Benutzer:Christian/test-2

Aufgabe 11

Übungen Logarithmus D

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen. Am Arbeitsplan (Aufgabe 11: Übungen Logarithmus D) hast du Platz dafür.

a) $\log_{a} x + \log_{a} \frac{1}{x}$

b) $\log_{a} x^{4} - \log_{a} x^{2}$

c) $2 \cdot \log_{a} \sqrt{x}$

d) $\log_{a} a^{x}$

e) $\log_{10} (100a) - \log_{10} a$

f) $2 + \log_{10} \frac{1}{100}$

g) $\log_{10} \frac{u \cdot v}{w} + \log_{10} w - \log_{10} v$

h) $\log_{10} (x-y)^{2} - \log_{10} (x-y)$

a) $0$

b) $\log_{a} x^{2}$

c) $\log_{a} x$

d) $x$

e) $2$

f) $0$

g) $\log_{10} u$

h)

\log_{10} (x-y)

Aufgabe 12

Übungen Logarithmus E

Wir haben bei der Definition von $\log_{a} x$ , aber auch bei den Rechenregeln, gesehen, dass $a,x \in \mathbb{R}^{+}$ , $a \neq 1$ sein müssen.

Warum dürfen $a$ und $x$ keine negativen reellen Zahlen sein? Warum darf $a$ nicht gleich $1$ sein?
Versuche, diese Fragen gemeinsam mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler zu beantworten.
Macht euch Notizen und formuliert eure Vermutungen am Arbeitsplan (Aufgabe 12: Übungen Logarithmus E).

Lösung: Aufgabe 12

Warum muss $a \in \mathbb{R}^{+}$ gelten? - Wenn $a$ , also die Basis, negativ wäre, könnten wir nur Exponenten aus $\mathbb{Z}$ verwenden. Exponenten aus $\mathbb{Q}$ oder $\mathbb{R}$ sind für negative Basen nicht definiert. Bei diesen Beispielen $(-2)^{0}=+1, (-2)^{1}=-2, (-2)^{2}=+4, (-2)^{3}=-8, (-2)^{4}=+16$ , usw. erhalten wir immer nur bestimmte positive und negative Zahlen als Ergebnis. Für andere als diese Ergebnisse gibt es keine möglichen Exponenten. Der Logarithmus zu einer negativen Basis macht somit meistens keinen Sinn.
Warum muss $x \in \mathbb{R}^{+}$ gelten? - Der Logarithmus zu einer negativen Basis ist nicht definiert. Wir erhalten mit positiven Basen nur positive Zahlen als Potenzwerte. Daher kann der Numerus nur eine positive Zahl sein.
- Für $a>0, y>0$ ist $x = a^{y}$ immer positiv.
- Für $a>0, y<0, y=-z, z>0$ ist $x = a^{y} = a^{-z} = \frac{1}{a^{z}}$ ebenso positiv.
Warum muss $a \neq 1$ gelten? - Potenziert man $1$ mit einer beliebigen reellen Zahl, so erhält man immer wieder $1$ . $1^{y} = x$ hat keine Lösung, falls $x \neq 1$ und unendlich viele Lösungen, falls $x = 1$ . Somit ist der Logarithmus zur Basis $1$ nicht definiert. Ähnliches gilt für die Basis $0$ .