Main>Jan Wörler |
Main>Petra Bader |
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| <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
| | * Beschreibung: Graph einer Geraden |
| '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>
| | * Quelle: selbst |
| | | * Fotograf/Zeichner/Autor: Petra Bader |
| == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN ==
| | * Datum: 07.12.2008 |
| | | * Lizenz: {{MV-Lizenz}} |
| Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br />
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| '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>.
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| === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===
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| {| cellspacing="10"
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| |- style="vertical-align:top;"
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| | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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| Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
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| # Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
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| #* Definitionsbereich
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| #* Symmetrie
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| #* Monotonie
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| #* größte und kleinste Funktionswerte
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| # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
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| :{{Lösung versteckt| | |
| :Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
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| :Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
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| }}
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| }}<br>
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| || <ggb_applet height="300" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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| filename="7_x1n_w2.ggb" />
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| |}
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| <!--neue Datei {{ggb|7_x1n_w2.ggb|datei}}-->
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| == Potenzen und Wurzeln ==
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| Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2</math> heißt ''Wurzelfunktion''.
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| Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> und Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> hängen eng zusammen, denn es gilt:
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| :<math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math>
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| Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:
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| :<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math>
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| Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
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| :<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>
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| Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
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| === Beispiel: Quadratwurzel ===
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| Eine positive Zahl <math>x>0</math> hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa
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| * <math>16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4</math>. | |
| In manchen Fällen (etwa wenn es um die Bestimmung von Längen oder Flächeninhalten geht) ist nur die postive Lösung sinnvoll.
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| Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2,</math>) zu:
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| :<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2}.</math>
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| Die mathematisch richtige Lösung <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.
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| === Beispiel: Kubikwurzel ===
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| * <font style="vertical-align:18%;"><math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math></font>, aber auch | |
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| <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
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| filename="8_ax1nc_w.ggb" />
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| <!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}-->
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| == Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
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| ==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ====
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| Offenbar ergibt die Wurzelfunktion <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem ''n'' sowohl für positive als auch negative ''x'' Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
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| :<math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,</math>
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| :<math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
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| Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
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| :<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>
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| Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
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| :<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math>
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| ==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====
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| Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
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| :<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
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| Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.
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| == kurz nachgedacht ==
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| * asd asd
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| * asd asd asd
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| * aasdd
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| *
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- Beschreibung: Graph einer Geraden
- Quelle: selbst
- Fotograf/Zeichner/Autor: Petra Bader
- Datum: 07.12.2008
- Lizenz: Generell unterliegen alle Werke dem Urheberrecht eines Urhebers oder Lizenznehmers. Dagegen existiert der Begriff Gemeinfreiheit (im anglo-amerikanischen Raum auch Public Domain genannt).
Gemeinfreie Güter können von jedermann ohne eine Genehmigung oder Zahlungsverpflichtung zu jedem beliebigen Zweck verwendet werden.
Strukturelle Gemeinfreiheit
Das Urheberrecht und andere Immaterialgüterrechte schützt nur Werke, nicht jedoch jede geistige Schöpfung. Voraussetzungen sind zum einen, dass die Schöpfung in einer konkreten Form verkörpert ist, also über eine Idee hinausgeht, und auch nur diese Form geschützt ist, und zum anderen ist eine gewisse Schwelle an Individualität oder Originalität erforderlich, da ein Sockel aus Basiswissen, Gestaltungsprinzipien und einfachen Leistungen für jedermann zur Verfügung stehen muss. Auch kleine, naheliegende Innovationen sind als routinemäßige Weiterentwicklungen nicht schutzfähig. Derartige Schöpfungen und Leistungen unterliegen direkt der Gemeinfreiheit.
Gemeinfreiheit durch Zeitablauf
Alle Immaterialgüterrechte, die als Schutz von Innovationen angelegt sind, haben nur eine begrenzte Laufzeit. Die Dauer des Schutzes unterscheidet sich nach den verschiedenen Schutzarten und richtet sich nach deren Regelungen. Eine Leistung wird nach der Regelschutzfrist
mit Ablauf des Schutzes gemeinfrei.
Entlassung in die Gemeinfreiheit
Auf die Mehrzahl der Immaterialgüterrechte kann nach Belieben des Schöpfers verzichtet werden. Dabei haben sich einige Lizenzmodelle herausgebildet:
Lizenzmodelle im Internet
Creative Commons
GNU FDL
GNU General Public License = GPL
Die GNU General Public License (GPL) ist ein Lizenzmodell der Free Software Foundation.
GNU Lesser General Public License = LGPL
Die GNU Lesser General Public License (LGPL) ist ein Lizenzmodell der Free Software Foundation.
Public Domain
Wenn etwas Public Domain ist, so ist damit gemeint, dass es öffentliches Eigentum bzw. ohne Eigentumsvorbehalte eines Urhebers oder Lizenznehmers ist. Es ist gemeinfrei und kann somit ohne Einschränkung in eigenen Publikationen (und natürlich auch hier im ZUM-Wiki) verwendet werden.
Der Rechtsbegriff Public Domain steht im angelsächsischen Common Law für „frei von Urheberrechten“. Die Bedeutung englischer Begriffe wie „Copyright“ und „Public Domain“ kann nicht ohne weiteres auf die deutschen Begriffe „Urheberrecht“ und „Gemeinfreiheit“ übertragen werden.
- Weblinks
GNU-Lizenz_für_freie_Dokumentation#Verwendung_in_der_Wikipedia.
Linkliste
mit Ablauf des Schutzes gemeinfrei.
