Wetterelemente und ihre Messung und Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen: Unterschied zwischen den Seiten

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Erklärung einzelner '''[[Wetter]]elemente''' und ihrer '''Messung'''.


== Lufttemperatur ==
{{Quadratische Funktionen erkunden}}


Unter Lufttemperatur versteht man normalerweise die Temperatur der bodennahen Luftschicht, gemessen in Grad Celsius (°C) oder Kelvin (ohne "Grad" gesprochen). In den USA auch in Grad Fahrenheit (°F).


Die Temperatur der Luft wird im Wesentlichen von der Einstrahlung der Sonne beeinflusst, allerdings hauptsächlich '''indirekt''': die Strahlen der Sonne durchdringen die Atmosphäre, wärmen das Land und das Meer auf und ''diese'' erwärmen größtenteils die Atmosphäre, das heißt: die Luft. Das heißt, auf dem Weg ''von der Sonne zur Erde'' erwärmen die Strahlen der Sonne die Luft nur wenig. Die Strahlen der erwärmten Erde (Infrarotstrahlen, die wir mit unseren Augen nicht sehen können) erwärmen auf dem Weg ''von der Erde weg'' die Atmosphäre stark. 
=='''Quadratische Funktionen''' – was genau bedeutet das überhaupt? ==


[[Datei:Wellenlaenge-verschiedene-erklaerung.png | thumb |right | Verschiedene Wellenlängen]] Dieses unterschiedliche Verhalten beim Weg "nach unten" und beim Weg "zurück in den Weltraum" hängt mit der unterschiedlichen Wellenlänge der Strahlung zusammen. Die Abbildung zeigt, wie man sich die Wellenlängen vorstellen kann.  
Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein [https://vierecke.wordpress.com/quadrat/information/ Quadrat] ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.
Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.


Es gibt dazu '''zwei einfache Grundsätze'''
Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen [http://www.mathematik-wissen.de/flaecheninhalt_quadrat.htm Flächeninhalt]:
::: [[Datei:Quadrat mit 1.jpg|rahmenlos|80px|Fläche 1]]


# Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt (-273°C = 0 K) liegt, gibt Strahlung ab.
:::A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1<sup>2</sup> cm<sup>2</sup>= 1 cm<sup>2</sup>
# Je heißer ein Körper ist, desto '''kurzwelliger''' ist die von ihm abgegebene Strahlung.


Daraus folgt, dass sowohl die Sonne als auch die Erde Strahlung abgeben und dass die Strahlung von der Sonne kurzwelliger ist als die Strahlung, die die Erde abgibt (weil die Sonne heißer als die Erde ist).
Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2&nbsp;cm, 3&nbsp;cm und 4&nbsp;cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:
:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!  style="width:7em"|Seitenlänge !!  style="width:7em"|Fläche


Die Luft der Atmosphäre lässt die kurzwellige Sonnenstrahlung gut durch, hält aber von der langwelligen Ausstrahlung der Erde viel zurück, so dass diese langwellige Ausstrahlung länger in der Atmosphäre verweilt und die Atmosphäre erwärmt. Dies nennt man den natürlichen Treibhauseffekt. Ohne diesen Treibhauseffekt, läge die durchschnittliche Temperatur auf der Erde bei -18°C. Mit dem Treibhauseffekt liegt sie bei 15°C (siehe die folgenden Abbildungen).
|-
|style="text-align:center"|1 cm ||style="text-align:center"| 1 cm<sup>2</sup>
 
|-
|style="text-align:center"|2 cm || style="text-align:center"|4 cm<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|3 cm || style="text-align:center"|9 cm<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|4 cm || style="text-align:center"|16 cm<sup>2</sup>
|}


Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Den Flächeninhalt kannst du als '''Funktion von x''' ansehen und '''f(x) = x<sup>2</sup>''' oder '''y = x<sup>2</sup>''' schreiben. [[Datei:Quadrat mit x.jpg|rahmenlos|80px|Fläche x^2]]
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!style="width:7em"|  x !!  style="width:7em"|y = x<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"| 1
|-
|style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| 4
|-
|style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 9
|-
|style="text-align:center"|4 || style="text-align:center"|16
|}


Abb. Einstrahlung-Ausstrahlung (OHNE Treibhauseffekt)
==Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?==


Abb. Einstrahlung-Ausstrahlung (MIT Treibhauseffekt)
{{Box|Aufgabe 1|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Die Temperatur der Luft ist am Boden am höchsten und nimmt mit zunehmender Höhe ab. Das liegt zum einen daran, dass die Atmosphäre "von unten" beheizt wird (durch die Erdoberfläche). Zum anderen nimmt der Luftdruck nach oben hin ab – und geringerer Luftdruck bewirkt ebenfalls niedrigere Temperaturen.
'''a)''' Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.


==Luftdruck==
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.|3= Arbeitsmethode}}
[[Datei:Low_pressure_system_over_Iceland.jpg | thumb|right| Tiefdruckgebiet über Island]]
Der Luftdruck entsteht durch das Gewicht der Luft, die aufgrund der Erdanziehung auf die Erdoberfläche drückt. Jedes Objekt auf der Erde erfährt Druck von allen Seiten (auch von unten nach oben), weil die Gase der Atmosphäre frei beweglich sind.


Der Luftdruck hat großen Einfluss auf das Wetter, z.B. weil Druckunterschiede in der Atmosphäre zu Ausgleichsströmungen führen (diese nennen wir "Wind") und weil große Druckgebilde mit tieferem oder höherem Druck als in der Umgebung (Tief- und Hochdruckgebiete) bestimmte Wettererscheinungen verursachen. Auf den Satellitenbildern erkennt man gut die Tiefdruckgebiete, da sie ein spiralförmiges Erscheinungsbild besitzen. Die Ursache für dieses spiralförmiges Erscheinungsbild ist die '''Corioliskraft'''.


:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!style="width:7em"|  x !!  style="width:7em"|y = x<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"| 1
|-
|style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| 4
|-
|style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 9
|-
|style="text-align:center"|4 || style="text-align:center"|16
|}


Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian mit ihren Lsg.jpg|rahmenlos|1500px|Lösungen]]|Lösungen von Lucio, Merle und Fabian anzeigen|Lösungen verbergen}}




===Messung===


Der Luftdruck wird mit '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Barometer Barometern] ''' gemessen. Häufig verwendete Barometertypen sind Dosenbarometer und Flüssigkeitsbarometer. Die gängige '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Luftdruck#Einheiten Maßeinheit]'''  für den Luftdruck ist '''Hektopascal''' (hPa) oder Bar (bar). Der Normaldruck auf Meereshöhe beträgt 1013 hPa, was etwas mehr als 1 bar entspricht (1000 hPa = 1 bar).  
{{Box| |Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?|Hervorhebung1}}


Eine ältere Maßeinheit ist Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) – diese Maßeinheit beruht auf dem ersten entwickelten Barometer, das ein Flüssigkeitsbarometer mit Quecksilber als Steigflüssigkeit war und dessen Steighöhe in Millimeter angegeben wurde (s.u.).




{|
{{Box|Aufgabe 2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
|width=150px|[[Datei:Dosenbarometer Prinzip.png | thumb |left|Funktionsprinzip eines Dosenbarometers]]
 
|width="2%"|
Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?
|valign="top" |
 
====Dosenbarometer====
 
Das Funktionsprinzip von [http://de.wikipedia.org/wiki/Quecksilberbarometer#Dosenbarometer Dosenbarometern]  beruht darauf, dass eine hohle Dose (meist aus Metall) vom Luftdruck verformt wird. Über einen Anzeigemechanismus, der an der Dose befestig ist, wird die Verformung auf einer Skala ablesbar.  
Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.
 
 
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian Diskussion.jpg|rahmenlos|750px|Diskussion]]
{{Lösung versteckt|Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.
 
Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.
Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.
Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode}}
 
 
==Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:==
 
Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.


In der Dose herrscht ein Unterdruck, aber kein Vakuum. Diese Restluft in der Dose dient dazu, den Einfluss der Temperatur auf den Luftdruck auszugleichen. Der Luftdruck in einem geschlossenen Behälter steigt, wenn die Temperatur der Luft darin steigt. Dies gilt im Prinzip auch für die Atmosphäre, auch wenn hier andere Einflüsse dazu kommen.
|-
|[[Datei:Quecksilber-Barometer Prinzip.png|thumb|left|Funktionsprinzip eines Flüssigkeitsbatometers]]
|width="2%"|
|valign="top" |
====Flüssigkeitsbarometer====


Bei einem [http://de.wikipedia.org/wiki/Quecksilberbarometer#Fl.C3.BCssigkeitsbarometer Flüssigkeitsbaromter] wirkt der Luftdruck auf eine bestimmte Menge Flüssigkeit, die dadurch in einem Steigrohr steigt oder sinkt und damit den Luftdruck anzeigt.
{{Box|Aufgabe 3|
|-
|[[Datei:Barograph.JPG | thumb|left| Barograph ]]
|width="2%"|
|valign="top" |
====Barograph====


Barographen werden eingesetzt, wenn man die Veränderung des Luftdrucks über einen längeren Zeitraum aufzeichnen möchte. Ein Barograph ist oft ein Dosenbarometer, an dessen Zeiger ein Stift befestigt ist, der auf eine sich drehende Papierrolle schreibt (s. Abb.)
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
|}


==Wind==
Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.|Arbeitsmethode}}
[[Datei:Bundesarchiv_Bild_183-1990-0206-324,_Berlin,_Passanten_im_Wind.jpg |tumb|200px|Passanten im Wind]]


Wind ist eine Luftbewegung mit einer bestimmten Richtung. Wind entsteht meist dadurch, dass der Luftdruck in zwei Gebieten unterschiedlich ist, das heißt, dass in einem Gebiet höherer Luftdruck ([http://de.wikipedia.org/wiki/Hochdruckgebiet Hochdruckgebiet]) als in einem anderen Gebiet ([http://de.wikipedia.org/wiki/Tiefdruckgebiet Tiefdruckgebiet]) herrscht.


{{Box|Merke|
* Der Term


{|
::<math>y = x^2</math> &nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp; <math>f(x)=x^2</math>
|width=150px|[[File:Anemometer.jpg | thumb | left | Anemometer, ein Messgerät für die Windgeschwindigkeit]]
|width="2%"|
|valign="top" |
===Windgeschwindigkeit===
Die '''Windgeschwindigkeit''', also die Geschwindigkeit, mit der sich die Luftteilchen bewegen, kann unterschiedlich sein. Sie hängt unter anderem davon ab, wie groß der Druckunterschied zwischen den beiden Druckgebieten ist. Ein großer Druckunterschied führt zu starkem Wind (das heißt zu einer schnellen Luftbewegung), ein kleiner Druchunterschied zu schwachem Wind (einer langsameren Luftbewegung).


Man kann die Windgeschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) angeben. Ein anderes Mess-System ist die so genannte [http://de.wikipedia.org/wiki/Beaufortskala#Beaufort-Skala_nach_ph.C3.A4nomenologischen_Kriterien Beaufort-Skala] der Windstärken.  
:beschreibt die einfachste quadratische Funktion.
* Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man '''Normalparabel'''.
::[[Datei:Normalparabel grün.png|rahmenlos|mittig|300px|Normalparabel]]
* Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle <math>S(0|0)</math>. Dieser Punkt wird '''Scheitelpunkt''' genannt.|3=Merksatz}}


Die Windgeschwindigkeit misst man mit einem [http://de.wikipedia.org/wiki/Anemometer Anemometer]
|-
|width=150px|[[File:Windrichtungsgeber.jpg | thumb| left| Windfahne]]
|width="2%"|
|valign="top" |
===Windrichtung===


Die '''Windrichtung''' ist ebenfalls eine wichtige Eigenschaft des Windes. Hier gibt man die Himmelsrichtung an, ''aus der der Wind kommt''. Ein Nordwind weht also von Nord nach Süd. Ein Süd-Ost-Wind weht von Süd-Osten nach Nord-Westen.


Die Windrichtung kann man zum Beispiel mit einer [http://de.wikipedia.org/wiki/Windfahne Windfahne] messen.
[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform]]  
|}


==Luftfeuchtigkeit==


==Niederschlag==


[[Kategorie:Wetter]]
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Version vom 24. Februar 2018, 17:31 Uhr

gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

< Mathematik-digital


Quadratische Funktionen – was genau bedeutet das überhaupt?

Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein Quadrat ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.

Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.

Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen Flächeninhalt:

Fläche 1
A = 1 cm ⋅ 1 cm = 12 cm2= 1 cm2

Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:

Seitenlänge Fläche
1 cm 1 cm2
2 cm 4 cm2
3 cm 9 cm2
4 cm 16 cm2

Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A = x2. Den Flächeninhalt kannst du als Funktion von x ansehen und f(x) = x2 oder y = x2 schreiben. Fläche x^2

x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) Notizblock mit Bleistift.

a) Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.

b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.


x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.

Lösungen



Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?



Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner Notizblock mit Bleistift Partnerarbeit.

Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?


Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.


Diskussion

Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.

Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.

Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.

Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.

Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.


Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:

Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y = x2. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.


Aufgabe 3


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) Notizblock mit Bleistift.

Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.


Merke
  • Der Term
   bzw.   
beschreibt die einfachste quadratische Funktion.
  • Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man Normalparabel.
Normalparabel
  • Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle . Dieser Punkt wird Scheitelpunkt genannt.


Pfeil Hier geht's weiter.png




Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

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