Terme/Umformen von Termen und Rechnen mit Quadratwurzeln: Unterschied zwischen den Seiten

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< Terme(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Walla Marina
 
Main>Petra Bader
 
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= <span style="color: green">Umformen von Termen</span> =
== Vollständiges Radizieren ==
==<span style="color: green">Äquivalente Terme </span> ==
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu01.htm Einfach Übung]


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
==Teilweise Radizieren==
'''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
=== Teilweise Radizieren ohne Variablen ===
{|
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu02.htm 1. Übung]
! width="910" |
|-
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{|
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu03.htm 2. Übung]
! width="600" |
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|-
| valign="top" |
<br /> <br /> Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b<sub>1</sub>=b<sub>2</sub>=b)


=== Teilweise Radizieren mit Variablen ===
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu04.htm 3. Übung]


Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu05.htm 4. Übung]
|} <br /> <br />
|
| valign="top" |
[[Bild:einstieg_addierensubtrahieren_neu.jpg]] <br /> <br />
|}


<popup name="Lösung">
==Addition und Subtraktion von Wurzeln mit Variablen==
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu11.htm 1. Übung zur Addition und Subtraktion]


1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A<sub>1</sub> (b)= 2b•4-2b
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu12.htm 2. Übung]


2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A<sub>2</sub> (b)= 3•2b
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu13.htm 3. Übung]


Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
==Multiplikation von Wurzeln mit Variablen==
</popup>
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu21.htm 1. Übung zur Multiplikation]


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu22.htm 2. Übung]


[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu23.htm 3. Übung]


<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu24.htm 4. Übung]
Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>.  
Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.


<span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span>
==Test Dein Können!==
{|width="99%"
Auf den Seiten des Stark-Verlages kannst Du Dein können individuell testen. Probiere es aus! Wähle Deine Jahrgangsstufe und das entsprechende Thema unter [http://www.stark-verlag.de/wbt/servlet/WBTServlet/wbt?action=TA_Startseite&pageId=-179443253.239027465&component=TestManager&wbt_unit=#currentstep Test des Stark-Verlages]
|width="40%" style="vertical-align:top"|
 
* '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt: 
::a+b = b+a
::a•b = b•a
* '''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
::a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
::a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
* '''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
::a•(b+c) = a•b+a•c
:für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
::(b+c):a = b:a+c:a
 
|width="50%" style="vertical-align:top"|
|width="70%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}
</div>
<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
<br />
T(a;b)= 3a+(7b+2a) 
: <sup>(KG)</sup>= 3a+(2a+7b)
:<sup>(AG)</sup>= (3a+2a)+7b 
:= 5a+7b
 
Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen.
Vereinfache nun selbst folgende Terme:
 
a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)
 
b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
 
c)T(x)= (3+5•x)•x
 
<popup name="Lösung">
a) T(a;b)= 7a+(9b+6a)
:<sup>(KG)</sup>= 7a+(6a+9b) 
:<sup>(AG)</sup>= (7a+6a)+9b 
:= 13a+9b
 
b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
:<sup>(KG)</sup>= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b 
: <sup>(AG)</sup>=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b
:= 6ab+20ab
:= 26ab
 
c)T(a;b)= (3+5•x)•x
:<sup>(DG)</sup>= 3•x+5•x•x
:= 3x+5x<sup>2</sup>
</popup> </div>
<br /><br />
 
==<span style="color: green">Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder </span> ==
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
<br />Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
*5•x+3•x=
 
*5•x-3•x=
<popup name="Lösung">
*5•x+3•x= 8•x=8x
 
*5•x-3•x= 2•x= 2x
</popup>
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
{|width="99%"
|width="100%" style="vertical-align:top"|
Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die [[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen/Koeffizienten|Koeffizienten]] addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
::<span style="color: red">m</span>•x+<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m+n</span>)•x
 
Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
::<span style="color: red">m</span>•x-<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m-n</span>)•x
|width="50%" style="vertical-align:top"|
|width="50%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}
 
</div>
<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
<br />T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
<br />Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:
 
* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2,7+0,3n)\right]</math>
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
<popup name="Lösung">
 
* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z =
:= 8z<sup>2</sup>-7+3z+6z<sup>2</sup>-2z =
:= 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =
:= 14z<sup>2</sup>+z-7
* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> =
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> =
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =
:= 2,8n<sup>2</sup>+0,3n<sup>2</sup>+2,2n+2,7n-0,25 =
:= 3,1n<sup>2</sup>+4,9n-0,25
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9) =
:= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+2ab+9a =
:= 4a<sup>2</sup>-2a+9a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2 =
:= 4a<sup>2</sup>+7a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2
</popup> </div>
<br />
 
==<span style="color: green">Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl </span> ==
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
<br />Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
 
T(x)= (3•a)•2
<popup name="Lösung">
T(x)= (3•a)•2=
:<sup>(AG)</sup> = 3•(a•2) =
:<sup>(KG)</sup> = 3•(2•a) =
:<sup>(AG)</sup> = (3•2)•a =
: = 6•a
: = 6a
</popup>
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
{|width="99%"
|width="1000%" style="vertical-align:top"|
Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
:(<span style="color: red">4</span>•a)•<span style="color: red">3</span> = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (<span style="color: red">4•3</span>)•a = <span style="color: red">12</span>•a = 12a
|width="50%" style="vertical-align:top"|
|width="70%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}
 
</div>
<br />
 
Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.
 
T(a)= (14•a):2
<popup name="Lösung">
T(a)= (14•a):2=
:= <math>\frac{14*a}{2}</math>
 
 
:= <math>\frac{7*a}{1}</math>
 
 
:= 7•a
:= 7a
</popup>
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />
{|width="99%"
|width="100%" style="vertical-align:top"|
Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
: (<span style="color: red">9</span>•a):<span style="color: red">3</span> = <math>\frac{9*a}{3}</math> = <math>\frac{3*a}{1}</math> = <span style="color: red">3</span> •a = 3a
|width="50%" style="vertical-align:top"|
|width="70%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}
 
</div><br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
 
Forme möglichst einfache Terme:
 
* (-6n):2
* 24•0,5b
* 2m•6
* 25y:(-0,1)
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math>
* (2y+5y-6y)•2
<popup name="Lösung">
 
* (-6n):2= <math>\frac{-6n}{2}</math> = <math>\frac{-3n}{1}</math> = -3n
* 24•0,5b= (24•0,5)•b= 12•b= 12b
* 2m•6= (2•6)•m= 12•m= 12m
* 25y:(-0,1)= <math>\frac{25y}{-0,1}</math> = <math>\frac{-250y}{1}</math> = -250y
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math> = <math>\left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right)  :3</math> = <math>\left( \frac{4x}{12}\right)  :3</math> = <math>\left( \frac{x}{3}\right)  :3</math> = <math>\frac{x}{3} *\frac{1}{3}  </math> = <math>\frac{x}{9}  </math>
* (2y+5y-6y)•2= y•2= 2y
</popup> </div>
<br />
 
==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''
Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
<div class="multiplechoice-quiz">
<big>''' 1: '''</big>
 
T<sub>1</sub> (x)= 5x-2x+6x
 
T<sub>2</sub> (x)= 2•x•2+5x
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 
<big>''' 2 : '''</big>
 
T<sub>1</sub> (y)= 4y-3•4y+15
 
T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
 
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
 
<big>''' 3: '''</big>
 
T<sub>1</sub> (y;z)= 2y-3+z
 
T<sub>2</sub> (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8
 
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
 
<big>''' 4: '''</big>
 
T<sub>1</sub> (z)= 4•<math>\frac{3}{2}</math> -2z
 
T<sub>2</sub> (z)= 6+8z-5•20%-z•9
 
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
 
<big>''' 5: '''</big>
 
T<sub>1</sub> (r)= 3r-2<sup>3</sup> r+5-r
 
T<sub>2</sub> (r)= 3•r•2
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
 
</div>
 
<br><br><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 
</div>
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''
Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h<sub>c</sub> verdreifacht?
<popup name="Lösung">
A = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub><br />
A <sub>neu</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•2•c•3•h<sub>c</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•2•3 = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•6 = A•6 = 6A
 
Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.
</popup> </div>
<br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.
 
 
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! ursprünglicher Term
! 3x+2x<sup>2</sup>-x+3x<sup>2</sup>
! 7x+x
! x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x<sup>3</sup>
! x•x•x
! x+x-2x
! x-2x
! x+x+3x<sup>2</sup>
|-
| 1.Vorschlag
| 5x<sup>2</sup>+2x  [S]
| 7x<sup>2</sup>  [E]
| x+2x<sup>3</sup>  [H]
| x<sup>3</sup>  [T]
| 0  [Z]
| -x  [E]
| 3x<sup>4</sup>  [?]
|-
| 2.Vorschlag
| 6x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>  [F]
| 8x  [P]
| 3x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>  [I]
| 3x  [L]
| x<sup>2</sup>-2x  [E]
| -2x<sup>2</sup>  [R]
| 2x+3x<sup>2</sup>  [!]
|}
<br />
Lösungswort: <big><u style="color:blue;background:blue">SPITZE!  </u></big><br />(Zum Sichtbarmachen mit der Maus markieren)</div>
<br /><br />
[[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Auflösen von Klammern|Weiter zum nächsten Kapitel]]
 
[[Benutzer:Walla Marina/Facharbeit Lernpfad Terme|Zurück zur Übersicht]]

Version vom 4. Oktober 2007, 12:13 Uhr

Vollständiges Radizieren

Einfach Übung

Teilweise Radizieren

Teilweise Radizieren ohne Variablen

1. Übung

2. Übung

Teilweise Radizieren mit Variablen

3. Übung

4. Übung

Addition und Subtraktion von Wurzeln mit Variablen

1. Übung zur Addition und Subtraktion

2. Übung

3. Übung

Multiplikation von Wurzeln mit Variablen

1. Übung zur Multiplikation

2. Übung

3. Übung

4. Übung

Test Dein Können!

Auf den Seiten des Stark-Verlages kannst Du Dein können individuell testen. Probiere es aus! Wähle Deine Jahrgangsstufe und das entsprechende Thema unter Test des Stark-Verlages

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