Mathematik-digital/Textaufgaben/Wiederholung - Gleichungen lösen und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen: Unterschied zwischen den Seiten

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-[[Datei:KatharinaP_Agent_Tafel.jpg|rechts]]Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.
+== Zufallsexperiment ==
-Gleichungen wie
+{{Aufgaben-M|1.1|Weißt du noch, was genau ein '''Zufallsexperiment''' ist? Schreibe es auf!}}
-x + 8 = 12
+[[Datei:Roulette.jpg|rechts|250px]]
+Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
-x - 5 = 3x + 2 oder auch
+{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
+;Zufallsexperiment
+:Ein realer, stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|ideales Zufallsexperiment}}, wenn:
+:* das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt wird,
+:* die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
+:* das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.
+}}
+}}
-(x + 4) · 2 = 3x
-nennt man lineare Gleichungen.<br />
+{{Aufgaben-M|1.2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}}
+<div class="multiplechoice-quiz">
+(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels)  (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch)  (!Benotung deiner Klassenarbeit)  (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
+</div>
-Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.<br />
-&nbsp;<br />&nbsp;
+{{Aufgaben-M|1.3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.
+}}
-{{Mathematik|<popup name="Anschauungsbeispiel">
+''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
-[[Datei:ChristinaG_Anschauungsbeispiel_1.png]]</popup>}}
+== Ergebnis und Ereignis ==
-Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.<br />
+Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.
-{{Merke|1=<br />
-. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen<br />
-. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen<br />
-. x berechnen<br />
-. Probe<br />
-. Lösungsmenge notieren}}
-&nbsp;<br />&nbsp;
+In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
-__FORCETOC__
-__TOC__
+{{Aufgaben-M|1.4|Ziehe die grünen Kästchen mit den mathematischen Schreibweisen in die Zeile des zugehörigen Begriffs! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
-&nbsp;<br />&nbsp;
-= Anfänger=
+''(Sollte dieses Quiz auf deinem Computer nicht funktionieren, musst du unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG statt HTML als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen einstellen!)''
+}}
+<div class="zuordnungs-quiz">
-{{Übung|Löse die Aufgaben in deinem Übungsheft. Schreibe die Lösungen anschließend in die Kästchen.}}
-<div class="lueckentext-quiz">
-Welche Zahl erfüllt die Gleichung?<br />
 {|
-| 2 + 4x = 58 || '''14 ()'''
+| Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
+|-
+| Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>
 |-
-| 2y + ¼ = ¾ || '''0,25 ()'''
+| Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>
 |-
-| 8 – 2x = 4 || '''2 ()'''
+| Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
 |-
-| 2 + z/5 = 1/2 || '''-7,5 ()'''
+| Gegenereignis || <math>\overline{E}</math>
+|-
+| unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
+|-
+| Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math>\left| \Omega \right|</math>
 |-
-| 5z - 7 = -2z || '''1 ()'''
 |}
-</div><br />
+</div>
+Lösungshinweise:
+{{versteckt|{{Kasten_grün|
+*;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen {{Hintergrund_gelb|Ergebnisse}} (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
+*;Ergebnismenge:Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum)<math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
+*;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als {{Hintergrund_gelb|Ereignis}} bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
+*;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein {{Hintergrund_gelb|Elementarereignis}}.
+*;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
+*;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega\ .</math>)
+*;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das {{Hintergrund_gelb|Gegenereignis}} &nbsp;<math>\overline{E}=\Omega\setminus E\ .</math>&nbsp;(man sagt auch Komplement)
+*;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|</math>
+}}
+}}
+{{Aufgaben-M|1.5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge <math> \Omega </math>.
-&nbsp;<br /><br />&nbsp;
+Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
-{{Übung|Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?<br />Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.}}<br />
 <quiz display="simple">
-{ 2x – y = r   ->  x – y = r/2 }
-- Richtig
-+ Falsch
-{ w – 3u = s   ->  3u = s – w }
+{ Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. }
-- Richtig
+- 8
-+ Falsch
++ 12
+- 36
+{ Es wird dreimal gewürfelt. }
+- 18
+- 56
++ 216
-{ (x- 2)y = u  ->  x – 2 = u/y }
+{ Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.}
-+ Richtig
+- 72
-- Falsch
+- 216
++ 288
+{ Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen. }
+- 9
++ 27
+- 72
-{ x + y/3 = w  ->  x + y = 3w }
-- Richtig
-+ Falsch
 </quiz>
-<br />
+Lösungshinweise:
+{{versteckt|
+:* <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
+:* <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
+:* <math>\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2</math>
+:* <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
+}}
+{{Aufgaben-M|1.6|a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
+:<math>\quad \Omega_1=\left\{1\right\},\qquad \Omega_2=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
+b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
+}}
+Lösungshinweise:
+{{versteckt|:a)
+:* <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 2\ (=2^1)\ \mathrm{Ereignisse.}</math> &nbsp;(Das sichere und das unmögliche Ereignis)
+:* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4\ (=2^2)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+:* <math>\Omega_3\ \mathrm{besitzt\ } 8\ (=2^3)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+:* <math>\Omega_4\ \mathrm{besitzt\ } 16\ (=2^4)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+:Das vermutete Gesetz lautet:
+{{Kasten_grün|<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\left|\Omega\right|}\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.}  </math>
+}}
+:b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}</math>
+}}
+== Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
+[[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|150px]]
+{{wpde|Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
+{{Aufgaben-M|1.7|Schreibe auf, was man unter den Begriffen '''Laplace-Experiment''', '''Laplace Würfel''' und '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' versteht!}}
+{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
+;Laplace-Experiment
+:Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}.
+:Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
+;Laplace-Würfel
+:Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{6}</math>&nbsp;&nbsp;gewürfelt.
+:Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
+;Laplace-Wahrscheinlichkeit
+:Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}} eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
+:<math> p(E) = \frac { \mathrm {Anzahl\ der\ f\ddot u r\ E\ g\ddot u nstigen\ Ergebnisse}} { \mathrm {Anzahl\ der\ m\ddot o glichen\ Ergebnisse}} = \frac {\left| E \right| } {\left| \Omega  \right| }\ .</math>
+:Beispiel:  Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ .</math>
+}}
+}}
-= Fortgeschrittene=
-{{Merke-M|Bei der folgenden Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zusammenfassen!}}
+{{Kasten_blass|'''„Racing Game with One Dice“ (Rennspiel mit einem Würfel)'''
-{{Übung|Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.}}<br />
+----
-{|width="100%" style="border-style:none"
+:Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?
-|7x – 8 – 12 – 3x = 2x
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=10</math>}}
+{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice] ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite.
-|-
-|2y – 3y + 5y – 24 = 0
+:Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>y=7</math>}}
-|-
+:* Öffne den Link in einem neuen Fenster.
-|4,5a + 12,5 = 7a
+:* Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>a=5</math>}}
+:* Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton '''„Roll Dice“''', bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
-|-
+:* Wenn ihr auf den Button '''„Restart“''' klickt, kann es von vorne los gehen.
-|2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
+:* Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=12</math>}}
+:** Mit dem Schieberegler '''„Race segments“''' stellt ihr die Länge der Rennbahn, also die Anzahl der Spiele ein.
-|-
+:** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
-|5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24
+:** Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=-7</math>}}
-|}
-<br />
+:Auf die Plätze, fertig, los! (dazu benötigst du Java)
+}}
-{{Aufgabe|Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:}}<br />
+{{Aufgaben-M|1.8|[[Datei:Pasch.jpg|right]]Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln.
-{|width="100%" style="border-style:none"
+Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}}
-|A = ab/2 || b=?
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>2A/a=b</math>}}
-|-
-|u = 2a + 2b || b=?
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>(U-2a)/2=b</math>}}
-|-
-|x/a – b = c || x=?
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>(c+b)*a</math>}}
-|}
-<br />
-= Experten =
+Lösungshilfe: {{versteckt|:Übertrage die Tabelle auf dein Blatt. In die Lücken gehören alle Ereignisse des zweifachen Würfelwurfs eingetragen. Kannst du sie vervollständigen?
-{{Übung|Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.}}<br />
+:[[Datei:FeldertafelzweiWürfel.jpg]]
+}}
-<div class="lueckentext-quiz">
-{|width="100%" style="border-style:none"
-|4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7 || '''43,75()'''
-|-
-|¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½ || '''119()'''
-|-
-|10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5 || '''8()'''
-|-
-|(x – 6)(x + 6) = x(x + 9) || '''-4()'''
-|}
-</div><br />
-&nbsp;<br />&nbsp;
+{{Lösung versteckt|:Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:
+:[[Datei:FeldertafelzweiWürfelgefüllt.jpg]]
-{{Aufgabe|Drücke die Variable x aus:}}<br />
+:Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.
-{|width="100%" style="border-style:none"
+:<math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
-|(ax + b)/c = d
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=(cd-b)/a</math>}}
-|-
-|ax/c + b = d
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=[(d-b)*c]/a</math>}}
-|}
-<br />
+:<math>E_{Pasch} =  \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad  \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math>
-{{Aufgabe|In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Was sagt die Gleichung aus?}}<br />
+:<math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .</math>
+}}
-{|width="100%" style="border-style:none"
-|S = 12 * L
-| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|In dieser Schule gibt es zwölf mal so viele Schüler wie Lehrer}}
-|}
-<br />
+----
-zurück zur [[Kapitelübersicht]]<br />
+{{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Glücksspiel| <big> '''→ Weiter zu''' </big><colorize>Gustavs Glücksspiel!</colorize>]]}}
-weiter zu [[Kapitel 2: Zahlenrätsel]]

Version vom 14. September 2009, 06:51 Uhr

Zufallsexperiment

Vorlage:Aufgaben-M

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Vorlage:Kasten grün

Vorlage:Aufgaben-M

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)

Vorlage:Aufgaben-M

Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar: Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.

In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Vorlage:Aufgaben-M

Ergebnis	$\omega_i$	$6$
Ereignis	$E$	$\left\{2,4,6\right\}$
Elementarereignis	$\left\{6\right\}$	$\left\{\omega\right\}$
Ergebnismenge	$\Omega$	$\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Gegenereignis	$\overline{E}$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
Mächtigkeit des Ergebnisraums	$\left\| \Omega \right\|$

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

1 Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

	8
	12
	36

2 Es wird dreimal gewürfelt.

	18
	56
	216

3 Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

	72
	216
	288

4 Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

	9
	27
	72

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.