Die Zeit des ZUM-Wikis geht zu Ende!

01.09.2021: Das ZUM-Wiki kann nur noch gelesen werden.
Ende 2021: Das ZUM-Wiki wird gelöscht.

Mehr Infos hier.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Version vom 8. November 2006, 11:20 Uhr von Prabodh (Diskussion | Beiträge)

(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Wann spricht man von einer bedingten Wahrscheinlichkeit?

Bei mehrmaligem Würfeln hängt die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zwischen 1 und 6 zu werfen nicht von dem vorherigen Ergebnis ab. Jeder Wurf geschieht unabhängig von dem vorigen. Werden hingegen aus einer Urne, die z.B. mehrere Kugeln mit zwei unterschiedlichen Farben enthält nacheinander Kugeln gezogen, ohne sie wieder zurückzulegen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis oft von dem vorigen Ergebnis abhängig. In diesem Fall spricht man von einer bedingten Wahrscheinlichkeit.

Einführungsbeispiel

Eine Urne enthält 100 Kugeln.
70 Kugeln bestehen aus dem Material Holz und 30 Kugeln sind aus Kunststoff.
25 der Holzkugeln sind mit der Farbe rot gestrichen und 45 sind grün.
10 der Kunststoffkugeln sind rot und 20 sind grün.
Die Kugeln tragen zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen.
Bw 01.gif
Dieser Sachverhalt kann in einer Vierfeldtafel dargestellt werden:
Bw 02.gif
Aus der Urne wird nun eine Kugel zufällig gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Holzkugel zu ziehen ist:
P(A)= \frac {70} {100}= \frac {7} {10}=0,7
Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine grüne Kunststoffkugel zu ziehen ist:
P(\bar A \cap \bar B)= \frac {20} {100}= \frac {2} {10}=0,2
Jemand zieht eine Kugel und spührt mit der Hand, dass es sich um eine Kunststoffkugel handelt.
Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel in seiner Hand grün ist?
Mit einem Ereignisbaum soll diese Frage nun geklärt werden.
Bw 03.gif
Die Bezeichnung P_A(B)\, bedeutet:
Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist.
Diese Wahrscheinlichkeit nennen wir bedingte Wahrscheinlichkeit.
Eine Regel für die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit lässt mit der Pfadmultiplikationsregel herleiten:
P(A) \cdot P_A(B)=P(A \cap B) \Leftrightarrow P_A(B)= \frac {P(A \cap B)} {P(A) }
Wenn man also weiß, dass die gezogene Kugel aus Kunststoff besteht, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Farbe grün hat:
 P_\bar A( \bar B)= \frac {P( \bar A \cap \bar B)} {P( \bar A) }=\frac {4} {20}: \frac {3} {10}=\frac {4 \cdot 10} {3 \cdot 20}=\frac {2} {3} = 0{,}\bar 6
Analog lassen sich die restlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Zusammenhang zwischen Vierfeldtafel und Baumdiagramm bei bedingten Wahrscheinlichkeiten

Vierfeldtafel

 

B\,

\bar B

Summe

A\,

P(A \cap B)

P(A \cap \bar B)

P(A)\,

\bar A

P(\bar A \cap B)

P(\bar A \cap \bar B)

P(\bar A)

Summe

P(B)\,

P(\bar B)

 1\,

Baumdiagramm umgekehrtes Baumdiagramm

Baum 01.gif

Ibaum 01.gif

Vertauscht man bei einem Baumdiagramm die Reihenfolge der betrachteten Merkmale, dann erhält man das umgekehrte oder inverse Baumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeiten an den Pfadenden stimmen in beiden Baumdiagrammen bis auf die Reihenfolge überein. Die Pfadwahrscheinlichkeiten und damit auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich im Allgemeinen voneinander. Sie beziehen sich auf verschiedene Merkmale und daher auch auf verschiedene Teilgesamtheiten.

Die Regel, nach der die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet wird, geht auf den englischen Mathematiker Thomas Bayes (1702 - 1761) zurück und wird daher auch Bayes'sche Regel oder auch Satz von Bayes genannt.

Sind A\, und  B\, Ereignisse mit P(A) \not = 0 \, dann gilt:

 P_A(B)= \frac {P(A \cap B)} {P(A) }


Weitere Informationen