Quadratische Funktionen erkunden/Wiederholung (Optional) und Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>E.Jedtke
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{{Quadratische Funktionen erkunden}}
{{Quadratische Funktionen erkunden}}




{| {{Bausteindesign6}}
'''Quadratische Funktionen''' – was genau bedeutet das überhaupt?
 
Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein Quadrat ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.
   
   
| Bevor du loslegst, dich in das neue Thema '''Quadratische Funktionen''' einzuarbeiten, kannst du auf dieser Seite dein '''bisheriges Wissen über Funktionen auffrischen'''.  
Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu Quadratischen Funktionen führt.


|}
Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen Flächeninhalt:
::: [[Datei:Quadrat mit 1.jpg|rahmenlos|80px|Fläche 1]]


:::A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1<sup>2</sup> cm<sup>2</sup>= 1 cm<sup>2</sup>


=='''Teste dein Wissen über (lineare) Funktionen'''==
Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2&nbsp;cm, 3&nbsp;cm und 4&nbsp;cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:
:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!  style="width:7em"|Seitenlänge !!  style="width:7em"|Fläche


{{Aufgabe|Lücken-Mind Map oder Kreuzworträtsel - was machst du lieber? Suche dir eine der beiden folgenden Aufgaben aus und teste dein Wissen über (lineare) Funktionen.  Mit einem Klick in das weiße Kästchen oben rechts erhältst du den Vollbildmodus.
|-
<popup name="Kreuzworträtsel"><iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pbugpt1gt16" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe></popup>
|style="text-align:center"|1 cm ||style="text-align:center"| 1 cm<sup>2</sup>


<popup name="Lücken-Mind Map"><iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pp5okr7zk16" style="border:0px;width:100%;height:500px;center" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe></popup>}}
|-
|style="text-align:center"|2 cm || style="text-align:center"|4 cm<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|3 cm || style="text-align:center"|9 cm<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|4 cm || style="text-align:center"|16 cm<sup>2</sup>  
|}


Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Den Flächeninhalt kannst du als '''Funktion von x''' ansehen und '''f(x) = x<sup>2</sup>''' oder '''y = x<sup>2</sup>''' schreiben. [[Datei:Quadrat mit x.jpg|rahmenlos|80px|Fläche x^2]]
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!style="width:7em"|  x !!  style="width:7em"|y = x<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"| 1
|-
|style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| 4
|-
|style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 9
|-
|style="text-align:center"|4 || style="text-align:center"|16


=='''Graphen zu einer Sachsituation'''==
|}
 
Wie sieht der Graph dieser Funktion wohl aus?
{{Aufgabe|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 1) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
{{Aufgaben|1|'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Notizbuch''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
'''a)''' Beantworte die Frage in dem Applet. ''Hinweis'': Es gibt genau eine richtige Antwort.
 
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=p563afae517" style="border:0px;width:80%;height:500px" webkitallowfullscreen="false" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
'''b)''' Überlege dir eine Begründung für die richtige Darstellung der Entfernung zum Startpunkt.
 
<popup name="Hilfe">Zeichne eine Skizze der Laufbahn in deinen Hefter und trage für ein paar Punkte auf der Bahn die Luftlinien zum Startpunkt ein. Wo ist der Abstand am größten? Wo ist er am geringsten?</popup>
<popup name="Lösung">Der Graph beginnt im Ursprung des Koordinatensystems. Da Start und Ziel identisch sind, endet der Graph auf der x-Achse. Sein Verlauf lässt sich durch die Bewegung der Läufer beschreiben:
 
[[Datei:Skizee 400m Bahn mit Luftlinien.PNG|rahmenlos|300px|Sportfest]]
 
Zunächst bewegen sich die Läufer von dem Startpunkt weg. In der zweiten Kurve wird ihr Abstand (Luftlinie) zum Start wieder geringer, bis sie genau gegenüber vorbeilaufen. Ab diesem Punkt steigt der Abstand (Luftlinie) noch einmal an und nähert sich schließlich ab der dritten Kurve wieder dem Startpunkt an.</popup>}}
 
 
=='''Zeigt der Graph einen funktionalen Zusammenhang?'''==
 
{{Aufgabe|<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pohhfm2vj16" style="border:0px;width:80%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
 
 
=='''Videos und Merksätze'''==
 
 
Daniel Jung hat auf Youtube in seinem Channel ''Mathe by Daniel Jung'' zu den verschiedensten Themen Erklärvideos erstellt. Hier kannst du dir Videos zu dem Thema ''Was ist eine Funktion?'' bzw. eine Übersicht über ''Lineare Funktionen'' anschauen. Denke daran dir Kopfhörer anzuziehen, sofern du nicht alleine in einem Raum bist.
 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tywU-wn6tF4" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/MgUqwCat-Ho" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
 
 
{{Merke|
 
* Eine '''Funktion''' ordnet jedem Element einer Ausgangsmenge (Definitionsmenge) genau ein Element der Zielmenge (Ergebnismenge) zu. Ein Element aus der Ergebnismenge kann mehreren Elementen der Definitionsmenge zugeordnet werden.
[[Datei:Kein funktionaler Zusammenhang.PNG|rahmenlos|Kein fkt. Zsmh.|250px]] [[Datei:Funktionaler Zusammenhang.PNG|rahmenlos|Fkt. Zsmh.|250px]]
 
* '''Lineare Funktionen''' liegen in der Form <math>y=mx+b</math> vor, wobei m die Steigung der Geraden und b den y-Achsenabschnitt angibt.


* Funktionen mit dem Term <math>y=mx</math> nennt man '''proportionale Funktionen'''. Sie sind ein Spezialfall der linearen Funktionen.}}
'''a)''' Ergänze die Tabelle um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graph in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.


'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.}}




Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu dieser Aufgabe. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.
<popup name="Lösungen von Lucio, Merle und Fabian">


[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen im Alltag]]  
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian mit ihren Lsg.jpg|rahmenlos|1000px|zentriert|Lösungen]]</popup>




Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian Diskussion.jpg|rahmenlos|1500px|zentriert|Diskussion]]


{{Aufgaben|2|'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Notizbuch''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Diskussion mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?




Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Notizbüchern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.}}

Version vom 11. August 2016, 09:26 Uhr

gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

< Mathematik-digital


Quadratische Funktionen – was genau bedeutet das überhaupt?

Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein Quadrat ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.

Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu Quadratischen Funktionen führt.

Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen Flächeninhalt:

Fläche 1
A = 1 cm ⋅ 1 cm = 12 cm2= 1 cm2

Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:

Seitenlänge Fläche
1 cm 1 cm2
2 cm 4 cm2
3 cm 9 cm2
4 cm 16 cm2

Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A = x2. Den Flächeninhalt kannst du als Funktion von x ansehen und f(x) = x2 oder y = x2 schreiben. Fläche x^2

x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Wie sieht der Graph dieser Funktion wohl aus?

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du dein Notizbuch Notizblock mit Bleistift.

a) Ergänze die Tabelle um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graph in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.

b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.


Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu dieser Aufgabe. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt. <popup name="Lösungen von Lucio, Merle und Fabian">

Lösungen

</popup>


Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?

Diskussion

Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du dein Notizbuch Notizblock mit Bleistift.

Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Diskussion mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?


Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Notizbüchern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.
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