 + 0 = 364,583$ FE

Numerische Integration

Numerische Integration (lat.: „Zahlenmäßige Wiederherstellung eines Ganzen“)

Die numerische Integration wird dann eingesetzt, wenn wir eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen berechnen wollen und uns es nicht möglich ist eine Stammfunktion der vorgegebenen Funktion zu bilden.

Beispiel: $f (x) = e^{x^2}$

Es gibt mehrere Regeln zur Berechnung des Flächeninhaltes. Eine ist z.B. die Trapezregel. Hier teilt man das Intervall als erstes in n-Teile , die alle die gleiche Breite $h={b-a\over n}$ haben. Nun berechnet man die Fläche der jeweiligen Teile aus und addiert sie miteinander.

$\sum_{k=1}^n {h\over2} [f(x_{i-1})+f(x_i)]$

Das Endergebnis ist nicht der exakte Wert, es ist nur ein Näherungswert, der dem eigentlichen Flächeninhalt am nächsten kommt.

Erweiterung und Verknüpfung der Integral- und Differentialrechnung

Ableitungsregeln

Ableitungsregeln werden bei zusammengesetzten Funktionen verwendet. Also zwei Funktionen die mathematisch miteinander verrechnet werden. Die korrekte Formel zum ableiten lautet: $f(x) = k*x^n  ; f'(x) = k*n*x^\left( n-1\right)$ wobei n und k beliebige reelle Zahlen sind.

Ein Beispiel herfür ist: $\left( x+2\right) ^2$ Es gibt acht verschiedene Regeln mit denen man Funktionen so ableiten kann, das eine Ableitung einer leichteren Funktion herauskommt.

Bei folgenden Beispielen, handelt es sich bei u und v um Funktionen, k dagegen ist eine reelle Zahl. Bei allen Funktionen wird nach x abgeleitet.

Konstante Funktion

Wenn eine Reelle Zahl abgeleitet wird kommt immer null als Ergebnis raus, da die Ableitung einer Funktion die Steigung angibt. Da k eine Gerade ist mit der Funktion $f(x) = \left( k\right)$ ist die Steigung an jedem Punkt null.

$\left( k\right) '=0$

Faktorregel

Da k ein Faktor von x ist, fällt dieser beim ableiten nicht weg, weil er die Steigung der Funktion beeinflusst.

$\left( k*u\right) '=k*u'$

$f(x) = \left( 5*x^2\right)$

$f'(x) = \left( 5*2x\right)$

Summenregel

u und v sind getrennte Funktionen und werden addiert bzw. voneinander subtrahiert, deshalb sie getrennt abgeleitet und wieder miteinander addiert oder subtrahiert

$\left( u \pm v\right)' =u' \pm v'$

$f(x) = \left( 5x^2+3x\right)$

$f'(x) = \left( 5x^2+3x\right)' = \left( 5x^2\right)'+\left( 3x\right)' = 10x +3$

Produktregel

Bei der Produktregel wird beim ableiten die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion multipliziert und dies wird dann mit der ersten Funktion, welche mit der Ableitung der zweiten Funktion multipliziert wird, addiert.

$f(x) =\left( u*v\right)$

$f'(x)=\left( u'*v\right) +\left( u*v'\right)$

$f(x) = \left( 5x^2* 2x\right)$

u:: $\left( 5x^2\right)$ u': $\left( 10x\right)$

v: $\left( 2x\right)$ v': $\left( 2\right)$

$f'(x) = \left( 10x*2x\right) + \left( 5x^2*2\right)$

$f'(x) = \left( 20x^2\right) + \left( 10x^2\right)$

$f'(x) = \left( 30x^2\right)$

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist der Produktregel sehr ähnlich. Hier werden lediglich die zwei Produkte subtrahiert und werden durch das quadrat von der zweiten Funktion geteilt.

$\left( \frac{u}{v}\right) '=\frac{u'*v-v'*u}{v^2}$

$f(x) = \left( \frac{1-2x}{4-3x^2} \right)$

u:$\left( 1-2x\right)$ u':$\left( -2\right)$

v:$\left( 4-3x^2\right)$ v':$\left( -6x\right)$

$f'(x) = \frac{-2*\left( 4+3x^2\right) -\left( 1-2x\right) *\left( 6x\right) }{\left( 4+3x^2\right) ^2}$

Potenzregel

Die Potenzregel ist der oben beschriebene Vorgang beim ableiten (s. O). Der Exponent wird also zum Faktor und der neue Exponent ist der ursprüngliche Exponent mit eins subtrahiert.

$f(x) = x^k f'(x)= k*x^\left( k-1\right)$

$f(x) = \left( x^2\right)$

$f'(x) = \left( 2x\right)$

Kettenregel

Bei der Kettenregel wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert.

$f(x) = u*\left( v\left( x\right) \right) f'(x)= u'\left( v\left( x\right) \right) *v'\left( x\right)$

$f(x) \left( 5-3x\right) ^4$

u: $\left(5-3x\right)$ u':' $\left(-3\right)$

v:$\left(\right) ^4$ v': $4*\left( \right) ^3$

$f'(x) = 4*\left( 5-3x\right) ^3*\left( -3\right)$

Regel für Umkehrfunktionen

$f'(y) = \frac{1}{f'(x) }$

$f(y) = \sqrt[3]{y}$

$f'(y) = \frac{1}{3*x^2} = \frac{1}{3} * x^\left( -2\right)$

$f'(y) = \frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{y}\right)^ \left( -2\right) = \frac{1}{3} *y ^\left( -\frac{2}{3}\right)$

$f'(x) = \frac{1}{3} x^\left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{1}{3*\sqrt[3]{x^2} }$

e-Funktionen

Wenn man die $f(x) =e ^\left(x\right)$ Funktion ableitet kommt immer $e ^\left(x\right)$ raus. Egal wie oft man also $e ^\left(x\right)$ ableitet es wird immer $e ^\left(x\right)$ bleiben. Beim ableiten von e-Funktionen bleibt der Exponent immer gleich nur der Faktor verändert sich.

$f(x) = \left( e^x\right)$

$f'(x) = \left( e^x\right)$

Weitere Funktionen

Exponentialfunktionen

Definition:

Exponentialfunktionen sind Wachstums- bzw. Zerfallsfunktionen mit der allgemeinen Form $f(x)=a^x\,$ oder auch $g(x)=c*a^x\,$ mit $c\in \mathbb{R}$, $a>0\,$, $x \in \mathbb{R}$.

Sie beschreiben ein exponentielles Wachstum zur Basis a.

Dabei ist a der Wachstumsfaktor, der bei einer Wachstumsfunktion mit $a=1+ \left( \frac{p}{100} \right), p=Prozentsatz\,$ und bei einer Zerfallsfunktion mit $a=1- \left( \frac{p}{100} \right), p=Prozentsatz\,$ berechnet wird. C ist der Startwert.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen:

• Der Graph der Exponentialfunktion $f(x)=c*a^x\,$ ...

...verläuft im positiven Wertebereich, wenn $c>0\,$

...hat keine Nullstellen, wenn $c>0\,$

...verläuft durch den Punkt P(0/c)

...verläuft bei $\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$

...verläuft bei $\lim_{x \to -\infty}f(x)=0$

...ist streng monoton wachsend, wenn $a>1\,$

...ist streng monoton fallend, wenn $0<a<1\,$

Funktion $f(x) = 2^x\,$

• Verschiebung:

Wenn im Exponenten eine Zahl addiert wird ($a^{x+2}\,$), verschiebt sich der Graph nach links.

Wenn im Exponenten eine Zahl subtrahiert wird ($a^{x-2}\,$), verschiebt sich der Graph nach rechts.

Funktion $f(x) =2^{x+2}\,$

Wenn eine Konstante k addiert wird, verschiebt sich der Graph nach oben.

Wenn eine Konstante k subtrahiert wird, verschiebt sich der Graph nach unten.

Funktion $f(x) = 2^x+2\,$

• Streckung und Stauchung:

Wenn $c>1\,$, dann ist der Graph gestreckt.

Wenn $0<c<1\,$, dann ist der Graph gestaucht.

Funktion $f(x) = 0,25*2^x\,$

• Ableitung und Stammfunktion:

Die Bildung der Ableitung bzw. der Stammfunktion ist einfacher, wenn man zunächst die Exponentialfunktion in eine e-Funktion umwandelt.

gegeben:

$f(c)=c*a^x\ \quad \quad \quad a, c\in \mathbb{R}$

$f(x)=c* e^{x*\ln (a) } \quad \quad a>0\,$

Wenn man $a^x\quad$ in $e^{x*\ln (a) }\quad$ umformt, ergibt es das selbe.

Nun bestimmt man die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.

$f'(x)=c*\ln (a)* e^{x*\ln (a) }\quad$

$f'(x)=c*\ln (a)* a^x\quad$

Mit der e-Funktion kann man nun die Stammfunktion bilden, die wichtig für die Integralrechnung ist.

$F(x)= \left( \frac{c}{\ln (a)} \right)* e^{x*\ln (a) } \quad$

$F(x)= \left( \frac{c}{\ln (a)} \right)* a^x \quad$

Bildung der Ableitung mit Hilfe des Differenzenquotients:

Differenzenquotient: $m(h)= {\nabla y \over \nabla x} ={f(x_0 +h)-f(x_0) \over h}$

Beispiel: $f(x)=2^x\,$

- $m(h)=\left( \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \right) \,$

- Funktion einsetzen: $m(h)=\left( \frac{2^{x_o+h}-2^{x_0}}{h} \right) \,$

=$m(h)=\left( \frac{2^{x_o}*2^{h}-2^{x_0}}{h} \right) \,$

=$m(h)=\left( 2^{x_0}\frac{2^{h}-1}{h} \right) \,$

- da $f(x)=2^x\,$ ist $m(h)=\left( f(x)\frac{2^{h}-1}{h} \right) \,$

- den Grenzwert bilden, denn $f'(x)\,$ = $\lim_{h \to 0}m(h)$

- also $f'(x)\,$ = $\lim_{h \to 0}\left( f(x)\frac{2^{h}-1}{h} \right)$

- $f'(x)\,$ = $f(x)\,$ * $\lim_{h \to 0}\left(\frac{2^{h}-1}{h} \right)$

- da $\lim_{h \to 0}\left(\frac{2^{h}-1}{h} \right)$ $\approx$ $0{,}693$ ist $f'(x)\,$ = $f(x)\,$ * $0{,}693$

- und damit ist $f'(x)\,$ = $2^x\,$ * $0{,}693$

Logarithmusfunktionen

Definition:

Logarithmusfunktionen sind Funktionen mit der Formel $f(x)=\log _a (x)\,$

mit $a\epsilon\mathbb{R}$

$a\neq1$

$x\ge 0\,$

Eigenschaften:

• Zusammenhang mit der Exponentialfunktion:

Die Logarithmusfunktion $f(x)=\log _a (x)\,$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $f(x)=a^x\,$ .

• Der Graph der Logarithmusfunktion $f(x)=\log _a (x)\,$...

...verläuft im Wertebereich $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen

...hat eine Nullstelle bei P(1\0)

...hat die y-Achse als Asymptote

...ist streng monoton wachsend, wenn $a>1\,$

...ist streng monoton fallend, wenn $0<a<1\,$

Funktion $f(x) = lg(x)\,$

• Verschiebung

Wenn zu x eine Zahl addiert wird ($\log _a (x+2)\,$), verschiebt sich der Graph nach links.

Wenn von x eine Zahl subtrahiert wird ($\log _a (x-2)\,$), verschiebt sich der Graph nach rechts.

Funktion $f(x) = lg(x+2)\,$

Wenn zu dem gesamten Term eine Zahl addiert wird ($\log _a (x)+2\,$), verschiebt sich der Graph nach oben.

Wenn von dem gesamten Term eine Zahl subtrahiert wird ($\log _a (x)-2\,$), verschiebt sich der Graph nach unten.

Funktion $f(x) = lg(x)+2\,$

• Stauchung und Streckung

gegeben: $g(x)=c*\log _a (x)\,$

Wenn $c>1\,$, dann ist der Graph gestaucht.

Wenn $0<c<1\,$, dann ist der Graph gestreckt.

Funktion $f(x) = 0,25*lg(x)\,$

Ableitung:

• allgemein

$f(x)=\log _a (x)\,$

$f'(x)={1\over x*\ln (a)}$

• für natürlichen Logarithmus

$f(x)=\ln (x)\,$

$f'(x)={1\over x}$

Stammfunktion für natürlichen Logarithmus:

$f(x)=\ln (x)\,$

mit Hilfe der Produktintegration erhält man:

$\int \ \ln (x) \mathrm{d}x = \int \ 1* \ln (x) \mathrm{d}x$

$= \ln (x) *x - \int \ {1 \over x} *x \mathrm{d}x$

$= \ln (x) *x - \int \ 1 \mathrm{d}x$

$= \ln (x) *x - x + C \,$

Mathematisierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen

Beispiel zum exponentiellen Wachstum (Schulbuch S.281 Nr.3)

Aufgabenstellung

Cholera wird durch den Bazillus Vibrio cholerae hervorgerufen. Zu Beginn eines Experiments werden 400 Bazillen in eine Nährlösung gebracht. Zwei Stunden später zählt man 30000. In diesem Stadium wird von einer exponentiellen Vermehrung ausgegangen. a) Bestimmen Sie diezugehörige Wachstumsfunktion zum Zeitschritt 2 Stunden. b) Wie lautet die Wachstumskonstante und die Wachstumsfunktion zum Zeitschritt 1 Stunde (bzw. 1 Minute)? Wie viele Bakterien erhält man jeweils nach 30 Minuten?

Lösung:

a) Ausgangsfunktion: $f(x) =c*a^x\,$

Gegeben:

• Startwert c=400;
• Zeitschritt= 2 Stunden;
• $f(1)=30000\,$

Gesucht:

• Wachstumsfaktor a

Einsetzen in die Ausgangsfunktion:

$30000=400*a^1\,$

$75=a\,$

$\Rightarrow$ $f(x)=400*75^x\,$

Mit dieser Gleichung kann man nun den Bestand von Cholera nach jeweils 2 Stunden berechnen. Um den Bestand auch nach 1 stunde (1 Minute) ausrechenen zu können, muss man x neu definieren, wodurch sich der Wachstumsfaktor a verändert.

b) Gegeben:

• Startwert c=400;
• Zeitschritt x=1 Stunde (bzw. 1 Minute);
• $f(2)=30000\,$ $(f(120)=30000)\,$

Gesucht:

• Wachstumsfktor a für den Zeitschritt 1 Stunde (bzw. 1 Minute)

Einsetzten in die Ausgangsfunktion:

Mit Zeitschritt 1 Stunde:

$30000=400*a^2\,$
$75=a^2\,$
$a=\sqrt{75}\,$
$\Rightarrow$ $f(x)=400*\sqrt{75}^x\,$

Mit Zeitschritt 1 Minute:

$30000=400*a^{120}\,$
$75=a^{120}\,$
$a=1,0366\,$
$\Rightarrow$ $f(x)=400*1,0366^x\,$

Nun kann man den Bestand nach 30 Minuten ausrechnen:
$f(0,5)=400*\sqrt{75}^{0,5}\,$
$y=1177,12\,$
oder
$f(30)=400*1,0366^{30}\,$
$y=1177,12\,$

Um nun die Wachstumskonstante k bestimmen zu können, muss man die Funktion $f(x) =c*e^{k*x}\,$ benutzten. Hierbei wird die Wachstumskonstante k mit $k=ln(a)\,$ beschrieben.

Daraus ergibt sich nun also folgendes:
$k=ln(\sqrt{75})\,$ $(bzw.k=ln(1,0366))\,$
$f(x)=400*e^{ln(\sqrt{75})*x}\,$ $(bzw.f(x)=400*e^{ln(1,0366)*x})\,$

Trigonometrische Funktionen

Ableitung und Stammfunktion von Trigonometrischen Funktionen

$\operatorname{}$	sin(x)	cos(x)	tan(x)	arc sin(x)	arc cos(x)	arc tan(x)
F(x)	$\operatorname{-cos(x)}$	$\operatorname{sin(x)}$	$\operatorname{-\ln|\cos x|}$	$\operatorname{x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{x \arccos x-\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{x \arctan x-\tfrac 12\ln\left(1+x^2\right)}$
f '(x)	$\operatorname{cos(x)}$	$\operatorname{-sin(x)}$	$\operatorname{1+tan^2(x)}$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{\frac{1}{x^2+1}}$

---

Eigenschaften der Funktionen

Eigenschaften der Sinusfunktion

• Funktion:
  • $\operatorname{f(x)=\sin(x)}$
• Definitionsbereich:
  • $x\in\mathbb{R}$
    
• Wertebereich:
  • $\operatorname{[-1;1]}$
    
• Nullstellen:
  • $f(0)=k\cdot 180^\circ$
  • bzw. $\operatorname{f(0)=k\cdot \pi}$
  • wobei $k\in\mathbb{Z}$
    
• Hochpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $x=\frac{\pi}{2}$
  • bzw. $x=90^\circ$
    

• Tiefpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $x=\frac{3}{2}\pi$
  • bzw. $x=270^\circ$
• Periode:
  • $360^\circ$ bzw. $\operatorname{2\pi}$
• Symmetrie:
  • punktsymmetrisch zum Ursprung $\operatorname{\sin(-x)=-\sin(x)}$
    

Eigenschaften der Cosinusfunktion

• Funktion:
  • $\operatorname{f(x)=\cos(x)}$
• Definitionsbereich:
  • $x\in\mathbb{R}$
    
• Wertebereich:
  • $\operatorname{[-1;1]}$
    
• Nullstellen:
  • $f(0)=90^\circ+k\cdot 180^\circ$
  • bzw. $f(0)=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi$
  • wobei $k\in\mathbb{Z}$
    
• Hochpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $\operatorname{x=0}$ ; $\operatorname{x=2\pi}$
  • bzw. $x=0^\circ$ ; $x=360^\circ$
    

• Tiefpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $\operatorname{x=\pi}$
  • bzw. $x=180^\circ$
• Periode:
  • $360^\circ$ bzw. $\operatorname{2\pi}$
• Symmetrie:
  • achsensymmetrisch zur y-Achse $\operatorname{\cos(-x)=\cos(x)}$

Eigenschaften der Tangensfunktion

• Funktion:
  • $\operatorname{f(x)=\tan(x)}$
• Definitionsbereich:
  • $x\in\mathbb{R}\setminus \left \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right \}$
    
• Wertebereich:
  • $\operatorname{\mathbb{R}}$
    
• Nullstellen:
  • $f(0)=k\cdot 180^\circ$
  • bzw. $\operatorname{f(0)=k\cdot \pi}$
  • wobei $k\in\mathbb{Z}$
    
• Extrema:
  • Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da $\operatorname{f'(x)}$ an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.
• Periode:
  • $180^\circ$ bzw. $\operatorname{\pi}$
• Symmetrie:
  • punktsymmetrisch zum Koordinatensystem $\operatorname{\tan(-x)=-\tan(x)}$

trigonometrischer Pythagoras

• $\operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}$
  • Pythagoras lautet $\operatorname{a^2 + b^2 = c^2}$. Die Kathete und die Ankathete sind $\operatorname{\sin \alpha}$ und $\operatorname{\cos \alpha}$. Die Hypotenuse hat die Länge $\operatorname{1}$.
  • Es gilt $\operatorname{1^2 = 1}$.

Additionstheoreme

• $\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}$
• $\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}$

Integrationsregeln

Logarithmische Integration

Die einfachste Integrationsmethode ist die logarithmische Integration, deshalb überprüft man als erstes, ob sie möglich ist.

Das Integral der 1.Ableitung einer Funktion $f(x)$ geteilt durch die Funktion selbst kann durch $\ln(\left|f(x)\right|)$ angegeben werden :

$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \ln(\left|f(x)\right|)$

Die Betragsstriche sind notwenig, da der $ln(x)$ für $x \le 0$ nicht definiert ist.

Beispiel :

$\int \frac{2x+2}{x^2+2x} \,dx = \ln(\left|x^2+2x\right|)$

$\int \frac{4x+2}{x^2+x} \,dx = 2 \int \frac{2x+1}{x^2+x} \,dx = 2 \ln(\left|x^2+x\right|)$

Partielle Integration

Integrale der Form

$\int P(x) * e^{ax} \,dx$

$\int P(x) * \sin (ax+b) \,dx$

$\int P(x) * \cos (ax+b) \,dx$

$\int P(x)*e^{ax} * \sin (ax+b) \,dx$

lassen sich durch partielle Integration bestimmen.

Wir vereinbaren als Kurzschreibweise für die Funktionen $u(x) = u$ und $v(x) = v$

Die Regel für die partielle Integration leitet sich von der Produktregel zum Ableiten her:

$\left( u*v\right)' =u'*v+v'*u \qquad|\int$

$u*v=\int u'*v\ + \int u*v'$

Damit ergibt sich für uns folgende Integrationsregel:

$\int u'*v\ = u*v - \int u*v'$

Nun wird P(x) = v(x) gesetzt und die Exponential- oder trigonometrische Funktion als u'(x) , da sie beim integrieren nicht komplizierter wird. Anschließend wird nach der obenstehenden Regel integriert.

Beispiel a)

$\int x* \sin (x)\,dx \qquad v = x \quad v' = 1 \quad u' = \sin (x) \quad u = -\cos (x)$

$\int x*\sin (x)\,dx = x*\left(-\cos (x)\right)-\int -\cos (x)\,dx = -x*\cos (x) + \sin (x) +C$

Beispiel b)

$\int x*e^x \,dx \qquad v = x \quad v' = 1 \quad u' = e^x \quad u = e^x$

$\int x*e^x\,dx = x*e^x - \int e^x \,dx = \left(x-1\right)*e^x+C$

3 typische Aufgaben/Tricks zur Produktintegration/partielle Integration:

a) Abbau von Potenzen

$\int_{0}^{\left ( \frac{\pi}{2} \right )} x^2*\sin (x)\,dx \qquad v=x^2 \quad v'=2x \quad u'=\sin (x) \quad u=-\cos (x)$

$\int x^2*\sin (x)\,dx = -\cos (x)*x^2 + \int 2x * \cos (x) \,dx \qquad v=2x \quad v'=2 \quad u'=\cos (x) u=\sin (x)$

da ein zweites Integral entstanden ist, das wir nicht so einfach lösen können, benutzen wir die partielle Integration ein zweites Mal, um das x abzubauen.

$\int 2x*\cos (x)\,dx = 2x*\sin (x) - \int 2\sin (x)\,dx$

$\int x^2*\sin (x)\,dx = -x^2*\cos (x) + 2x*\sin (x) + 2*\cos (x)$

Grenzen einsetzen:

$\int_{0}^{\left ( \frac{\pi}{2} \right )} x^2*\sin (x)\,dx = \pi - 2$

b) Faktor 1:

$\int 1*ln (x)\,dx \qquad v=\ln (x) \quad v'=\frac{1}{x} \quad u'=1 \quad u=x$

Um $\ln(x)$ integrieren zu können, denken wir uns ein $*1$ vor dem $\ln(x)$, um dann die Produktintegration anwenden zu können.

$\int 1*ln (x)\,dx = x*\ln (x)-\int 1\ = x*\ln (x) - x = x*\left(\ln (x)-1\right)$

c) Wiederauferstehung eines Integrals(Zombies^^):

$\int e^x*\sin (x)\,dx \qquad v=\sin (x) \quad v'=\cos (x) \quad u'=e^x \quad u=e^x$

$\int e^x*\sin (x)\,dx = e^x*\sin (x) - \int e^x*\cos (x)\,dx$

$v=\cos (x) \quad v'=-\sin (x) \quad u'=e^x \quad u=e^x$

$\int e^x*\sin (x)\,dx = e^x*\sin (x) - e^x*\cos (x) - \int e^x* \sin(x)\,dx$

Das hintere Integral ist das gleiche wie das, nach dem wir suchen (es ist wieder auferstanden). Also bringen wir es auf die andere Seite der Gleichung und teilen dann die Gleichung durch 2, um das gesuchte Integral zu erhalten.

$2*\int e^x* \sin(x)\,dx = e^x*\left(\sin (x) - \cos (x)\right) \qquad|:2$

$\int e^x* \sin(x)\,dx = \frac{1}{2}*e^x*\left(\sin (x) - \cos (x)\right)$

Integration durch Substitution

Integration durch Substitution verwendet man, wenn keine andere Integrationsmethode ohne weiter Probleme möglich ist. Bei der Substitution wird ein Teil der zu integrierenden Funktion durch eine Variable ersetzt, um das Integral zu vereinfachen. Beispiel am Integral der Funktion $f(x)=\frac{4x}{\sqrt{1+x^2} }$ In diesem Fall bietet sich an $1+x^2$ zu ersetzen, weil man dadurch eine Zahl erhällt, die man mit dem Zähler kürzen kann. Generell kann man sagen, dass man versuchen sollte einen Integranden so zu wählen, dass man später kürzen kann.

Von $1+x^2$ bildet man zunächst die 1.Ableitung, welche immer $\frac{dz}{dx}$ entspricht. Im nächsten Schritt löst man nach $dx$ auf, damit man dies in das Integral einsetzen kann. $z = 1+x^2 \qquad z'=2x\;=\;\frac{dz}{dx}\; \rightarrow dx=\frac{dz}{2x}$

Nun vereinfacht man das Integral, um danach die Stammfunktion bestimmen zu können. $\int \frac{4x}{\sqrt{z} } \;\frac{dz}{2x} \quad=\quad \int f\frac{2}{\sqrt{z} } \,{dz}$ |$2x$kürzen sich raus

Die Stammfunktion ist demnach: $F(z)=4\sqrt{z} \quad$ Wenn man das Integral so weit wie möglich vereinfacht hat und die Stammfuntion bestimmt hat setz man für $z$ wieder den urspünglichen Wert ein, somit lautet das Ergebnis $F(x) =4\sqrt{1+x^2}$.

Ein weiteres Beispiel wäre:$\int \frac{x}{\sqrt{1+2x} } \,dx$ Hier kann man egal, was man für $z$ nimmt mit dessen Ableitung nicht kürzen. In diesem Fall wird der substituierte Teil nach $x$ aufgelöst und eingesetzt.

$z= 1+2x \quad z'=\frac{dz}{dx} =2 \quad dx=\frac{dz}{2}\quad x=\frac{1}{2}z-\frac{1}{2}$ Alles wird eingestzt. $\Rightarrow \quad \int\frac{x}{\sqrt{z} } \frac{dz}{2}$ $= \int \frac{\frac{1}{4}z-\frac{1}{4} }{\sqrt{z} }\,dz$ Jetzt kann man bereits die Stammfunktion bilden. $F(x) = \frac{1}{6}z^\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{z} \quad$ für z setzt man anschließend wieder die ursprünglichen Zahlen ein, also $1+2x$. Fertig umgeformt sieht die funktion so aus: $\frac{1}{6}\sqrt{(1+2x)^3} -\frac{1}{2}\sqrt{1+2x}$

Uneigentliche Integrale

Wenn man das Integral einer im Bereich von a bis $\infty$ stetigen Funktion $f(x)$ mit einer endlichen Zahl bestimmen kann, nennt man dies uneigentliches Integral. D.h. der Grenzwert $\lim_{b\to\infty} \int_{a}^{b} f (x)\,dx$ existiert, obwohl für jede Vergrößerung von b eine neue Teilfläche hinzukommt, bzw. die Fläche "ins Unendliche ragt".

Beispiel :

$\int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} \,dx = -\frac{1}{x}\Big|_1^b = - \frac{1}{b} + 1$ $(b > 1)$.

Nun erfolgt die Bestimmung des uneigentlichen Integrals durch Bildung des Grenzwerts: $\lim_{b\to\infty} - \frac{1}{b} + 1 = 1$.

Anwendung und Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Volumenintegration

Die Volumenintegration ist eine Berechnungsmethode zur Bestimmung des Volumens eines Körpers, welcher entsteht, wenn die Fläche unter einem Graphen f im Intervall [a; b] um eine Achse des Koordinatensystems rotiert.

Rotation um die x-Achse

Formel zur Bestimmung des Volumens V:

$V=\pi * \int\limits_{a}^{b} (f(x))^2\, \mathrm{d}x$

Herleitung

Bei der Rotation des Graphen um die x-Achse entsteht ein Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche.

Rotation

Das Volumen dieses Körpers lässt sich näherungsweise durch die Addition unendlich kleiner und vieler Zylinder berechnen. Dies gilt nur für Funktionen, welche im Intervall [a;b] stetig sind.

Da $f(x)\,$ dem Radius des Körpers entspricht und $h=(a-b)/n\,$, lässt sich der gesuchte Rauminhalt auch wie folgt ausrechnen:

Zylindervolumen: $V_{Zylinder} = r^2 * \pi * h \,$

Gesamtvolumen: $V_n=\pi*(f(x_1))^2*h + ... + \pi*(f(x_\mathit{n})^2 * h \,$

umgeformt:

$\lim_{n \to \infty} V_\mathit{n} = \pi * \int\limits_{a}^{b} (f(x))^2\, \mathrm{d}x$

Endergebnis für de Formel:

$V=\pi * \int\limits_{a}^{b} (f(x))^2\, \mathrm{d}x$

Rotation um die y-Achse

Formel für die Berechnung des Volumens V eines Körpers der entsteht, wenn ein Graph um die y-Achse rotiert:

$V=\pi * \int\limits_{a}^{b} (\bar f(y))^2\, \mathrm{d}x$

Herleitung

Die Herleitung für die Formel ist analog zu der bei der Rotation um die x-Achse. Da die Intervallgrenzen $c\,$ und $d\,$ jedoch auf der y-Achse liegen, integriert man lediglich die Umkehrfunktion (im Koordinatensystem: die Spiegelung des Graphen an der ersten Winkelhalbierenden). Dadurch entstehen "neue" Intervallgrenzen $a\,$ und $b\,$, die nun Werte auf der x-Achse sind, mit denen man rechnen kann.

'Beispiel'

Die Funktion $f(x)= \frac{1}{3} x - 2$ soll um die y-achse Rotieren. Berechnen sie den Rauminhalt des Körpers im Intervall [1|3].

Schritt 1

Bildung der Umkehrfunktion:

$f(x) = \frac{1}{3} x -2 \,$

$y = \frac{1}{3} x -2 \,$ $|+2 \,$

$y+2 = \frac{1}{3} x \,$ $|*3 \,$

$3y+6=x \,$

$\bar f(x)= 3x+6 \,$

Schritt 2

In die Formel einsetzten und integrieren:

$V=\pi * \int\limits_{1}^{3} (3x+6)^2\, \mathrm{d}x \,$

$V=\pi * \int\limits_{1}^{3} (9x^2+36x+36)\, \mathrm{d}x \,$

$V=\pi * [3x^3+18x^2+36x]_{1}^{3} \,$

$V=\pi * [3*3^3+18*3^2+36*3 - (3*1^3+18*1^2+36*1)] \,$

$V=\pi * [81+162+108-3-18-36] \,$

$V=\pi * 294 \,$

Schritt 3

Antwort:

Das Volumen des Körpers beträgt $294\pi \,$ $_{(FE)} \,$

Approximation von Funktionen

...

Ausgleichskurven

...

Siehe auch

• Anwendungen Analysis
• Extremwertaufgaben
• Funktionen
• Kurvendiskussion
• Unterrichtsthemen im Mathematikunterricht