Altes Ägypten/Ackerbau und Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Seiten
(N) |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{ | {{Box|Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. | ||
''' | Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist. | ||
{{ | |||
<br>'''Voraussetzungen: ''' | |||
<br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden | |||
<br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}} | |||
__NOTOC__ | |||
==Das Flächenproblem== | |||
{| | |||
|[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]] | |||
|Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können. | |||
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]? | |||
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]? | |||
|} | |||
==Unter- und Obersumme== | |||
[[bild:Int_abb1.png|220px|right]] | |||
*Begriffsklärung [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme] | |||
*'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². | |||
#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft. | |||
#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme. | |||
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an. | |||
# Lösung: | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-10">0</div> | |||
<div class="width-1-10">0,5</div> | |||
<div class="width-1-10">1,5</div> | |||
<div class="width-1-10">2</div> | |||
<div class="width-1-10">2,5</div> | |||
<div class="width-1-10">3</div> | |||
<div class="width-1-10">3,5</div> | |||
<div class="width-1-10">4</div> | |||
</div> | |||
Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br> | |||
S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br> | |||
Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br> | |||
s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br> | |||
'''Mittelwert: 5,375''' | |||
}} | }} | ||
[ | *Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm GeoGebra] | ||
==Das bestimmte Integral== | |||
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral". | |||
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}} | |||
*Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math> | |||
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst! | |||
==Flächenberechnung== | |||
[[bild:Int_abb2a.png|220px|right]] | |||
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra | |||
* Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]! | |||
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]! | |||
<br> | |||
==Integralfunktion== | |||
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest. | |||
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen? | |||
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}. | |||
==Zusätzliche Übungsaufgaben== | |||
*[http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm Integration mit unbekannten Grenzen] | |||
==Für Interessierte== | |||
*Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis] | |||
*Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung. | |||
*Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele. | |||
[[ | {{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}} | ||
[[Kategorie:Integralrechnung|!]] | |||
[[Kategorie:ZUM2Edutags]] | |||
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Einführung in die Integralrechnung,Mathematik,Einführung,Integralrechnung,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords> | |||
[[Kategorie:Mathematik]] | |||
[[Kategorie:Mathematik-digital]] | |||
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]] | |||
[[Kategorie:Lernpfad]] | |||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] | |||
[[Kategorie:GeoGebra]] |
Version vom 18. November 2018, 17:31 Uhr
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.
Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt im Mathematikunterricht entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.
Voraussetzungen:
Zeitbedarf: etwa 3 Schulstunden
Materialien: Das bestimmte Integral; Aufgaben mit Lösung; Integralfunktion
Das Flächenproblem
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
|
Unter- und Obersumme
- Begriffsklärung Unter- und Obersumme
- Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
- Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
- Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
- Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
- Lösung:
Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + .....f (4) 0,5 = 0,5 f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375
Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + .....f (3,5) 0,5 = 4,375
- Berechnung von Unter- und Obersummen mit GeoGebra
Das bestimmte Integral
- Informiere dich im Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
- Auf dem Arbeitsblatt sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! Lösung
- Berechne: ; ;
- Überprüfe die Lösung mit folgendem Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
Flächenberechnung
- Aufgaben zur Flächenberechnung mit Geogebra
- Kläre die Bedeutung des Begriffs "negativer Flächeninhalt"!
- Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!
Integralfunktion
- Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
- Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
- Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Arbeitsblatt "Die Integralfunktion".
Zusätzliche Übungsaufgaben
Für Interessierte
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit ausführlichem Beweis
- Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
- Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Einführung in die Integralrechnung,Mathematik,Einführung,Integralrechnung,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>