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| {{Box|Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.
| | Als '''Großmacht''' bezeichnet man einen Staat, der einen wesentlichen weltpolitischen Einfluss hat. |
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| Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
| | Der Begriff kam im frühen 19. Jahrhundert auf,<ref>Während Adelungs Grammatisch-kritisches Wörterbuch der hochdeutschen Mundart in der Auflage von 1811 das Stichwort ''Großmacht'' noch nicht anführt, sondern nur ''großmächtig'' und ''Großmächtigkeit,'' schreibt Joseph Görres (im Rheinischen Merkur vom 23.9. 1815) in den ''Bemerkungen über die gegenseitigen Verhältnisse Frankreichs und der Verbündeten'' "Aus Frankreichs Ansicht ist Preußen eine nagelneue, aber noch nicht nagelfeste Großmacht." Das ist "eine Formulierung, in der das Wort Großmacht eindeutig nicht mehr große Macht, sondern einen mächtigen Staat bezeichnet". (Walter Böhme: [http://fontanefan.blogspot.com/2011/09/zur-entwicklung-des-begriffs-gromacht.html Zur Entwicklung des Begriffs Großmacht], September 2011. Dort findet sich auch ein Hinweis auf [[Johann Christoph Adelung|Adelungs]] Lexikon.</ref> als die Hegemonie Frankreichs am Ende der napoleonischen Herrschaft durch die Pentarchie abgelöst wurde, eine beschränkte Kooperation der Siegermächte Russland, Österreich, Großbritannien und Preußen mit dem besiegten Frankreich, die die sich auf dem Wiener Kongress herausbildete. Zunächst wurden nur diese fünf Mächte so bezeichnet. |
| [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital]] | |
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| | Der Begriff ist nicht genau definiert, wird aber seit dieser Zeit auch zur Charakterisierung früherer und späterer Machtkonstellationen angewandt.<ref>Ein früher Beleg ist in der Brockhaus Enzyklopädie von 1823 unter dem Stichwort ''Congreß'', auf den Friedenskongress von Münster und Osnabrück von 1648 bezogen, zu finden: "Das eben thronlos gewordene England nahm keinen Theil daran, und Spanien erschien darauf eigentlich nicht mehr als entscheidende Großmacht neben Östreich, Frankreich und Schweden." (''Allgemeine Encyklopädie der Wissenschaften und Künste'' herausgegeben von Johann Samuel Ersch, Johann Gottfried Gruber u.a. Teil 22, Brockhaus Verlag 1832 S.105</ref> |
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| '''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}}
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| __NOTOC__
| | == Zur Begriffsgeschichte == |
| | In Luthers Lied "Ein feste Burg ist unser Gott" (1533 gedruckt) findet sich "die Fügung "groß Macht und viel List". Die Bedeutung von große Macht behält das zusammengesetzte Wort Großmacht bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts. Noch Adelungs Grammatisch-kritisches Wörterbuch der hochdeutschen Mundart in der Auflage von 1811 (2. Band Spalte 817) führt nur die Wörter großmächtig und Großmächtigkeit an und vermerkt, dass man sie verwende, wenn man von Fürsten spricht, und dass Kaiser und Könige sich gegenseitig so ansprächen. (vgl. auch Karl Thams Deutsch-böhmisches Nationallexikon von 1788, S. 265 und Matthias Kramers deutsch-holländisches Lexikon, 4. Aufl. 1787, S.192, wo gleichbedeutend mit Großmächtigkeit auch das Wort Großmacht angeführt wird.) |
| | Schon 1796 findet sich freilich in der Schrift Militärischer Charakter und merkwürdige Kriegsthaten Friedrichs des Einzigen Königs von Preußen des Hauptmanns Franz Ludwig Hallers auf Seite 261 auf Peter den Großen bezogen die Formulierung "des Schöpfers der Russischen Großmacht" und in Hesperus ein Nationalblatt für gebildete Leser Nr.60 September 1813 auf Seite 487 die Formulierung "wenn man in der Welt wüßte, Frankreich wäre den Deutschen an Großmacht überlegen". - Bei genauerem Hinsehen stellt man freilich fest, dass in beiden Fällen auch die Bedeutung Großmächtigkeit noch passt. |
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| ==Das Flächenproblem==
| | Erst 1815 findet sich bei Joseph Görres (im Rheinischen Merkur vom 23.9. 1815) in den "Bemerkungen über die gegenseitigen Verhältnisse Frankreichs und der Verbündeten" eine Formulierung, in der das Wort Großmacht eindeutig nicht mehr große Macht, sondern einen mächtigen Staat bezeichnet: "Aus Frankreichs Ansicht ist Preußen eine nagelneue, aber noch nicht nagelfeste Großmacht.""<ref>Zitat aus Walter Böhme: [http://fontanefan.blogspot.com/2011/09/zur-entwicklung-des-begriffs-gromacht.html Zur Entwicklung des Begriffs Großmacht, 2011]</ref> |
| {{Box|Idee|
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| [[Bild:Integral Grundstück.png|200px|right]]
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| Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]?
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
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| |}
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| |Hervorhebung2}}
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| | == Anmerkungen == |
| | <references/> |
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| ==Unter- und Obersumme==
| | [[Kategorie:Geschichte]] |
| {{Box|1=Begriffsklärung|2=
| | [[Kategorie:Politik]] |
| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?
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| </div>
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| <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|2bW8Zr7oTlY|460}}</div>
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| |3=Unterrichtsidee }}
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| {{Box|1=Aufgabe 1|2=Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². [[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
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| #Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
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| #Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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| #Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.|3=Üben}}
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| <div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
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| {| class="wikitable"
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| |-
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| | x || 0 || 0,5 || 1 || 1,5 ||2 || 2,5 || 3 || 3,5 || 4
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| |-
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| | f(x) || 0 || 0,0625 || 0,25 || 0,5625 || 1 || 1,5625 || 2,25 || 3,0625 || 4
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| |}
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
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| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br>
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
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| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br>
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| '''Mittelwert: 5,375'''
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| </div>
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| {{Lösung verstecken|
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| {{{!}} class="wikitable"
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
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| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br>
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
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| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br>
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| '''Mittelwert: 5,375'''
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| }}
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| {{Box|1=Aufgabe 2|2= Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².
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| #Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.
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| |3=Üben}}
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| ==Das bestimmte Integral==
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| {{Box|1=Arbeitsaufträge|2=
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| *Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
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| *Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
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| *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
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| *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| ==Flächenberechnung==
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| {{Box|1=Achtung Flächenbilanz|2=
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">
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| *Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
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| *Verwende dazu [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html '''dieses Applet''']!
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| *Informiere dich im Video über '''Bestimmtes Integral, Flächenbilanz, Fläche über/unter der x-Achse'''.
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| </div>
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| <div class="width-1-2">
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| {{#ev:youtube|lP1sALCSxQs|460}}</div>
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| </div>
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| |3=Unterrichtsidee}}
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| ==Integralfunktion==
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| {{Box|Aufgabe 4|
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| #die Berechnung eines Integrals als Grenzwert von Unter- bzw. Obersumme ist aufwendig. Einfacher geht die Bestimmung mit der Integralfunktion.
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| #Betrachte im Applet die Integralfunktion
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Als Großmacht bezeichnet man einen Staat, der einen wesentlichen weltpolitischen Einfluss hat.
Der Begriff kam im frühen 19. Jahrhundert auf,[1] als die Hegemonie Frankreichs am Ende der napoleonischen Herrschaft durch die Pentarchie abgelöst wurde, eine beschränkte Kooperation der Siegermächte Russland, Österreich, Großbritannien und Preußen mit dem besiegten Frankreich, die die sich auf dem Wiener Kongress herausbildete. Zunächst wurden nur diese fünf Mächte so bezeichnet.
Der Begriff ist nicht genau definiert, wird aber seit dieser Zeit auch zur Charakterisierung früherer und späterer Machtkonstellationen angewandt.[2]
Zur Begriffsgeschichte
In Luthers Lied "Ein feste Burg ist unser Gott" (1533 gedruckt) findet sich "die Fügung "groß Macht und viel List". Die Bedeutung von große Macht behält das zusammengesetzte Wort Großmacht bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts. Noch Adelungs Grammatisch-kritisches Wörterbuch der hochdeutschen Mundart in der Auflage von 1811 (2. Band Spalte 817) führt nur die Wörter großmächtig und Großmächtigkeit an und vermerkt, dass man sie verwende, wenn man von Fürsten spricht, und dass Kaiser und Könige sich gegenseitig so ansprächen. (vgl. auch Karl Thams Deutsch-böhmisches Nationallexikon von 1788, S. 265 und Matthias Kramers deutsch-holländisches Lexikon, 4. Aufl. 1787, S.192, wo gleichbedeutend mit Großmächtigkeit auch das Wort Großmacht angeführt wird.)
Schon 1796 findet sich freilich in der Schrift Militärischer Charakter und merkwürdige Kriegsthaten Friedrichs des Einzigen Königs von Preußen des Hauptmanns Franz Ludwig Hallers auf Seite 261 auf Peter den Großen bezogen die Formulierung "des Schöpfers der Russischen Großmacht" und in Hesperus ein Nationalblatt für gebildete Leser Nr.60 September 1813 auf Seite 487 die Formulierung "wenn man in der Welt wüßte, Frankreich wäre den Deutschen an Großmacht überlegen". - Bei genauerem Hinsehen stellt man freilich fest, dass in beiden Fällen auch die Bedeutung Großmächtigkeit noch passt.
Erst 1815 findet sich bei Joseph Görres (im Rheinischen Merkur vom 23.9. 1815) in den "Bemerkungen über die gegenseitigen Verhältnisse Frankreichs und der Verbündeten" eine Formulierung, in der das Wort Großmacht eindeutig nicht mehr große Macht, sondern einen mächtigen Staat bezeichnet: "Aus Frankreichs Ansicht ist Preußen eine nagelneue, aber noch nicht nagelfeste Großmacht.""[3]
Anmerkungen
- ↑ Während Adelungs Grammatisch-kritisches Wörterbuch der hochdeutschen Mundart in der Auflage von 1811 das Stichwort Großmacht noch nicht anführt, sondern nur großmächtig und Großmächtigkeit, schreibt Joseph Görres (im Rheinischen Merkur vom 23.9. 1815) in den Bemerkungen über die gegenseitigen Verhältnisse Frankreichs und der Verbündeten "Aus Frankreichs Ansicht ist Preußen eine nagelneue, aber noch nicht nagelfeste Großmacht." Das ist "eine Formulierung, in der das Wort Großmacht eindeutig nicht mehr große Macht, sondern einen mächtigen Staat bezeichnet". (Walter Böhme: Zur Entwicklung des Begriffs Großmacht, September 2011. Dort findet sich auch ein Hinweis auf Adelungs Lexikon.
- ↑ Ein früher Beleg ist in der Brockhaus Enzyklopädie von 1823 unter dem Stichwort Congreß, auf den Friedenskongress von Münster und Osnabrück von 1648 bezogen, zu finden: "Das eben thronlos gewordene England nahm keinen Theil daran, und Spanien erschien darauf eigentlich nicht mehr als entscheidende Großmacht neben Östreich, Frankreich und Schweden." (Allgemeine Encyklopädie der Wissenschaften und Künste herausgegeben von Johann Samuel Ersch, Johann Gottfried Gruber u.a. Teil 22, Brockhaus Verlag 1832 S.105
- ↑ Zitat aus Walter Böhme: Zur Entwicklung des Begriffs Großmacht, 2011
