Terme/Aufstellen und Interpretieren von Termen und Terme/Umformen von Termen: Unterschied zwischen den Seiten
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Main>Walla Marina K (Die Seite wurde neu angelegt: = <span style="color: green">Umformen von Termen</span> = ==<span style="color: green">Äquivalente Terme </span> == <div style="margin:0px; margin-right:90px; border:...) |
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= <span style="color: green"> | = <span style="color: green">Umformen von Termen</span> = | ||
==<span style="color: green"> | ==<span style="color: green">Äquivalente Terme </span> == | ||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>''' | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> | |||
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<br /> <br /> | <br /> <br /> Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b<sub>1</sub>=b<sub>2</sub>=b) | ||
Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen. | |||
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[[Bild: | [[Bild:einstieg_addierensubtrahieren_neu.jpg]] <br /> <br /> | ||
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<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A<sub>1</sub> (b)= 2b•4-2b | |||
2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A<sub>2</sub> (b)= 3•2b | |||
Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>. | |||
</popup> </div> | </popup> </div> | ||
<div style=" | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>''' | ||
'''<span style="color: | Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>. | ||
Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen. | |||
<span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span> | |||
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* '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt: | |||
::a+b = b+a | |||
::a•b = b•a | |||
* '''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt: | |||
::a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c | |||
::a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c | |||
* '''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt: | |||
::a•(b+c) = a•b+a•c | |||
:für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt: | |||
::(b+c):a = b:a+c:a | |||
</div> | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>''' | |||
T(a;b)= 3a+(7b+2a) | |||
< | : <sup>(KG)</sup>= 3a+(2a+7b) | ||
:<sup>(AG)</sup>= (3a+2a)+7b | |||
:= 5a+7b | |||
Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen. | |||
Vereinfache nun selbst folgende Terme: | |||
a)T(a;b)= 7a+(9b+6a) | |||
b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b | |||
c)T(a;b)= (3+5•x)•x | |||
<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
a) T(a;b)= 7a+(9b+6a) | |||
</ | :<sup>(KG)</sup>= 7a+(6a+9b) | ||
:<sup>(AG)</sup>= (7a+6a)+9b | |||
:= 13a+9b | |||
= | b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b | ||
:<sup>(KG)</sup>= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b | |||
: <sup>(AG)</sup>=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b | |||
:= 6ab+20ab | |||
:= 26ab | |||
c)T(a;b)= (3+5•x)•x | |||
<br /> | :<sup>(DG)</sup>= 3•x+5•x•x | ||
:= 3x+5x<sup>2</sup> | |||
</popup> </div> | |||
<br /><br /> | |||
==<span style="color: green">Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder </span> == | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst: | |||
*5•x+3•x= | |||
*5•x-3•x= | |||
<popup name="Lösung"> | |||
*5•x+3•x= 8•x=8x | |||
*5•x-3•x= 2•x= 2x | |||
</popup> </div> | |||
<br /> | |||
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>''' | |||
Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält: | |||
::<span style="color: red">m</span>•x+<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m+n</span>)•x | |||
Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält: | |||
::<span style="color: red">m</span>•x-<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m-n</span>)•x | |||
</div> | |||
<br /> | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>''' | |||
T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2 | |||
Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br /> | |||
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen: | |||
* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z | |||
* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> | |||
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9) | |||
<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z = | |||
:= 8z<sup>2</sup>-7+3z+6z<sup>2</sup>-2z = | |||
:= 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 = | |||
:= 14z<sup>2</sup>+z-7 | |||
* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> = | |||
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> = | |||
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> = | |||
:= 2,8n<sup>2</sup>+0,3n<sup>2</sup>+2,2n+2,7n-0,25 = | |||
:= 3,1n<sup>2</sup>+4,9n-0,25 | |||
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9) = | |||
:= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+2ab+9a = | |||
:= 4a<sup>2</sup>-2a+9a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2 = | |||
:= 4a<sup>2</sup>+7a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2 | |||
</popup> </div> | |||
<br /> | |||
==<span style="color: green">Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl </span> == | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>''' | |||
Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst. | |||
T(x)= (3•a)•2 | |||
<popup name="Lösung"> | |||
T(x)= (3•a)•2= | |||
:<sup>(AG)</sup> = 3•(a•2) = | |||
:<sup>(KG)</sup> = 3•(2•a) = | |||
:<sup>(AG)</sup> = (3•2)•a = | |||
: = 6•a | |||
: = 6a | |||
</popup> </div> | </popup> </div> | ||
<br /> | |||
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>''' | |||
Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert. | |||
:(<span style="color: red">4</span>•a)•<span style="color: red">3</span> = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (<span style="color: red">4•3</span>)•a = <span style="color: red">12</span>•a = 12a | |||
</div> | |||
<br /> | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>''' | |||
Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst. | |||
T(a)= (14•a):2 | |||
<popup name="Lösung"> | |||
T(a)= (14•a):2= | |||
:= <math>\frac{14*a}{2}</math> | |||
:= <math>\frac{7*a}{1}</math> | |||
:= 7•a | |||
:= 7a | |||
</popup> </div> | </popup> </div> | ||
<br /> | |||
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br /> | |||
Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert. | |||
: (<span style="color: red">9</span>•a):<span style="color: red">3</span> = <math>\frac{9*a}{3}</math> = <math>\frac{3*a}{1}</math> = <span style="color: red">3</span> •a = 3a | |||
</div><br /> | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>''' | |||
Forme möglichst einfache Terme: | |||
* (-6n):2 | |||
* 24•0,5b | |||
* 2m•6 | |||
* 25y:(-0,1) | |||
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math> | |||
* (2y+5y-6y)•2 | |||
<popup name="Lösung"> | |||
* (-6n):2= <math>\frac{-6n}{2}</math> = <math>\frac{-3n}{1}</math> = -3n | |||
* 24•0,5b= (24•0,5)•b= 12•b= 12b | |||
* 2m•6= (2•6)•m= 12•m= 12m | |||
* 25y:(-0,1)= <math>\frac{25y}{-0,1}</math> = <math>\frac{-250y}{1}</math> = -250y | |||
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math> = <math>\left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right) :3</math> = <math>\left( \frac{4x}{12}\right) :3</math> = <math>\left( \frac{x}{3}\right) :3</math> = <math>\frac{x}{3} *\frac{1}{3} </math> = <math>\frac{x}{9} </math> | |||
* (2y+5y-6y)•2= y•2= 2y | |||
</popup> </div> | |||
<br /> | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe | ==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> == | ||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' | |||
Prüfe, ob die Terme äquivalent sind | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
<big>''' 1: '''</big> | |||
T<sub>1</sub> (x)= 5x-2x+6x | |||
T<sub>2</sub> (x)= 2•x•2+5x | |||
(äquivalent) (!nicht äquivalent) | |||
<big>''' 2 : '''</big> | |||
T<sub>1</sub> (y)= 4y-3•4y+15 | |||
< | T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y | ||
(!äquivalent) (nicht äquivalent) | |||
<big>''' 3: '''</big> | |||
T<sub>1</sub> (y;z)= 2y-3+z | |||
T<sub>2</sub> (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8 | |||
(äquivalent) (!nicht äquivalent) | |||
<big>''' 4: '''</big> | |||
< | T<sub>1</sub> (z)= 4•<math>\frac{3}{2}</math> -2z | ||
{ | |||
{ | |||
< | |||
T<sub>2</sub> (z)= 6+8z-5•20%-z•9 | |||
(!äquivalent) (nicht äquivalent) | |||
<big>''' 5: '''</big> | |||
< | T<sub>1</sub> (r)= 3r-2<sup>3</sup> r+5-r | ||
T<sub>2</sub> (r)= 3•r•2 | |||
(!äquivalent) (nicht äquivalent) | |||
</div> | |||
<br><br><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> | |||
</ | </div> | ||
<br /> | |||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' | |||
Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite verdoppelt und die dazugehörige Höhe verdreifacht? | |||
</div> | |||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
Version vom 19. August 2010, 10:13 Uhr
Umformen von Termen
Äquivalente Terme
|
<popup name="Lösung">
1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A1 (b)= 2b•4-2b
2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A2 (b)= 3•2b
Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind gleichwertig.
</popup>
Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen gleichwertig oder äquivalent. Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.
Rechengesetze:
- Kommutativgesetz (KG): für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
- a+b = b+a
- a•b = b•a
- Assoziativgesetz (AG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
- a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
- a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
- Distributivgesetz (DG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
- a•(b+c) = a•b+a•c
- für alle rationalen Zahlen a, b, c (a 0) gilt:
- (b+c):a = b:a+c:a
T(a;b)= 3a+(7b+2a)
- (KG)= 3a+(2a+7b)
- (AG)= (3a+2a)+7b
- = 5a+7b
Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen. Vereinfache nun selbst folgende Terme:
a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)
b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
c)T(a;b)= (3+5•x)•x
<popup name="Lösung"> a) T(a;b)= 7a+(9b+6a)
- (KG)= 7a+(6a+9b)
- (AG)= (7a+6a)+9b
- = 13a+9b
b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
- (KG)= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b
- (AG)=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b
- = 6ab+20ab
- = 26ab
c)T(a;b)= (3+5•x)•x
- (DG)= 3•x+5•x•x
- = 3x+5x2
Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder
- 5•x+3•x=
- 5•x-3•x=
<popup name="Lösung">
- 5•x+3•x= 8•x=8x
- 5•x-3•x= 2•x= 2x
Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
- m•x+n•x=(m+n)•x
Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
- m•x-n•x=(m-n)•x
T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:
- T(z)= 8•z2-7+3•z+(4•z2+2•z2)-2z
- T(n)= 2,2•n+2,8•n2-0,25+
- T(a;b)= 4a2-2a+3b+2-8b2+a(2b+9)
<popup name="Lösung">
- T(z)= 8•z2-7+3•z+(4•z2+2•z2)-2z =
- = 8z2-7+3z+6z2-2z =
- = 8z2+6z2+3z-2z-7 =
- = 14z2+z-7
- T(n)= 2,2•n+2,8•n2-0,25+ =
- = 2,2n+2,8n2-0,25+ =
- = 2,2n+2,8n2-0,25+2,7n+0,3n2 =
- = 2,8n2+0,3n2+2,2n+2,7n-0,25 =
- = 3,1n2+4,9n-0,25
- T(a;b)= 4a2-2a+3b+2-8b2+a(2b+9) =
- = 4a2-2a+3b+2-8b2+2ab+9a =
- = 4a2-2a+9a+2ab-8b2+3b+2 =
- = 4a2+7a+2ab-8b2+3b+2
Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl
Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
T(x)= (3•a)•2 <popup name="Lösung"> T(x)= (3•a)•2=
- (AG) = 3•(a•2) =
- (KG) = 3•(2•a) =
- (AG) = (3•2)•a =
- = 6•a
- = 6a
Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man einen der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
- (4•a)•3 = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (4•3)•a = 12•a = 12a
Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.
T(a)= (14•a):2 <popup name="Lösung"> T(a)= (14•a):2=
- =
- =
- = 7•a
- = 7a
Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man einen der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
- (9•a):3 = = = 3 •a = 3a
Forme möglichst einfache Terme:
- (-6n):2
- 24•0,5b
- 2m•6
- 25y:(-0,1)
- (2y+5y-6y)•2
<popup name="Lösung">
- (-6n):2= = = -3n
- 24•0,5b= (24•0,5)•b= 12•b= 12b
- 2m•6= (2•6)•m= 12•m= 12m
- 25y:(-0,1)= = = -250y
- = = = = =
- (2y+5y-6y)•2= y•2= 2y
Übungsaufgaben
Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
1:
T1 (x)= 5x-2x+6x
T2 (x)= 2•x•2+5x (äquivalent) (!nicht äquivalent)
2 :
T1 (y)= 4y-3•4y+15
T2 (y)= 3•5+2y-4y-6y
(!äquivalent) (nicht äquivalent)
3:
T1 (y;z)= 2y-3+z
T2 (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8
(äquivalent) (!nicht äquivalent)
4:
T1 (z)= 4• -2z
T2 (z)= 6+8z-5•20%-z•9
(!äquivalent) (nicht äquivalent)
5:
T1 (r)= 3r-23 r+5-r
T2 (r)= 3•r•2 (!äquivalent) (nicht äquivalent)
Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite verdoppelt und die dazugehörige Höhe verdreifacht?