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Version vom 8. Juli 2008, 16:54 Uhr

Kurzinfo

Mitarbeit bei
mathematik-digital

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Inhaltsverzeichnis

1 Zur Person:
2 Links
3 Satz von Euler
4 Quiz

Zur Person:

Reinhard Schmidt

Tätigkeit: Lehrer

Schule: Hollenberg-Gymnasium Waldbröl

Bundesland: Nordrhein-Westfalen

Fächer: Mathematik, Philosophie

Internet:

hirnwindungen.de

Das Wunderland der Geometrie und

matheschmidt.de

Arbeitsschwerpunkte: Mathematik-Olympiade, Zusammenarbeit von Schule und Hochschule, mathematik-digital.de

"Mathe zählt, weil Mathematik das Werkzeug ist, mit dem man sich die Welt zu eigen macht."

Links

Die folgende Linksammlung enthält Verweise auf fertige oder geplante Lernpfade:

Satz von Euler

Wenn $a$ und $m$ teilerfremde natürliche Zahlen sind, dann ist ohne jeden Zweifel $a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m$ .

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Beweis. Es gibt genau $\varphi(m)$ zu $m$ teilerfremde Zahlen, die kleiner als $m$ sind. Diese wollen wir mit $r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)}$ bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch $ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}$ teilerfremd zu $m$ ; überdies sind die Zahlen $ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)}$ paarweise inkongruent. Daher ist $r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m$ , also $r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m$ , also $1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m$ , qed.