Potenzfunktionen - Test und Zylinder Pyramide Kegel/Der Satz von Cavalieri: Unterschied zwischen den Seiten

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|{{Lernpfad Inhalt}}
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|Lernschritte ausblenden
}}
__NOTOC__
__NOTOC__
==Zur Person==


[[Datei:Bonaventura Cavalieri.jpeg|200px|right]]
<br><br>
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein <br>
italienischer Mathematiker und Astronom. <br>
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt) <br>
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.
<br><br>


{{Box|1=Übung|2=
Hier kannst Du Dein Wissen über die Potenzfunktionen testen.


<quiz display="simple">
=='''Erarbeitung des Satzes von Cavalieri'''==
{ Gib die Eigenschaften des Graphen an, die für die angegebenen Funktionen zutreffen.
| typ="()" }
| achsensymmetrisch | punktsymmetrisch | nicht symmetrisch
-+- <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math>
--+ <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math>
+-- <math>h(x)= x^{-2} \quad</math>
</quiz>


<quiz display="simple">
{Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die Funktion <math>f(x)=a \cdot x^{z}, a \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{Z}</math> einen kleinsten Wert besitzt?}
+ a ist positiv und z ist gerade.
- a ist negativ und z ist gerade.
- a ist positiv und z ist ungerade.
- a ist negativ und z ist ungerade.
</quiz>


<quiz display="simple">
Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"<br>
{Welche Punkte liegen auf den Graphen der angegebenen Funktionen?
| typ="()" }
| <math>(0/0)</math> | <math>(-1/1)</math> | <math>(1/1)</math>
+-- <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math>
+-- <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math>
--+ <math>h(x)= x^{-3} \quad</math>
</quiz>


<quiz display="simple">
Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"
{Für welche Funktionen ist der Definitionsbereich auf <math>\mathbb{R}^{+}_0</math> beschränkt?}
- <math>f(x) = 3 x^3 \quad</math>
+ <math>g(x)= -2 x^{\frac 13}</math>
- <math>h(x)= x^{-3} \quad</math>
</quiz>


<quiz display="simple">
<br>
{[[Bild:potenztest1.jpg]]<br>Ordne den Graphen die entsprechenden Funktionsterme zu.
[[Datei:Zylinder_gerade_geschwungen.jpg|180px|center]]
| typ="()" }
| a | b | c | d | e
+---- <math>\frac{1}{8} x^2</math>
----+ <math>x^{-\frac{1}{3}}</math>
--+-- <math>2 x^3 \quad</math>
---+- <math>-\frac 12 x^{\frac 12}</math>
-+--- <math>x^{-3} \quad</math>
</quiz>


<quiz display="simple">
<br><br>
{Welche Graphen der unten stehenden Funktionen sind im Bereich <math>x \in \mathbb{R}^\mbox{+}</math> monoton steigend?}
- <math>f(x)= -3 x^3 \quad</math>
+ <math>g(x)= x^{\frac 13}</math>
+ <math>h(x)= -x^{-2} \quad</math>
</quiz>


<quiz display="simple">
{{Box|1=Wer hat nun Recht?|2=
{[[Bild:potenztest2.jpg]]<br>Ordne den obigen Tabellen (mit gerundeten Werten) die entsprechenden Graphenarten zu.
Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!<br>
| typ="()" }
| G<sub>a</sub> | G<sub>b</sub> | G<sub>c</sub> | G<sub>d</sub> | G<sub>e</sub>
-+--- Parabel
---+- Kubische Grundparabel
--+-- Hyperbel
+---- Quadratwurzel
----+ Kubikwurzel


</quiz>
Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!


|3=Übung}}
'''Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:'''<br>
Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
'''Volumenvergleich von Zylindern 1 '''
 
*Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern. 
*Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern.
 
<ggb_applet id="mpQGZVpe" width="100%" height="450" border="888888" />
 
 
<br>
'''Volumenvergleich von Zylindern 2'''
*Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente!
 
<ggb_applet id="W9hf8qwn" width="100%" height="450" border="888888" />
 
 
<br>
 
'''Zurück zur Ausgangsfrage:'''Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!
 
 
 
{{Box|1=Verallgemeinerung der Erkenntnisse'|2=
Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen. <br>
'''Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...'''
 
{{Lösung versteckt|1=
Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf S. 22 oder Fokus Mathematik, Ausgabe 2016 auf S. 44 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?|2=
Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.<br>
Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und '''begründe''' deine Antwort!
|3=Arbeitsmethode}}
 
'''Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform'''
 
<ggb_applet id="r6yKgffu" width="100%" height="450" border="888888" />
 
*Nutze die beweglichen Elemente!
*Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen.
{{Lösung versteckt|1=Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächen'''inhalt''' an!<br>
Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre '''Grundflächeninhalte''', ihre '''Höhe''' und die zur Grundfläche parallelen '''Schnittflächen''' in gleicher Höhe gleich groß sind.}}
 
 
=='''Übungsaufgaben'''==
{{Box|1=Aufgabe|2=
 
Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an! <br><br>
a)[[Datei:Schiefes_Prisma_Maße.jpg|200px]] b) [[Datei:Geschwungener_Zylinder_Maße.jpg|180px]]
{{Lösung versteckt|1= Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V=27000cm^{3}=27dm^{3}</math> <br>
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also: <math>V\approx 1696,46cm^{3}\approx 1,7dm^{3}</math> <br>
<span style="color:red">'''Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!'''</span>
}}
|3=Üben}}
 
 
{{Box|1=Hausaufgabe für nächste Stunde|2=
Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.<br>
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!
{{Lösung versteckt|1= Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.
|2=Hinweis anzeigen|3=Hinweis einblenden}}
 
'''Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.'''
|3=Üben}}
 
 
{{Fortsetzung|weiter=Rund um die Pyramide|weiterlink=../Rund_um_die_Pyramide}}


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Version vom 17. Dezember 2021, 10:58 Uhr

Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen.jpg

Zylinder Pyramide Kegel

  1. Einführungstests zu bekannten Inhalten
  2. Rund um den Zylinder
  3. Der Satz von Cavalieri
  4. Rund um die Pyramide
  5. Rund um den Kegel
  6. Zusatzaufgaben
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Zur Person

Bonaventura Cavalieri.jpeg



Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein
italienischer Mathematiker und Astronom.
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt)
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.


Erarbeitung des Satzes von Cavalieri

Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"

Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"


Zylinder gerade geschwungen.jpg




Wer hat nun Recht?

Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!

Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!

Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:

Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.


Volumenvergleich von Zylindern 1

  • Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern.
  • Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern.
GeoGebra



Volumenvergleich von Zylindern 2

  • Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente!
GeoGebra



Zurück zur Ausgangsfrage:Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!



Verallgemeinerung der Erkenntnisse'

Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen.
Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...

Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf S. 22 oder Fokus Mathematik, Ausgabe 2016 auf S. 44 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!


Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?

Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.

Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und begründe deine Antwort!

Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform

GeoGebra
  • Nutze die beweglichen Elemente!
  • Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen.

Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächeninhalt an!

Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre Grundflächeninhalte, ihre Höhe und die zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe gleich groß sind.


Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an!

a)Schiefes Prisma Maße.jpg b) Geschwungener Zylinder Maße.jpg

Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also:
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also:

Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!


Hausaufgabe für nächste Stunde

Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!

Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.
Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.


Rund um die Pyramide
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