Terme/Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen: Unterschied zwischen den Versionen

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= <span style="color: green">Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen</span> =
{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Terme}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
==<span style="color: green">Distributivgesetz der Multiplikation </span> ==
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
__NOTOC__
{|
==Distributivgesetz der Multiplikation==
! width="910" |
 
|-
{{Box|1=Aufgabe|2=
| valign="top" |
 
{|
Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zur Seitenlänge s erweitert (siehe Skizze).
! width="400" |
! width="1" |
|-
| valign="top" |
Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zu s erweitert (siehe Skizze).
Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?
Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?
|}
 
|
[[Bild:erweitertes_quadrat_einstieg5.jpg|right]]  
| valign="top" |
 
[[Bild:erweitertes_quadrat_einstieg5.jpg]] <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=
|}
Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet <math> A_R= l \cdot b </math>
<popup name="Lösung">
Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet A<sub>R</sub>= <span style="color: darkorange">l</span>•<span style="color: purple">b</span> <br />
Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s. <br />
Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s. <br />
Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so: <br />
Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so: <br />
A<sub>F</sub> = (<span style="color: darkorange">a+e</span>)•<span style="color: purple">s</span>
 
</popup>  
<math> A_F = ( a+e ) \cdot s </math>}}
<br />
<br />
Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst.
Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst.
<popup name="Lösung">
 
(a+e)•s = a•s + e•s
{{Lösung versteckt|1=
</popup> </div>
 
<br />
<math> (a+e) \cdot s = a \cdot s + e \cdot s </math>
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
}}
<br />
|3=Arbeitsmethode}}
 
==Erklärung==
 
Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).
Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).
: a•(b+c) = a•b+a•c = ab + ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
 
: a•(b-c) = a•b-a•c = ab - ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
:<math> a \cdot(b+c) = a \cdot b+a \cdot c = ab + ac  \text{ für alle } a, b, c \in Q</math>
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)
:<math> a \cdot (b-c) = a \cdot b - a  \cdot c = ab - ac  \text{ für alle a, b, c \in Q</math>
</div>
::(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)
<br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
 
(2-y)•3 = 2•3-y•3 = 6-3y  
==Beispiel==
 
<math> (2-y) \cdot 3 = 2 \cdot 3-y \cdot 3 = 6-3y </math>


Multipliziere nun folgende Terme aus:
Multipliziere nun folgende Terme aus:


* (4+m)•2
*<math> (4+m)\cdot 2 </math>
* (7+z)(-4)
{{Lösung versteckt|1=
* (<math>\frac{1}{2}</math> +a)•<math>\frac{1}{2}</math>  
<math> (4+m)\cdot 2 = 4 \cdot 2 + m \cdot 2 = 8 +2m </math>
* (<math>\frac{1}{3}</math> -k)•<math>\frac{3}{4}</math>
<br>
<popup name="Lösung">
}}
* (4+m)•2 = 4•2 + m•2 = 8 +2m
 
* (7+z)•(-4) = 7•(-4) + z•(-4) = -28 - 4z
*<math> (7+z) \cdot (-4) </math>
{{Lösung versteckt|1=
<math> (7+z)\cdot (-4) = 7\cdot (-4) + z\cdot (-4) = -28 - 4z </math>
<br>
}}
 
*<math> (\frac{1}{2}+a) \cdot \frac{1}{2}</math>
{{Lösung versteckt|1=
<math> (\frac{1}{2} + a) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + a \cdot \frac{1}{2} = </math>
 
<math> = \frac{1}{4} + \frac{a}{2} </math>  
<br />
<br />
* (<math>\frac{1}{2}</math> + a)•<math>\frac{1}{2}</math>  =  <math>\frac{1}{2}</math> •<math>\frac{1}{2}</math> + a• <math>\frac{1}{2}</math>  = <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{a}{2}</math>
}}
<br />
 
* (<math>\frac{1}{3}</math> - k)•<math>\frac{3}{4}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> •<math>\frac{3}{4}</math> - k• <math>\frac{3}{4}</math> <math>\frac{1}{4}</math> - <math>\frac{3k}{4}</math>
*<math> (\frac{1}{3}-k) \cdot \frac{3}{4}</math>
</popup> </div>
{{Lösung versteckt|1=
<math> (\frac{1}{3}- k) \cdot \frac{3}{4}  = \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} - k \cdot \frac{3}{4} </math>  
 
<math> = \frac{1}{4} - \frac{3k}{4}</math>
<br />
<br />
}}
==Distributivgesetz der Division==


==<span style="color: green">Distributivgesetz der Division </span> ==
{{Box|1=Aufgabe|2=
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:
Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:


{|width="99%"
 
|width="40%" style="vertical-align:top"|


* Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3."
* Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3."
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* Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"
* Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"


Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften zu Termen um und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.
Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften als Termen und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.
|width="20%" style="vertical-align:top"|
 
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:bonbons_einstieg_dg-division-neu.jpg|right]]
[[Bild:bonbons_einstieg_dg-division-neu.jpg]]
 
|}<br /><br />
 
{{Lösung versteckt|1=


<popup name="Lösung">
* Anna: <math> (9+18):3 = 27:3 = 9 </math>


* Anna: (9+18):3 = 27:3 = 9
* Sara: <math> 9:3 + 18:3 = 3+6 = 9 </math>
* Sara: 9:3 + 18:3 = 3+6 = 9
<math>\Rightarrow (9+18):3 = 9:3 + 18:3 = 9 </math>
<math>\Rightarrow</math> (9+18):3 = 9:3 + 18:3 = 9


Also haben alle drei Freundinnen recht.
Also haben alle drei Freundinnen recht.
</popup>
}}


Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren.
Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren.
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
(a+b):c = a:c + b:c
<math>(a+b):c = a:c + b:c </math>
</popup> </div>
}}
<br />
 
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
===Erklärung===
 
Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).
 
:<math>\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c}+ \frac{b}{c} \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
 
bzw.:
 
:<math> (a+b):c = a:c + b:c \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
 
:<math> \frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
 
bzw.:  
 
:<math> (a-b):c = a:c - b:c  \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\} </math>
 
::(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)
 
 


Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jeder Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).
:<math>\frac{a+b}{c}</math> = <math>\frac{a}{c}</math> + <math>\frac{b}{c}</math>        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}


bzw.:(a+b):c = a:c + b:c      für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0} 
===Beispiel===


:<math>\frac{a-b}{c}</math> = <math>\frac{a}{c}</math> - <math>\frac{b}{c}</math>        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
<math> (a+6):8 = \frac{a}{8} + \frac{6}{8} = \frac{a}{8} + \frac{3}{4} </math>  
bzw.: (a-b):c = a:c - b:c        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)
</div>
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
(a+6):8 = <math>\frac{a}{8}</math> + <math>\frac{6}{8}</math> = <math>\frac{a}{8}</math> +<math>\frac{3}{4}</math>  


Dividiere selbst:
Dividiere selbst:


* (z-0,5):2
*<math> (z-0,5):2 </math>
* (m-c):c
*<math> (m-c):c </math>
* (2,8-0,3):a
*<math> (2,8-0,3):a </math>
<popup name="Lösung">
 
* (z-0,5):2 = <math>\frac{z}{2}</math> - <math>\frac{0,5}{2}</math> = <math>\frac{z}{2}</math> - 0,25
{{Lösung versteckt|1=
* (m-c):c = <math>\frac{m}{c}</math> - <math>\frac{c}{c}</math> = <math>\frac{m}{c}</math> - 1
* <math> (z-0,5):2 = \frac{z}{2} - \frac{0,5}{2} = \frac{z}{2}- 0,25 </math>  
* (2,8-0,3):a = (2,5):a = 2,5:a
 
</popup> </div><br />
* <math> (m-c):c = \frac{m}{c} - \frac{c}{c} = \frac{m}{c} - 1 </math>  
==<span style="color: green">Ausmultiplizieren und Ausklammern </span> ==
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
* <math> (2,8-0,3):a = (2,5):a = 2,5:a </math>  
{|width="99%"
}}
|width="40%" style="vertical-align:top"|
 
 
==Ausmultiplizieren und Ausklammern==
 
{{Box|1=Aufgabe|2=
Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde.
Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde.
Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)
Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)
|width="20%" style="vertical-align:top"|
 
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erweitertes quadrat ausklammern.jpg]]  
[[Bild:erweitertes quadrat ausklammern.jpg]]  
|}<br /><br />
 
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
Wie oben:  
Wie oben:  
A<sub>F</sub> = (<span style="color: darkorange">a+e</span>)•<span style="color: purple">s</span>
 
<br />für s= a+f einsetzen:
<math> A_F = ( a+e ) \cdot s </math>
A<sub>F</sub> = (<span style="color: darkorange">a+e</span>)(<span style="color: purple">a+f</span>)
 
</popup> <br />
für <math> s = a+f </math> einsetzen:
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du schon multiplizieren (bzw. dividieren) einer Summe mit einem Faktor.
 
Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt A<sub>F</sub> = (a+e)(a+f) ausmultipliziert werden kann.
<math> A_F = ( a+e ) \cdot ( a + f ) </math>
<popup name="Lösung">
}}
A<sub>F</sub> = (a+e)(a+f)
 
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Summe mit einem Faktor multiplizieren (bzw. dividieren).
Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt <math> A_F = (a+e) \cdot (a+f) </math> ausmultipliziert werden kann.
 
{{Lösung versteckt|1=
<math> A_F = (a+e) \cdot (a+f)
:= a(a+f)+e(a+f) =
:= a(a+f)+e(a+f) =
:= a<sup>2</sup>+af+ae+ef
:= (a^2+af)+(ae+ef)
</popup> </div>
:= a^2+af+ae+ef </math>
<br />
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 


<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
===Erklärung===


Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein <u>Produkt in eine Summe</u>.
Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein <u>Produkt in eine Summe</u>.
:(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd
 
:(a-b)(c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd
:<math> (a+b) \cdot (c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd </math>
:(a+b)(c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd
:<math> (a-b) \cdot (c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd </math>
:(a-b)(c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd
:<math> (a+b) \cdot (c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd </math>
<br />
:<math> (a-b) \cdot (c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd </math>
<span style="color: red"><u>Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!</u></span>
 
</div>
<u>Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!</u>
<br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
 
(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x<sup>2</sup>+5x) + (2x+10) = x<sup>2</sup> +5x +2x +10 = x<sup>2</sup>+7x+10
===Beispiel===
<br />
 
<math> (x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x^2+5x) + (2x+10) = x^2 +5x +2x +10 = x^2+7x+10 </math>
 
Berechne selbst:
Berechne selbst:
* (y+7)(3+y)
 
* (a-5)(1+a+2)
*<math>  (y+7)(3+y) </math>
* (m+n+o)(m-n-o)
 
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
* (y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y<sup>2</sup>) - (21+7y) = 3y+y<sup>2</sup> - 21 -7y = y<sup>2</sup> -4y-21
* <math> (y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y^2) + (21+7y) </math>
* (a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a<sup>2</sup>+2a) - (5+5a+10) = a+a<sup>2</sup>+2a-5-5a-10 = a<sup>2</sup>+a+2a-5a-5-10 = a<sup>2</sup>-2a-15
:<math>= 3y+y^2 + 21 +7y = y^2 +10y+21  </math>}}
* (m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o) = (m<sup>2</sup>-mn-mo) + (mn-n<sup>2</sup>-no) + (mo-no-o<sup>2</sup>) = m<sup>2</sup>-mn-mo+mn-n<sup>2</sup>-no+mo-no-o<sup>2</sup> = m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>-2no-o<sup>2</sup>
 
</popup> </div>
*<math>  (a-5)(1+a+2) </math>
<br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
{{Lösung versteckt|1=
* <math> (a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a^2+2a) - (5+5a+10) </math>
:<math> = a+a^2+2a-5-5a-10 = a^2+a+2a-5a-5-10 = a^2-2a-15 </math>}}
 
*<math> (m+n+o)(m-n-o) </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
 
* <math> (m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o) </math>
:<math> = (m^2-mn-mo) + (mn-n^2-no) + (mo-no-o^2)  </math>
:<math> = m^2-mn-mo+mn-n^2-no+mo-no-o^2 = m^2-n^2-2no-o^2 </math>}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe|2=
 
Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.
Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.


21x+14y+7
<math> 21x+14y+7 </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
 
<math> 21x+14y+7 = 7(3x+2y+1)  </math>
 
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
===Erklärung===
 
Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere '''gemeinsame''' Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern.
 
Dieser Rechenschritt verwandelt eine <u>Summe in ein Produkt</u>.
 
:<math> a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d + a \cdot e = a \cdot (b+c+d+e)  </math>
 
 
===Beispiel===
 
<math> 2a-2b = 2(a-b) </math>
 
Berechne selbst:
 
*<math> ax+a  </math>
*<math> 6z^2 + 21z  </math>
*<math> 6ab^3 + 9ab^2 - 15ab  </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
* <math> ax+a = a(x+1)  </math>
* <math> 6z^2+21z = 3z(2z+7)  </math>
* <math> 6ab^3+9ab^2-15ab = 3ab(2b^2+3b-5)  </math>
}}
 
 
==Übungsaufgaben==


<popup name="Lösung">
21x+14y+7 = 7(3x+2y+1)
</popup> </div>
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere '''gemeinsame''' Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern. Dieser Rechenschritt verwandelt eine <u>Summe in ein Produkt</u>.
: a•b + a•c + a•d + a•e = a•(b+c+d+e)
</div>
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
2a-2b = 2(a-b)
<br />Berechne selbst:
* ax+a
* 6z<sup>2</sup>+21z
* 6ab<sup>3</sup>+9ab<sup>2</sup>-15ab
<popup name="Lösung">
* ax+a = a(x+1)
* 6z<sup>2</sup>+21z = 3z(2z+7)
* 6ab<sup>3</sup>+9ab<sup>2</sup>-15ab = 3ab(2b<sup>2</sup>+3b-5)
</popup> </div>
<br />


==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
{{Box|1=Aufgabe 1|2=
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''


Multipliziere aus und fasse zusammen
Multipliziere aus und fasse zusammen


* (m-n)(5n+m)
* <math> (m-n)(5n+m) </math>
* (2a-3b)(2a-3b)
* <math> (2a-3b)(2a-3b) </math>
* (5r+2)(3r+2)
* <math> (5r+2)(3r+2) </math>
<popup name="Lösung">
 
* (m-n)(5n+m) = m(5n+m) - n(5n+m) = (5mn+m<sup>2</sup>) - (5n<sup>2</sup>+nm) = 5mn+m<sup>2</sup>-5n<sup>2</sup>-nm = m<sup>2</sup>+4mn-5n<sup>2</sup>
{{Lösung versteckt|1=
* (2a-3b)(2a-3b) = 2a(2a-3b) - 3b(2a-3b) = (4a<sup>2</sup>-6ab) - (6ab-9b<sup>2</sup>) = 4a<sup>2</sup>-6ab-6ab+9b<sup>2</sup> = 4a<sup>2</sup>-12ab+9b<sup>2</sup>
 
* (5r+2)(3r+2) = 5r(3r+2) + 2(3r+2) = (15r<sup>2</sup>+10r) + (6r+4) = 15r<sup>2</sup>+10r+6r+4 = 15r<sup>2</sup>+16r+4
* <math> (m-n)(5n+m) = m(5n+m) - n(5n+m) = (5mn+m^2) - (5n^2+nm)  </math>
</popup> </div>
 
<br />
<math> = 5mn+m^2-5n^2-nm = m^2+4mn-5n^2  </math>
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''
<br>
{|width="99%"
 
|width="40%" style="vertical-align:top"|
* <math> (2a-3b)(2a-3b) = 2a(2a-3b) - 3b(2a-3b) = (4a^2-6ab) - (6ab-9b^2)  </math>
 
<math> = 4a^2-6ab-6ab+9b^2 = 4a^2-12ab+9b^2  </math>
<br>
 
* <math> (5r+2)(3r+2) = 5r(3r+2) + 2(3r+2) = (15r^2+10r) + (6r+4) </math>
 
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|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 2|2=
 
Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus.
Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus.
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[[Bild:rechenpyramide.jpg]]  
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{{Box|1=Aufgabe 3|2=
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich.
Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich.
{|width="60%"
|width="20%" style="vertical-align:top"|
a) [[Bild:quadrat.jpg]]
|width="5%" style="vertical-align:top"|
|width="10%" style="vertical-align:center"|
b) [[Bild:rechteck.jpg]]
|}<br /><br />
<popup name="Lösung">
a) A = (3x+y)•(3x+y) = 3x(3x+y) + y(3x+y) = (9x<sup>2</sup>+3xy) + (3xy+y<sup>2</sup>) = 9x<sup>2</sup>+3xy+3xy+y<sup>2</sup> = 9x<sup>2</sup>+6xy+y<sup>2</sup>


b) A = (2a+3b)(2a-3b) = 2a(2a-3b) + 3b(2a-3b) = (4a<sup>2</sup>-6ab) + (6ab-9b<sup>2</sup>) = 4a<sup>2</sup>-6ab+6ab-9b<sup>2</sup> = 4a<sup>2</sup>-9b<sup>2</sup>
a) [[Bild:Quadratundrechteck.jpg|center]]
</popup> </div>
 
<br />
b) [[Bild:rechteck_terme.jpg|center]]
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
 
{{Lösung versteckt|1=
 
a) <math>
\begin{array}{lcr}
A & = & (3x+y) \cdot (3x+y) \\
& = & 3x(3x+y) + y(3x+y)\\
& = & (9x^2+3xy) + (3xy+y^2) \\
& = & 9x^2+3xy+3xy+y^2 \\
&= & 9x^2+6xy+y^2
\end{array}
</math>
 
 
b) <math> A = (2a+3b) \cdot (2a-3b) = 2a(2a-3b) + 3b(2a-3b) = (4a^2-6ab) + (6ab-9b^2) </math>
 
<math> = 4a^2-6ab+6ab-9b^2 = 4a^2-9b^2 </math>
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
Finde die Lösungen und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld.
 
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{{{!}} class="wikitable center"
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! <math> (x+2) \cdot (x+3) </math> !! <math> (x-3) \cdot (x-1)  </math!! <math> (x-5) \cdot (x+2) </math> !! <math> (x+4) \cdot (x-2) </math!! <math> (x-1) \cdot(x+1) </math!! <math> (x+2) \cdot (x+2) </math>  
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|3=Arbeitsmethode}}
 
Super! Den Hauptteil des Lernpfades hast du geschafft!!
 
{{Fortsetzung|weiter=Weiteren Aufgaben zum Üben!|weiterlink=../weitere Aufgaben}}
[[Kategorie:Variable]]
[[Kategorie:Terme]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:05 Uhr


Distributivgesetz der Multiplikation

Aufgabe

Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zur Seitenlänge s erweitert (siehe Skizze). Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?

Erweitertes quadrat einstieg5.jpg

Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s.
Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so:


Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst.

Erklärung

Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).

(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)


Beispiel

Multipliziere nun folgende Terme aus:






Distributivgesetz der Division

Aufgabe

Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:


  • Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3."
  • Sara: "Wir teilen erst die Waldbeerbonbons durch 3, dann die Kirschbonbons und zählen dann zusammen, wie viele Bonbons jede von uns bekommt."
  • Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"

Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften als Termen und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.

Bonbons einstieg dg-division-neu.jpg


  • Anna:
  • Sara:

Also haben alle drei Freundinnen recht.

Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren.


Erklärung

Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).

bzw.:

bzw.:

(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)



Beispiel

Dividiere selbst:


Ausmultiplizieren und Ausklammern

Aufgabe

Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde. Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)

Erweitertes quadrat ausklammern.jpg

Wie oben:

für einsetzen:

Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Summe mit einem Faktor multiplizieren (bzw. dividieren). Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt ausmultipliziert werden kann.


Erklärung

Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein Produkt in eine Summe.

Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!


Beispiel

Berechne selbst:


Aufgabe

Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.


Erklärung

Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere gemeinsame Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern.

Dieser Rechenschritt verwandelt eine Summe in ein Produkt.


Beispiel

Berechne selbst:


Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Multipliziere aus und fasse zusammen




Aufgabe 2

Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus. Rechenpyramide.jpg

Rechenpyramide lösung 2.jpg


Aufgabe 3

Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich.

a)
Quadratundrechteck.jpg
b)
Rechteck terme.jpg

a)


b)


Aufgabe 4

Finde die Lösungen und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld.

x2 +5x+6 x2 -4x+3 x2-3x-10 x2+2x-8 x2 -1 x2+4x+4

Super! Den Hauptteil des Lernpfades hast du geschafft!!