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| {{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erforschen}}}}
| | Am 18. Januar 1871 wurde durch den Zusammenschluss des Norddeutschen Bundes und der süddeutschen Staaten das [[Deutsches Kaiserreich|Deutsche Reich]] gegründet. Das Deutsche Reich entstand durch die Einigungskriege gegen Österreich 1866 und den [[/Deutsch-französischer Krieg|deutsch-französischen Krieg]] 1870/71. |
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| | Schon lange vorher gab es die Forderung nach einem deutschen Einheitsstaat, den aber erst [[Otto von Bismarck]] durchsetzte. Der preußische König Wilhem I. wurde der erste Kaiser des deutschen Reiches. |
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| |In diesem Kapitel stellen sich die Parameter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden,
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| #wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
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| #welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
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| #wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.
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| |Kurzinfo
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| }}
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| | Mit der Gründung des Deutschen Reiches kam es zu einem konstituellen-monarchischen (es gibt einen Alleinherrscher, der durch eine Verfassung eingeschränkt ist) Bund, der aus 22 Einzelstaaten und drei freien Städten bestand. |
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| ==Strecken, Stauchen und Spiegeln==
| | {{Reichsgründung von oben}} |
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| | [[Kategorie:19. Jahrhundert]] |
| |Achtung
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| |Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Scheitelpunktform|die Parameter der Scheitelpunktform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt [[#Der Parameter b|"Der Parameter b"]].
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| |Hervorhebung1
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| }}
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| |1=Aufgabe 1
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| |2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=2x^2</math>, (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math> und (3) <math>y=-x^2</math> ?
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| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a \cdot x^2</math> verändert.
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| <ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />
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| {{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler'''.
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| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter'''.
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| 3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"'''.}}|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Aufgabe 2
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| |In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
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| {{LearningApp|app=pysv88tea18|height=400px}}
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| {{Lösung versteckt|Wenn a kleiner Null ist (<math>a<0</math>), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
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| Wenn a größer Null ist (<math>a>0</math>), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
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| | |
| Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (<math>-1<a<1</math>), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.
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| Wenn a kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>) oder größer als Eins ist (<math>a>1</math>), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 3
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| |'''Knobelaufgabe'''
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| Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
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| {{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|1=Aufgabe 4|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
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| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
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| '''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
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| '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
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| Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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| |Merksatz
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| }}
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| ==Der Parameter b==
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| {{Box
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| |Aufgabe 5
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=x^2+3x</math>, (2) <math>y=x^2-3x</math> ?
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| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| | |
| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| | |
| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für <math>b=</math> eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+b \cdot x</math> verändert.
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| | |
| <ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="MyuG9D2b" />
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| {{Lösung versteckt|1=Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links und unten verschoben'''.
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| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts und unten verschoben'''.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 6
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11-12) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221_640.jpg|rahmenlos|80x80px]].
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| '''a)'''
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| {{LearningApp|app=pyf382e7a17|width=100%|height=500px}}
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| '''b)''' Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.
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| '''c)''' Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|1=Aufgabe 7|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:
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| | |
| <u>Für '''a>0:'''</u>
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| '''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
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| '''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
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| | |
| <u>Für '''a<0:'''</u>
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| | |
| '''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
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| | |
| '''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| ==Der Parameter c==
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| {{Box
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| |Aufgabe 8
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=x^2+3x+2</math>, (2) <math>y=x^2+3x-2</math> ?
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| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| | |
| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| | |
| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für <math>c=</math> eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+3 \cdot x+c</math> verändert.
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| | |
| <ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="uV5keF5j" />
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| {{Lösung versteckt|1=Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| Durch Aufgabe 5 ist klar, dass die Parabel von Funktion (1) nach links und unten verschoben ist (siehe oben, Parameter b).
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| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist zusätzlich wieder '''nach oben verschoben'''.
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| | |
| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist zusätzlich '''nach unten verschoben'''.
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| Der Wert von c gibt immer den '''y-Achsenabschnitt''' an.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 9
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| |'''Welchen Wert hat der Parameter c?''' Trage deine Lösung wie in dem '''Beispiel''' ein:
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| ::[[Datei:Beispiel Parameter c.PNG|rahmenlos|200px|Beispiel]]
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| {{LearningApp|app=p8zh59fa317|width=100%|height=700px}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|1=Aufgabe 10|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
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| '''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
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| '''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| ==Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte==
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| {{Box
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| |Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind, noch einmal gesammelt dargestellt.
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| |Kurzinfo
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
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| | |
| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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| | |
| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
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| '''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
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| | |
| '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
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| Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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| |Merksatz
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:
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| | |
| <u>Für '''a>0:'''</u>
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| '''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
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| '''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
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| | |
| <u>Für '''a<0:'''</u>
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| '''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
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| '''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
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| '''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
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| | |
| '''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| [[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]]
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| Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=ax^2+bx+c</math>. Diese Form heißt '''Normalform'''.
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| Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Normalform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].
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| {{Fortsetzung|weiter=Die Normalform|weiterlink=Quadratische Funktionen erforschen/Die Normalform}}
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| Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
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| [[Kategorie:Mathematik]]
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| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
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| [[Kategorie:Quadratische Funktion]]
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| [[Kategorie:Interaktive Übung]]
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| [[Kategorie:LearningApps]]
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| [[Kategorie:GeoGebra]]
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