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| {{Box|Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.
| | Regelmäßig überschwemmt der Nil das umliegende Land. Wenn das Wasser weicht, bleibt eine fruchtbare Schlammschicht zurück, die hervorragendes Ackerland ist. Auf engem Raum können durch sehr gute Ernten viele Menschen ernährt werden. |
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| Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
| | Diese Menschen müssen nun immer mehr zusammenarbeiten. War die Jagd in der Altsteinzeit reine Familiensache; die Ernte der Felder Sache des ganzen Dorfs, mussten beim Bau von Dämmen und Kanälen mehrere Dörfer miteinander planen und zusammenarbeiten. |
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| <br>'''Voraussetzungen: '''
| | So entstanden auch neue Berufe. |
| <br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden
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| <br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}}
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| __NOTOC__
| | {{Aufgabe| |
| ==Das Flächenproblem==
| | # Bearbeite die Interaktiven Quizze}} |
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| | == Interaktive Quizze == |
| |[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]]
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| |Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]?
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
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| |}
| | === Herausforderungen und ihre Lösungen === |
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| ==Unter- und Obersumme== | | <div class="lueckentext-quiz"> |
| [[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
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| *Begriffsklärung [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
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| *'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
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| #Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
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| #Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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| #Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
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| # Lösung:
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <div class="grid">
| | {| class="wikitable" |
| <div class="width-1-10">0</div>
| | ! Herausforderungen !! Lösung |
| <div class="width-1-10">0,5</div>
| | |- |
| <div class="width-1-10">1,5</div>
| | | Hochwasser || ''Dämme'' |
| <div class="width-1-10">2</div>
| | |- |
| <div class="width-1-10">2,5</div>
| | | Bewässerung || ''Stauseen'' zur ''Speicherung'',<br>''Kanäle'' zur Bewässerung |
| <div class="width-1-10">3</div>
| | |- |
| <div class="width-1-10">3,5</div> | | | Schlammschicht auf Äckern || ''Vermessung der Felder'' notwendig<br>→ neuer Beruf ''Landvermesser'' |
| <div class="width-1-10">4</div>
| | |- |
| | | mögliche Missernten / Dürre || ''Kornspeicher'' |
| | |- |
| | | Wann soll gesät werden<br>Zeitpunkt der Überschwemmungen || Himmelsbeobachtung,<br>→ ''Kalender'' |
| | |} |
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| </div> | | </div> |
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| | === Die ägyptische Gesellschaft === |
| | Fülle die Lücken mittels Verschieben der grünen Felder aus! |
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| | <div class="lueckentext-quiz">Der oberste Herrscher im alten Ägypten war der ''Pharao''. Für die Ägypter war er ''Gott'' und ''König'' zugleich. Sein Stellvertreter war der ''Wesir''. Er war für die Einhaltung der ''Gesetze'' verantwortlich. Ihm unterstanden die ''Beamten'', die ''lesen'' und ''schreiben'' konnten. Sie überwachten den Bau der ''Pyramiden'' und berechneten die ''Steuern'', die die ''Bauern'' bezahlen mussten. In den Städten und Dörfern sowie am Hof des Pharaos arbeiteten die ''Handwerker''.</div> |
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
| | {{Altes Ägypten}} |
| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br>
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
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| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br>
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| '''Mittelwert: 5,375'''
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| }}
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| *Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm GeoGebra]
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| ==Das bestimmte Integral==
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| *Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
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| *Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
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| *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
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| *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
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| ==Flächenberechnung==
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| [[bild:Int_abb2a.png|220px|right]]
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| *[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
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| * Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]!
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| *Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]!
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| <br>
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| ==Integralfunktion==
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| * Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
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| *Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
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| *Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}.
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| ==Zusätzliche Übungsaufgaben==
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| *[http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm Integration mit unbekannten Grenzen]
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| ==Für Interessierte==
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| *Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis]
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| *Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
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| *Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
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| {{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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| [[Kategorie:Integralrechnung|!]]
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| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
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| <metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Einführung in die Integralrechnung,Mathematik,Einführung,Integralrechnung,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>
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| [[Kategorie:Mathematik]]
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| [[Kategorie:Mathematik-digital]]
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| [[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
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| [[Kategorie:Lernpfad]]
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| [[Kategorie:GeoGebra]]
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