Main>MarinaMueller |
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| {| width=100% style="border: 0; background-color: #ffffff" cellpadding="0" cellspacing="3"
| | [[File:Besatzungszonen in Deutschland und Österreich.png|thumb|Die drei Westmächte und die Sowjetunion teilten Deutschland und Österreich 1945 in Besatzungszonen auf.]] |
| | style="width: {{{BREITE}}}; vertical-align: top; border:1px solid cornflowerblue; background-color: #FFFFFF" |
| | Als '''Besatzungszone''' bezeichnet man ein Gebiet eines Staates, das von ausländischen Truppen besetzt ist und in dem ein fremder Staat als Besatzungsmacht die Hoheitsgewalt (Regierung) übernimmt. |
| <div style="background-color: cornflowerblue; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid cornflowerblue;"></div>
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| <div style="float:right; margin:8px; margin-top:5px">[[Image:Nuvola_apps_edu_miscellaneous.png|48px]]</div>
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| <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">
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| Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen!</div>
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| <div style="font-size:9pt; padding:5px">
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| In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem 'verschoben' werden können.
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| In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen.
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| | Deutschland war nach dem [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieg]] vollständig in Besatzungszonen aufgeteilt. Die {{wpde|Alliierte Rheinlandbesetzung|Rheinlandbesetzung}} nach dem Erster Weltkrieg, die bis 1930 andauerte, war in diesem Sinne keine Besatzungszone, weil die Hoheitsgewalt bei Deutschland blieb. |
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| <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Kompetenzen</div>
| | == Linkliste == |
| {|valign=top cellpadding=0 cellspacing=2 width=100%
| | * {{wpde|Besatzungszone}} |
| |align=left valign=top width=50%|
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| Du kennst bereits:
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| * verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...) | |
| * abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen
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| * Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x-Achse, Verschiebung auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse)
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| |align=left valign=top width=50%|
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| Nach Bearbeitung dieses Pfades:
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| * weißt du, was ganzrationale Funktionen sind.
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| * kennst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen.
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| * weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
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| * weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse stauchen sowie an der x-Achse spiegeln kannst.
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| |} | |
| <br>
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| {|border="0" width="100%"
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| |align = "right"|
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| |align = "left" width="1000"|Und nun ....
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| <br>
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| |align = "left" width="1600"|'''Viel Spaß beim Bearbeiten!!'''
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| |}
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| </div>
| | {{Historisches Stichwort}} |
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| == Infos vor Beginn ==
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| Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein '''Lerntagebuch''' führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen. <br>
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| Mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:
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| Mache spätestens nach jeder Stunde einen Eintrag ins Lerntagebuch und reflektiere über deine Arbeit in der Unterrichtseinheit.
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| '''Allgemeine Hinweise''':
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| * Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
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| * Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
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| * ...
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| <br>
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| == Definition der ganzrationalen Funktionen ==
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| Eine kleine Aufgabe zum Einstieg: <br>
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| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=Du hast ein quadratisches Stück Karton mit der Seitenlänge 16 cm und möchtest eine Kiste (ohne Deckel) basteln. Dazu schneidest du an jeder Ecke des Kartons ein Quadrat der Seitenlänge x aus, so dass du die übriggebliebenen Seiten nur noch hochzuklappen brauchst - die Höhe der Kiste ist demzufolge definiert als x. Stelle eine Funktion für das Volumen auf (in Abhängigkeit von der Höhe x), das heißt, bestimme V(x). Fertige zuvor eine Skizze an.}}
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| {{Lösung versteckt|1=<math>V(x) = (16 - 2x)^2x = 4x^3 + 52x^2 + 256x</math>}} | |
| <br>
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| Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte '''ganzrationale Funktion''' - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden <math>4x^3</math>, <math>52x^2</math> und <math>256x</math>, den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den '''Grad der Funktion''' an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit <math>a_3 - a_1</math> bezeichnet (<math>a_3 = 4, a_2 = 52, a_1 = 256</math>) - sie heißen '''Koeffizienten'''.
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| <br>
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| Nun in allgemeiner Form:
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| {{Definition|1=Ein Term der Form <math>a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 mit n \in N; a_0, a_1, a_2, ..., a_{n - 1}, a_n \in R und a_n \neq 0</math> heißt '''Polynom'''. Die Zahlen <math>a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_{n - 1}, a_n</math> nennt man '''Koeffizienten''' des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient <math>a_n</math> nicht Null ist.<br>
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| Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt '''ganzrationale Funktion'''. <br>
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| Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.}}
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| <br>
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| Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam am Beispiel:
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| <br>
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| <quiz>
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| { Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 0.5x^4 + 3x^3 + 7x^2 - 1.3x - 18</math>.
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| | type="{}" }
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| 1) Der { Grad } der Polynoms ist { 4 }, da 4 der höchste vorkommende Exponent ist. <br>
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| 2) Die { Koeffizienten } lauten wie folgt: <math>a_4</math> = { 0.5 }, <math>a_3</math> = { 3 }, <math>a_2</math> = { 7 }, <math>a_1</math> = { -1.3 }, <math>a_0</math> = { -18 }. Der Index des jeweiligen a entspricht immer den { Exponenten } des zugehörigen x. Achte auf die { Vorzeichen }! Laut Definition kommen für die Koeffizienten alle { reellen } Zahlen in Frage, wundere dich also nicht, wenn in der Funktion z. B. eine Wurzel auftaucht.<br>
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| 3) Da für x alle möglichen Zahlen eingesetzt werden können, ist also hier entsprechend der Definition D = { R }.
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| </quiz>
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| Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast: <br>
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| {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Bestimme Grad und Koeffizienten der folgenden ganzrationalen Funktionen in deinem Lerntagebuch: <br>
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| 1) <math>f(x) = \frac{1}{2}x^7 - 3x^5 + \sqrt{2}x^3 - x + 13</math> <br>
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| 2) <math>g(x) = 7</math> <br>
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| 3) <math>h(x) = \frac{x}{2}</math> <br>
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| 4) <math>i(x) = 0,12345x^6 - 9,87654x </math> <br>
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| 5) <math>j(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x</math>}}
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| <br>
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| {{Lösung versteckt|1) Grad: 7, Koeffizienten: <math>a_7 = \frac{1}{2}, a_5 = -3, a_3 = \sqrt{2}, a_1 = -1, a_0 = 13</math> <br>
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| 2) Grad: 0, Koeffizienten: <\math>a_0 = 13</math>
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| 3) Grad: 1, Koeffizienten: <\math>a_1 = \frac{x}{2}</math>
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| 4) Grad: 6, Koeffizienten: <\math>a_6 = 0,12345, a_1 = 9,87654</math>
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| 5) Grad: 4, Koeffizienten: <math>a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = -1, a_1 = -1</math>
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| }}
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| <br>
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| Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch. <br>
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| <quiz display="simple">
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| { <math>f(x) = \frac{x}{\sqrt{3}}</math> }
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| + ja
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| - nein
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| { <math>g(x) = 1</math>}
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| + ja
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| - nein
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| { <math>h(x) = \frac {\sqrt{3}}{x}</math> }
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| - ja
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| + nein
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| { 4) <math>i(x) = \frac {1}{x + 1} </math> }
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| - ja
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| + nein
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| { <math>j(x) = x^2</math> }
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| + ja
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| - nein
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| </quiz>
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| <br>
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| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=Nun weißt du genau, was eine ganzrationale Funktion ist. Übernimm die Definition in dein Lerntagebuch (sofern noch nicht geschehen) und erläutere sie an einem selbstgewählten Beispiel für eine Funktion dritten Grades. Zeichne auch den zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch - stelle dazu eine geeignete Wertetabelle auf.}}
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| == Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen ==
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| {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=Ordne die Funktionsgleichungen den jeweiligen Bildern zu. Begründe in deinem Lerntagebuch.
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| Zuordnung
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| }}
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| <br>
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| Im Folgenden sollst du die gerade geordneten Funktionen noch einmal genauer untersuchen hinsichtlich möglicher Symmetrien sowie ihrem Verhalten für sehr große und sehr kleine x (Verhalten im Unendlichen):
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| === Symmetrie ===
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| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Bei welcher der Funktionen kannst du eine Symmetrie erkennen (Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie zur y-Achse)? Gruppiere die Funktionen bzw. die Funktionsgleichungen entsprechend in drei Gruppen (Punktsymmetrie, Achsensymmetrie, keine Symmetrie). Formuliere einen Merksatz, woran man eine mögliche Symmetrie an der Funktionsgleichung erkennen kann.}}
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| {{versteckt|Untersuche speziell die Exponenten. Was fällt dir bei punktsymmetrischen Funktionen an den Exponenten auf, was bei achsensymmetrischen?}}
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| {{Lösung versteckt|
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| {{Merke|Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann
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| * achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
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| * punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.}}
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| }}
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| <br>
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| === Verhalten im Unendlichen / Verlauf des Graphen ===
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| {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Wie verhalten sich die verschiedenen Graphen <br>
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| * für sehr große x-Werte?
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| * für sehr kleine x-Werte? <br>
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| Gruppiere die Funktionen begründet entsprechend ihres Verhaltens und formuliere in deinem Lerntagebuch einen Merksatz, woran man das Verhalten der Funktion für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte ablesen kann.}}
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| {{versteckt|Betrachte die einzelnen Summanden. Wenn du sehr große bzw. sehr kleine x-Werte einsetzt, welcher Summand bestimmt dann das Ergebnis hauptsächlich?}}
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| {{Lösung versteckt|
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| {{Merke|1=Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für sehr große x wird von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x, d. h. dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt. Der Graph zur Funktion verhält sich also wie der Graph zur Funktion y = <math>a_nx^n</math>, wobei n der Grad von f ist.}}
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| }}
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| {{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT=Betrachte die folgenden Graphen:<br>
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| [[Bild: jpg]]
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| [[Bild: .jpg]] <br>
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| Beschreibe jeweils den Verlauf der 5 bzw. 6 Graphen. Wie beeinflussen die weiteren Summanden den Verlauf des Graphen zu x^3 bzw. x^4, d. h. ändert sich das Gesamtbild?}}
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| == Transformationen ==
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| Die ganzrationalen Funktionen, die du in diesem Lernpfad kennen gelernt hast, weisen bestimmte Transformationen auf, d. h. die Funktionsgleichung gibt an, inwiefern der Graph gestreckt oder gestaucht, in Richtung der x- oder y-Achse verschoben oder an der x-Achse gespiegelt ist.
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| <br>
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| Mit zwei Arten von ganzrationalen Funktionen hast du dich in den vergangenen Wochen im Unterricht bereits näher beschäftigt. Die ganzrationalen Funktionen ersten und zweiten Grades haben spezielle Namen, linearen Funktionen <math>f(x) = a_1x + a_0</math> und die quadratischen Funktionen <math>g(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0</math>. Die zugehörigen Graphen heißen Geraden bzw. Parabeln.
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| Im Folgenden sollst du dich genauer mit Verschiebungen, Streckungen / Stauchungen
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| == Zusatzaufgabe ==
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| {{Kasten_blau|Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbei
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nach dem Erster Weltkrieg, die bis 1930 andauerte, war in diesem Sinne keine Besatzungszone, weil die Hoheitsgewalt bei Deutschland blieb.
