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| == Das „Drei-Würfel-Problem“ == | | <includeonly>{{#if: {{{kategorie|}}}|{{#tag:indicator|[[:Kategorie:{{{kategorie}}}|<span style="color:{{{color|#2AB2F1}}}; background: {{{background|transparent}}}; font-size:2em;" class="{{#switch: {{{iconset}}}|fontawesome=fa|{{{iconset}}}}} {{#switch: {{{iconset}}}|brainy = hdg-|fontawesome = fa-}}{{{icon}}} uk-align-right uk-inline-block"></span>]]</indicator>}}|name = kategorie_{{{kategorie|unknown}}}}}</includeonly> |
| | <noinclude> |
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| Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von {{wpde|Chevalier_de_Mere|Chevalier de Méré}} (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind. | | Das Kopfsymbol auf den Portalseiten wird immer oben rechts angezeigt. Bei kleinen Bildschirmgrößen wird es ausgeblendet. |
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| [[Datei:Augensumme11.JPG|rechts|300px]]
| | == Beispiel == |
| | <div style="position:relative"> |
| | <nowiki> |
| | {{Portalseite/Kopfsymbol|kategorie=Ethik|iconset=brainy|icon=book03|background=#F8E04A|color=#2AB2F1}}</nowiki> |
| | {{Portalseite/Kopfsymbol|kategorie=Ethik|iconset=brainy|icon=book03|background=#F8E04A|color=#2AB2F1}} |
| | </div> |
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| Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:
| | <templatedata> |
| | | { |
| <math>\left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\}</math> | | "params": { |
| | | "iconset": { |
| Für die Augensumme 12 gibt es ebenfalls sechs verschiedene Möglichkeiten:
| | "required": true, |
| | | "example": "brainy", |
| <math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math>
| | "suggested": true |
| | | }, |
| | | "icon": { |
| In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.
| | "required": true |
| | | }, |
| | | "color": { |
| {{Box|Aufgabe 3.1|Welchen Fehler hatte ''Chevalier de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?
| | "label": "Iconfarbe", |
| | | "default": "#2AB2F1" |
| Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!
| | }, |
| | | "background": { |
| Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:
| | "label": "Hintergrundfarbe", |
| | | "default": "transparent" |
| [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation öffnen]
| | }, |
| | | "kategorie": {} |
| | | }, |
| Lösungshilfen:
| | "description": "Das Kopfsymbol auf den Portalseiten wird immer oben rechts angezeigt. Bei kleinen Bildschirmgrößen wird es ausgeblendet. \n", |
| {{Lösung versteckt|1=
| | "format": "inline", |
| :*Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren. | | "paramOrder": [ |
| : Brauchst du einen Tipp? 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit Zurücklegen.
| | "kategorie", |
| : Funktioniert die Java-Simulation bei dir nicht, baue dir doch einfach eine „Socken-Urne“: sechs unterscheidbare Gegenstände in einer Socke! | | "iconset", |
| | | "icon", |
| :*Führe dies <u>mit</u> und <u>ohne</u> Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf? | | "color", |
| | | "background" |
| :*Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deshalb geändert? | | ] |
| | | } |
| :*Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ von ''Chevalier de Méré'' auch eines? | | </templatedata> |
| | | </noinclude> |
| :*Stell dir vor, die Würfel von ''de Méré'' wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig?
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| :[[Datei:Augensumme11bunt.JPG|200px]] [[Datei:Augensumme11bunt2.JPG|200px]] | |
| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| :*Die angegebenen '''Ergebnisse''' von ''Chevalier de Méré'' sind <u>nicht</u> gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten der '''Ereignisse''' „Augensumme 11“ und „Augensumme 12“ mit der Behauptung der Gleichwahrscheinlichkeit berechnen. | |
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| :*Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich nicht geändert, nur weil die Würfel gleichfarbig gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.
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| :*Hätte sich denn die Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1.8 einen Pasch zu würfeln geändert wenn die Würfel gleichfarbig gewesen wären? Natürlich nicht... | |
| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 3.2|2=
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| Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| :<math>\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\} </math> | |
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| :<math>\vert \Omega \vert = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216</math> | |
| }} | |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1= Aufgabe 3.3|2=
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| Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse '''E<sub>1</sub>: „Augensumme 11“''' und '''E<sub>2</sub>: „Augensumme 12“''' beim dreifachen Würfelwurf.
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| {{Lösung versteckt|1= | |
| :*Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).
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| ::Beispiel:<math>\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}</math>
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| :*Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschiedene Ergebnisse beachten. | |
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| :*Für Ergebnisse wie <math>\{3,3,3\}</math> gibt es nur ein Ergebnis.
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| :<math>\Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %</math>
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| :<math>\Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %</math> | |
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| :Da der Unterschied nicht sehr groß ist, muss ''Chevalier de Méré'' sehr oft gewürfelt haben, damit ihm das Problem aufgefallen ist!!
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Weiter|../Efron|Würfeln von Efron}}
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| [[File:Efron_dice.png|center|175px]]
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| {{Lernpfad Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen}}
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| {{SORTIERUNG:Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem}}
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| [[Kategorie:Laplace-Experiment]]
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| [[Kategorie:Stochastik]]
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| [[Kategorie:Lernpfad]]
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| [[Kategorie:Mathematik]]
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| [[Kategorie:Mathematik-digital]]
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| [[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
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| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
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