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| | | =={{int:filedesc}}== |
| {{Box|Info|Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen verhalten. Für die Bearbeitung der Aufgaben sollten Ihnen die Begriffe Sekante, lineare Funktion und Differenzenquotient geläufig sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung. | | {{Information |
| [[Datei:Funktion unter der Lupe.jpg|rand|400x400px]]
| | |description={{de|1=Sortieren durch Mischen}} |
| |Kurzinfo
| | |date=2019-08-25 |
| }} | | |source=Übernahme ZUM-Classic |
| ==Funktionen unter der Lupe==
| | |author=Benutzer:CSchmitt |
| {{Box|Aufgabe 1|a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung? | | |permission= |
| {{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 1 a)/|zum Applet]]<ggb_applet height="500" width="1000" showmenubar="true" showreseticon="true" id="e9jhefpy" />
| | |other versions= |
| |Applet anzeigen|Applet verbergen}}<br />
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| b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
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| {{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 1 b)/|zum Applet]]<ggb_applet id="dyeqwu9b" height="450" width="1000" border="8888"></ggb_applet> | |
| |Applet anzeigen|Applet verbergen}} <br /> c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim Hineinzoomen ebenfalls so aussehen wie um den Punkt B?
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| {{Lösung versteckt|{{Box|Lokal linear|Wenn man beim Hineinzoomen in einen Funktionsgraphen bemerken, dass dieser aussieht wie eine Gerade, nennen wir diese Funktion an diesem Punkt '''lokal linear''' .|Merksatz}}
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| |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| {{Box|Aufgabe 2|In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen. <br />
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| a) <math>f(x)= \sqrt{x^2}</math> [[/Aufgabe 2a)|zum Applet]] <br />
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| b) <math>g(x)=100x^2</math> [[/Aufgabe 2b)|zum Applet]] <br />
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| c) <math>h(x)=|x^2-4|</math> [[/Aufgabe 2c)|zum Applet]] <br />
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| d) Notieren Sie sich Ihre Erkenntnis, die Sie in dieser Aufgabe gewonnen haben. |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|Aufgabe 3|Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen. <br />
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| a) Zoomen Sie in [[/Aufgabe 3a)/|diesem Applet]] vermehrt in den Punkt A hinein und schieben Sie B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die Steigung, die der Graph ,,im" Punkt A hat so genau wie möglich. <br /> Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.<br />
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| {{Lösung versteckt|Hier die Lösung der Rechnung{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient <math> \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> kommt der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>h</math> der Null kommt.<br/>
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| Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
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| }}
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| | Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |
| b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung gewährleistet sein?<br />
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| c) Betrachten Sie in [[/Aufgabe 3c)/|diesem Applet]] die Sekante durch die Punkte A und B und verschieben Sie erneut den Punkt B in Richtung A. Beschreiben Sie mit Hinblick auf den Graphen die Gerade die entsteht.{{Lösung versteckt|Hier die Lösung {{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
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| }}
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| | Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| ==Die Tangente als lokale lineare Approximation==
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| <br />{{Box|Aufgabe 4|Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.
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| <br/>
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| Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=0,25x^2</math>, die Tangente der Funktion am Punkt <math>P=(x_0|f(x_0)</math> mit <math>x_0=1,5</math>und die Abweichung <math>h</math> von <math>x_0</math>.
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| <br/>
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| a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe [[/Aufgabe 4 a)/|des Applets]] und interpretieren Sie die rote Strecke.<br/>
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| b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten.<br/>
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| c) Bestimmen Sie durch Berechnung des Approximationsfehlers einen h-Wert für eine ,,gute" und ein h-Wert für eine ,,schlechte" Näherung durch die Tangente.|Arbeitsmethode
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| }}<br />
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| {{Box|Aufgabe 5|Bestimmen Sie durch Addition der farbigen Strecken die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Werte für <math>f(x_0+h)</math>. Nutzen Sie als Hilfe das folgende Applet. <br/>{{Lösung versteckt|[[Datei:Approximation_farbliche_Strecken.png|rand|571x571px]]
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| |Graphik anzeigen|Graphik verbergen}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|Aufgabe 6|Lassen Sie nun den Approximationsfehler für kleine h außer Acht und betrachten die Näherungsfunktion <math> f(x_0+h) =f(x_0)+f'(x_0)*h</math> Stellen Sie die Gleichung nach <math>f'(x)</math> um. Was fällt Ihnen auf?|Arbeitsmethode
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| }} | | }} |
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| | =={{int:license-header}}== |
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| | [[Kategorie:Java]] |
