Wir erforschen den Boden/Mineralische Zusammensetzung und Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Leonie Porzelt
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__NOTOC__
 
{{Lernpfad-M|
===Abbildung durch zentrische Streckung===
                                                                                                               
}}
 
<br>
                                                       
[[Bild:Porzelt_Zentrische_Streckung.jpg|center]]
<br>
='''Erster Teil:=
==1. Station: Ähnlichkeitsabbildung==
=Der Boden in seiner mineralischen Zusammensetzung =
:Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet
==Wir bestimmen die Bodenart'''==
:sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.
 
:Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg.
===Informationen zum  Thema===  
<br>
#An der Erdoberfläche, dort wo Wind und Wetter an der Erdrinde nagen, hat sich im Laufe der Jahrhunderte und Jahrtausende eine Verwitterungsschicht gebildet, welche zur Lebensgrundlage aller Landbewohner, Pflanzen, Tiere und Menschen geworden ist. Diese zwischen dem Erdgestein und der Luft liegende, Leben erfüllte  Schicht der Erde nennen wir Boden. Je nach Ausgangsgestein, geographischer Lage, Klima, Wassereinfluss, Bewuchs, Tiergemeinschaft und nicht zuletzt unter dem Einfluss des Menschen haben sich vielfältige Böden entwickelt. Was allen Böden gemeinsam ist, das ist ihr Anteil an Mineralien, Humus, Bodenlebewesen, Luft und Wasser.
<br>
 Der Boden besteht überwiegend aus mineralischen Bestandteilen  unterschiedlicher Korngröße (Ausnahme: Moorboden), welche die Bodenstruktur  und damit die Eigenschaften des Wasser – und Nährstoffhaushalts  prägen.   
<ggb_applet height="500" width="800" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Taschenlampe.ggb" />
 
<br>
'''Was sind Bodenarten?'''  
<br>
<br>
:'''''Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:'''''


Die Bodenarten ergeben sich aus den Anteile: Sand, Schluff, Ton. Sie sind jedoch nicht  gegen einander abgegrenzt, sondern werden durch bestimmte Begriffe ( z.B. Lehm) oder durch die Benennung nach hervorstechenden Bestandteilen  (z.B. Moor) erweitert.  
<br>
<quiz display="simple">
{ '''Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben?'''}
+Je '''näher''' Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto '''größer''' ist der Schatten.
-Je '''näher''' Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto '''kleiner''' ist der Schatten.
+Je '''weiter''' Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto '''kleiner''' ist der Schatten.
-Je '''weiter''' Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto '''größer''' ist der Schatten.
</quiz>
<br>
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:Der Strohhalm wird  als '''Urbild''' und der Schatten als '''Bild''' bezeichnet.
:Wie man sieht haben der Strohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.
:Deshalb spricht man von einer '''Ähnlichkeitsabbildung'''.
:Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von
:einer '''zentrischen Streckung'''. Das '''Streckungszentrum''' wird mit '''Z''' bezeichnet.
:Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese
:Lichtstrahlen sind '''Halbgeraden'''.
</div>
<br>
:[[Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen]]
==2. Station: Streckungsfaktor==
:In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.  
:Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| <br>
|<ggb_applet height="320" width="700" showResetIcon="true" filename="Porzelt_positiverStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
<div class="multiplechoice-quiz">


Aus historischen Gründen gibt es unterschiedliche  Bezeichnungen der Bodenarten.
Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (auf derselben Seite) (!auf verschiedenen Seiten)


    <big>'''Korngrößengruppen  und ihre Bezeichnung '''
Was liegt bei k>1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität)
Bezeichnung    Durchmesser in mm   
                                                                             
  
Ton (T)       Kleiner als 0,002 
  


  
Was liegt bei 0<k<1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität)
Schluff (U)   0,002-0,0063 
*Feinschluff  0,0063-0,02 
*Mittelschluff 0,0063-0,02 
*Grobschluff  0,02-0,063 


Was liegt bei k=1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (die Identität)
Sand (S)
*Feinstsand    0,063-0,1
 
  
*Feinsand      0,1-0,2
  
 
*Mittelsand      0,2-0,63 


  
Was passiert wenn k=0 ist? (es erfolgt '''keine''' zentrische Streckung) (!es erfolgt '''eine''' zentrische Streckung)
 
*Grobsand        0,63-2,0 


  
</div>
Kies, Steine 
|}
*Feinkies, Grus  2-6
</div>
<br>
     
Geschiebe        6-200 
 
  
Steine,Blöcke über 200 mm  <big/>
  
  
 


 
<br>
                     
:Was sind die Unterschiede, wenn ihr dieses Dreieck zentrisch streckt? Dieses mal durchläuft der
:Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.
<br>
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| <br>
|<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_negativerStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
<div class="multiplechoice-quiz">


Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (!auf derselben Seite) (auf verschiedenen Seiten)


Was liegt bei k< -1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung)
 
Bezeichnung der Bodenarten


S - Sand 
Was liegt bei 0>k> -1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung)


sL – sandiger Lehm uS – schluffiger Sand uL – schluffiger Lehm lS- lehmiger Sand
Was liegt bei k= -1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (eine Spiegelung)


tL – toniger Lehm lS- toniger Sand
</div>
|}
</div>
<br>
<br>
:Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
:sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
:Zur Hilfe orientiere dich an dieser Frage:
:Was ist der Unterschied zwischen der Länge der Bildstrecke zur Urbildstrecke?
<br>
<ggb_applet height="400" width="850" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Streckungsfaktor.ggb" />
<br>
<div class="multiplechoice-quiz">


sT – sandiger Ton U- Schluff
Was passiert mit der Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>? (Sie bleibt immer gleich) (!Sie ist variabel)


lT – lehmiger Ton sU sandiger Schluff
Was passiert mit der Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>? (!Sie bleibt immer gleich) (Sie ist variabel)


T- Ton
Wie verhält sich k? (!Es bleibt immer gleich) (Es ist variabel)


 
</div>
 


:Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:
:{{Lösung versteckt|Die Bildstrecken sind jeweils <nowiki>|k|</nowiki>-mal so lang wie die Urbildstrecken.}}
<br>
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.
</div>
<br>


 
==3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors==
 
:Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.
:Geometrisch bedeutet dies: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span>
<br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
<span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">PQ</span> <br>
<math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = '''|k|''' ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZQ</span> - |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>'''<br>
<math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ ('''<span style="text-decoration: overline;">ZQ</span>''' - '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>'''<br>
<math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">PQ</span>'''
</div>
 
 
 
==4. Station: Zusammenfassung==
:Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.
<div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
'''Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung'''<br>
Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer '''zentrischen Streckung'''. <br>
Sie wird festgelegt durch Angabe eines '''Streckungszentrums Z''' und eines '''Streckungsfaktors k'''. (Kurz: )<br>
Der '''Urpunkt P''', der '''Bildpunkt P'''' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden. <br>
Es gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> <br>
Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor. <br>
Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung. <br>
Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z. <br>
Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z. <br>
</div>
<br>
 
==5. Station: Übung==
<div class="schuettel-quiz">
:Das Bild zeigt eine '''zentrische''' '''Streckung'''.
</div>
[[Bild:Porzelt_Taschenlampe_Quiz.jpg|center]]
<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Streckungsfaktor || Was kann man mit Hilfe des Schiebereglers einstellen?
|-
| Streckungszentrum || Was stellt die Taschenlampe dar?
|-
| Halbgerade || Was ist der Lichtstrahl?
|-
| Urbild || Als was kann man den Strohhalm noch bezeichnen?
|-
| Bild || Als was kann man den Schatten noch bezeichnen?
|}
</div>

Version vom 28. Juni 2009, 10:48 Uhr

Vorlage:Lernpfad-M

Porzelt Zentrische Streckung.jpg


1. Station: Ähnlichkeitsabbildung

Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet
sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.
Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg.



Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.


Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:


Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben?

Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto größer ist der Schatten.
Je näher Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto kleiner ist der Schatten.
Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto kleiner ist der Schatten.
Je weiter Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto größer ist der Schatten.


Der Strohhalm wird als Urbild und der Schatten als Bild bezeichnet.
Wie man sieht haben der Strohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.
Deshalb spricht man von einer Ähnlichkeitsabbildung.
Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von
einer zentrischen Streckung. Das Streckungszentrum wird mit Z bezeichnet.
Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese
Lichtstrahlen sind Halbgeraden.


Hier kannst du weitere Beispiele einer zentrischen Streckung sehen

2. Station: Streckungsfaktor

In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.
Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (auf derselben Seite) (!auf verschiedenen Seiten)

Was liegt bei k>1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität)

Was liegt bei 0<k<1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität)

Was liegt bei k=1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (die Identität)

Was passiert wenn k=0 ist? (es erfolgt keine zentrische Streckung) (!es erfolgt eine zentrische Streckung)



Was sind die Unterschiede, wenn ihr dieses Dreieck zentrisch streckt? Dieses mal durchläuft der
Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.


Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (!auf derselben Seite) (auf verschiedenen Seiten)

Was liegt bei k< -1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung)

Was liegt bei 0>k> -1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung)

Was liegt bei k= -1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (eine Spiegelung)



Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
Zur Hilfe orientiere dich an dieser Frage:
Was ist der Unterschied zwischen der Länge der Bildstrecke zur Urbildstrecke?


Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Was passiert mit der Streckenlänge ZB? (Sie bleibt immer gleich) (!Sie ist variabel)

Was passiert mit der Streckenlänge ZB'? (!Sie bleibt immer gleich) (Sie ist variabel)

Wie verhält sich k? (!Es bleibt immer gleich) (Es ist variabel)

Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:

Die Bildstrecken sind jeweils |k|-mal so lang wie die Urbildstrecken.


k bezeichnet man als den Streckungsfaktor. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.


3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors

Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.
Geometrisch bedeutet dies: ZP' = |k| ∙ ZP


P'Q' = |k| ∙ PQ
P'Q' = |k| ∙ ZQ - |k| ∙ ZP
P'Q' = |k| ∙ (ZQ - ZP
P'Q' = |k| ∙ PQ


4. Station: Zusammenfassung

Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.

Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung
Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer zentrischen Streckung.
Sie wird festgelegt durch Angabe eines Streckungszentrums Z und eines Streckungsfaktors k. (Kurz: )
Der Urpunkt P, der Bildpunkt P' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden.
Es gilt: ZP' = |k| ∙ ZP
Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor.
Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung.
Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z.
Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z.


5. Station: Übung

Das Bild zeigt eine zentrische Streckung.
Porzelt Taschenlampe Quiz.jpg
Streckungsfaktor Was kann man mit Hilfe des Schiebereglers einstellen?
Streckungszentrum Was stellt die Taschenlampe dar?
Halbgerade Was ist der Lichtstrahl?
Urbild Als was kann man den Strohhalm noch bezeichnen?
Bild Als was kann man den Schatten noch bezeichnen?
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