Einführung in die Differentialrechnung

Einführung

Willkommen zum Lernpfad "Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben". Hier findet ihr Aufgaben, in denen die Bestimmung von Extremwerten anhand von Beispielen aus dem Alltag eingeübt und vertieft werden kann.

Kurz zur Wiederholung:

Ein Extremwert ist der größte bzw. kleinste Wert einer Funktion (in einem gewissen Bereich). Hier findest du noch die formale mathematische Definition: Definition Extremwerte. Um diesen Wert zu finden, ist es sinnvoll die Ableitung der Funktion näher zu betrachten. Diese beschreibt nämlich anschaulich die Steigung einer angelegten Tangente an der ursprünglichen Funktion. Bei einem Extremwert, ist diese Tangente waagrecht, d.h. die Ableitungsfunktion an dieser Stelle ist Null.

Diesen Sachverhalt kannst du dir nochmal in folgender Skizze näher anschauen:

Du siehst hier die Funktion $a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$, an der du die Werte a, b, c und d verändern kannst. Wie du siehst, gibt es an bestimmten Stellen maximale und minimale Werte. Betrachte nun folgende Aspekte:

• Welchen Einfluss haben die Parameter a, b, c und d auf die Funktion? Wo liegen die Unterschiede?
• Wo befinden sich die Maxima und Minima der Funktion
• Blende die Ableitungsfunktion ein. Welchen Zusammenhang siehst du? Wie ändert sich die Ableitung mit der Veränderung von a, b, c und d? Was erkennst du bei der Änderung von d?
• Um den Zusammenhang deutlicher zu sehen, klicke auf das Kontrollkästchen Extremwerte

Wozu überhaupt Extremwerte?

Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. Im folgenden soll dies an drei Beispielen verdeutlicht werden. Als erstes wollen wir untersuchen, auf welchem Weg ein Ziel am schnellsten erreicht werden kann (dies ist nicht immer der direkteste Weg). Danach schauen wir uns an, wie man eine größtmögliche Schachtel aus vorgegebenen Karton basteln kann. Als letztes soll untersucht werden, in welchem Winkel man einen Ball werfen muss, um damit eine maximale Wurfweite zu erzielen.

Dies ist ein Ausschnitt aus einem breiten Anwendungsbereich von Extremwertaufgaben bzw. der Differentialrechnung. Denn auch in der Natur werden meist Zustände angenommen, die minimale Energie benötigen und somit über Extremwertbestimmungen ermittelt werden könne.

Nun aber zu unseren Aufgaben...

Beispiele für anwendungsbezogene Extremwertaufgaben (mit Lösungsanleitung)

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Der schnellste Weg

Aufgabe

Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage

(a.) 1000m

(b.) 100m.

Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?

                            Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!

Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:

1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar (Teilaufgabe a)):

Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.

2. Zielfunktion für Teilaufgabe a) :

Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.

3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a):

Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.

4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b):

Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung.

Bastelstunde: Falten einer Schachtel

Aufgabe

Von einem rechteckigen Karton mit Seitenlängen a und b (mit b $\le$ a) schneidet man an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x aus, so dass man damit eine oben offene Schachtel falten kann. Die Schachtel besteht dabei aus der Grundfläche G und den Seitenflächen S1 bis S4.

a.) Berechne x in Abhängigkeit von a und b für den Fall, dass das Schachtelvolumen möglichst groß ist.

b.) Was ergibt sich im Sonderfall a $=$ b?

c.) Wie groß ist das maximale Volumen für a $=$ 21 und b $=$ 16?

           Schreibe deine Gedanken, den Rechenweg und deine Ergebnisse auf einem Blatt Papier nieder. 
      Falls du an einer Stelle nicht weiterkommst, oder du zum Schluss die Lösungen vergleichen möchtest, 
                                 kannst du folgende Hinweise zu Hilfe nehmen:

Fertige zuerst eine Skizze der Aufgabenstellung an, in welche die gegebenen und gesuchten Variablen eingezeichnet werden. Dadurch sind die Zusammenhänge leichter ersichtlich.

Lösungsweg zu Teilaufgabe a.)

Nun gilt es, mit Hilfe der Variablen in der Skizze die Formel für das Schachtel-Volumen aufzustellen. Weißt du noch, wie man das Volumen eines Quaders berechnet?

Jetzt bilden wir die erste Ableitung der Volumenformel V(x) und setzen diese gleich Null, um "Kandidaten" für Extrempunkte zu bekommen.

Für welchen unserer Extremstellen-"Kandidaten" das Schachtelvolumen maximal wird, sehen wir nun durch sukzessives Einsetzen der erhaltenen Punkte in die zweite Ableitung der Volumenformel V(x).

Lösungsweg zu Teilaufgabe b.)

Für den Sonderfall $a = b$ ersetzen wir also nun die Variable b durch die Variable a, was bedeutet, dass unser Karton jetzt quadratisch ist. Dadurch erhalten wir sofort zwei neue Lösungen für die Seitenlänge x der herauszuschneidenden Quadrate.

Lösungsweg zu Teilaufgabe c.)

Zum Schluß haben wir noch zwei konkrete Werte für unsere Kartonseitenlängen gegeben, nämlich $a = 21$ und $b = 16$. Wie groß ist hierfür das maximale Volumen $V_\mathrm{max} (x)$?

Der schräge Wurf

Aufgabe

Nun wollen wir untersuchen, in welchem Winkel du einen Ball nach vorne oben werfen musst, um eine möglichst große Wurfweite zu erzielen und welche maximale Höhe der Ball dabei jeweils erreicht.

1. Skizze:

Als erstes solltest du eine Skizze von einem Wurf nach schräg oben anfertigen. Wo befindet sich dabei der entscheidende Winkel $\alpha$? Was sind die entscheidenden Größen?

Falls du nicht weiterkommst, findest du hier die Skizze des Wurfes:

Skizze:

Als feste Größe ist die Abwurfgeschwindigkeit $\vec v_{0}$ anzusehen. Dies ist die Geschwindigkeit, die du durch deine Wurfbewegung dem Ball in einer bestimmten Richtung mitgibst. Der entscheidende Parameter ist der Winkel $\alpha$.

Entscheidend ist nun die Zerlegung der Bewegung in eine x- und eine y-Komponente. Versuche zunächst, die Geschwindigkeit an Hand der Skizze in diese Komponenten zu zerlegen.

2. Physikalische Formeln

Wir wollen allerdings die Flugweite und Flughöhe, nicht die jeweiligen Geschwindigkeiten betrachten. Erinnerst du dich, wie die Ortskomponenten in der Physik mit den Geschwindigkeitskomponenten zusammenhängen? Schreibe die entsprechenden Gleichungen auf!

3. Nebenbedingung formulieren

Nun musst du dir klar werden, welche Größen du darstellen willst! In unserem Fall: Wurfweite x in Abhängigkeit des Wurfwinkels $\alpha$. Steht dies schon da? Oder steht in der Funktion eine Variable, die stört bzw. nicht gegeben ist? Dann musst du diese Variable durch deine eigentlich interessanten Größen ausdrücken, oder anders gesagt, eine Nebenbedinung formulieren.

Tipp: Nicht erschrecken vor zunächst etwas unhandlichen Termen.

Falls du nicht weiterkommst, findest du hier die Nebenbedingung mit entsprechender Auflösung:

4. Nebenbedingung einsetzen und Funktion aufstellen

Wenn du die Nebenbedingung formuliert hast und umgeformt hast, kannst du die störende Variable durch die für die Aufgabe wesentlichen Größen ausdrücken und in die Zielfunktion einsetzen.

5. Bestimmung des Extremwerts (maximale Wurfweite)

Du hast nun eine Funktion, die dir die Wurfweite in Abhängigkeit des Winkels darstellt. Wir wollen den Winkel herausfinden, bei dem die Wurfweite maximal wird. Wir suchen also das Maximum von $x(\alpha)$.

Dieses Maximum können wir bestimmen, indem wir die Funktion einmal ableiten und die Nullstellen dieser Ableitung suchen. Da die Funktion nur von $\alpha$ abhängt, musst du jetzt natürlich nach $\alpha$ ableiten. Versuche, die Nullstelle zu bestimmen.

6. Untersuchung der Flughöhe

Du hast nun herausgefunden, dass die Flugweite eines geworfenen Objekts nicht nur von der Anfangsgeschwindigkeit abhängt, sondern auch vom Winkel, in dem das Objekt abgeworfen wird. Unter dem soeben bestimmten Winkel ist die Flugweite maximal.

Versuche nun noch zu berechnen, welche maximale Höhe das Objekt dabei erreicht. Wir suchen also wieder den Extremwert, diesmal allerdings den maximalen Wert der Höhe. Die Höhe wurde bisher als Funktion y(t) bezeichnet. Klar ist, dass der Ball wohl je höher fliegen wird, je steiler man ihn nach oben wirft und die Flughöhe bei $\alpha=0^\circ$, also den Wurf senkrecht nach oben, sein Maximum haben wird. Die Frage ist nun allerdings wie hoch der Ball unter dem berechneten "optimalen" Abwurfwinkel fliegt.

Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!

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