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| =Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung=
| | Das '''Figurengedicht''' ist eine typische Form der [[Lyrik des Barock]]. |
| Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.
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| {{Kastendesign1|
| | ==Was ist das?== |
| BORDER = cornflowerblue|
| | {{Zitat|Figurengedicht, Gedicht, das typographisch eine Figur abbildet. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, etwa die Nachzeichnung eines Umrisses durch die Komposition verschieden langer Zeilen (Umrissgedicht) oder die Heraushebung einer Figur aus einem quadratischen oder rechteckigen Basistext (Gittergedicht). |
| BACKGROUND = cornflowerblue|
| | |Volker Meid, Elektronisches Sachwörterbuch zur Deutschen Literatur, Reclam 2000, S. 362}} |
| BREITE =100%|
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| INHALT=
| | ==Beispiele== |
| * Das '''bestimmte Integral''' der Funktion <math>f(x)</math> ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse in den angegebenen Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>.
| | * [http://erlangerliste.de/barock/greiffen.html Barocklyrik - kontrastiv: Figurengedichte]: |
| * Die "Flächeninhaltsfunktion" <math>F(x)</math> beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse.
| | : Catharina Regina von Greiffenberg: 'Kreuzgedicht' - André Thomkins: lunds wandlungen. Von Barbara Glökler |
| * Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral von <math>f(x)</math> und der Flächeninhaltsfunktion ist folgender:
| | : Inhaltsverzeichnis: |
| <div align="center">
| | :1. Figurendichtung und ihre Tradition |
| <math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>.
| | :2. Catharina Regina von Greiffenbergs 'Kreuzgedicht' |
| </div>
| | :3. Figurale Gedichte in der Konkreten Poesie |
| * Die "Flächeninhaltsfunktion" wird '''Stammfunktion''' genannt (da sie mehr als nur den Flächeninhalt angibt, vgl. spätere Anwendungen!) und sie besitzt folgenden Zusammenhang mit <math>f(x)</math>:
| | :4. André Thomkins "lunds wandlungen" |
| <div align="center">
| | :5. Zum Problem der Parallelisierung zwischen Konkreter Poesie und Barocker Figurendichtung |
| <math>F \ '(x) = f(x)</math>
| | :6. Glossar |
| </div>
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| * '''Integrieren''' oder das Auffinden einer Stammfunktion oder Bildung des '''unbestimmten Integrals''' bedeutet die Umkehrung zum Differenzieren. Das unbestimmte Integral ist gleich der Stammfunktion:
| | * [http://www.kerber-net.de/literatur/deutsch/literaturgesch/barock/barock3.htm Drei Beispiele]: |
| <div align="center">
| | : Sigmund von Birken: Jesu Sterbebett - Joh. Karst: Dein Reich, o Welt - Sigm. v. Birken: Die Rechtens Waage (www.kerber-net.de) |
| <math>\int f(x) \ \mathrm{d}x = F(x)</math>
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| </div>
| | ==Siehe auch== |
| * Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann ist <math>F(x) + c</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> ebenfalls eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>.
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| | | | * [[Barock]] |
| BILD=Nuvola_apps_edu_miscellaneous.png|
| | * [[Konkrete Poesie]] |
| ÜBERSCHRIFT=Zusammenfassung|
| | * [[Lyrik]] |
| }} | | * [[Lyrik des Barock]] |
| <br><br>
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| Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
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| <br>
| | [[Kategorie:Lyrik]] |
| {{Kastendesign1|
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| BORDER = #97BF87|
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| BACKGROUND = #AADDAA|
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| BREITE =100%|
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| INHALT=
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| a) Sei <math>f</math> eine stetige (mit durchgehendem Graphen) Funktion mit reellen Funktionswerten. Dann gilt mit jeder konstanten Zahl <math>x_0 \in [a;b]</math>:
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| <div align="center">
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| <math>F(x) = \int \limits_{x_0}^x f(t) \ \mathrm{d}t</math>
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| </div>
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| :Dabei ist <math>F(x)</math> eine Stammfunktion zu <math>f(x)</math> und es gilt: <math>F \ '(x) = f(x)</math>. | |
| <br><br>
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| b) Sei <math>f(x)</math> eine stetige reellwertige Funktion mit Stammfunktion <math>F(x)</math>. Dann gilt:
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| <div align="center">
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| <math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>
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| </div>
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| BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
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| ÜBERSCHRIFT=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|
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| }}
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| Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>
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| Die obere Grenze des Integrals ist die Variable <math>x</math>. Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl <math>b</math> gegeben während die Integrationsvariable <math>x</math> ist. Zwar durchläuft <math>x</math> das ganze Intervall <math>[a;b]</math>, jedoch sind seine Werte doch i.A. von <math>b</math> verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich! <br>
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| Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion <math>f</math>:
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| <div align="center>
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| <math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int \limits_a^b f(t) \ \mathrm{d}t = \int \limits_a^b f(s) \ \mathrm{d}s = \int \limits_a^b f(\varphi) \ \mathrm{d}\varphi = \dots</math>
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| </div>
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| ==Beweis des Hauptsatzes== | |
| Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Beweis] mit Geogebra.
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| {{Navigation Lernpfad Integral}}
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