Vorlage:Autorenbox und Lernpfad 8a - Volumina und Flächen/Kreisumfang: Unterschied zwischen den Seiten

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Diese Vorlage erzeugt eine Information über den Erstautor und das Datum der letzten Bearbeitung der Seite, auf der die Vorlage eingebunden wird.
{{Box|Info|Auf dieser Seite erkundest du den Umfang eines Kreises, erfährst was der Kreis mit der Zahl π zu tun hat und lernst, wie man diesen berechnet.|Kurzinfo
}}
 
==Erste Erkundungen==
<span style="color: #6A93B0"> Jannis </span> und <span style="color: orange"> Paula </span> überlegen, wie sie den Umfang eines Kreises berechnen können.
 
[[Datei:Kreisumfang_Annaeherung.png|500x500px]]{{Box|Aufgabe 1|Beschreibe Jannis und Paulas Ideen in eigenen Worten. Zeichne einen Kreis mit einem Radius von 5cm in dein Heft unter der Überschrift <i>"1 Umfang und Flächeninhalt eines Kreises - 1.1 Umfang eines Kreises"</i>. Berechne den Kreisumfang näherungsweise mit <u>beiden</u> Vorgehensweisen. Benenne Vor- und Nachteile von Jannis' und Paulas Methode.|Übung
}}Welche erste Abschätzung für den Kreisumfang lässt sich aus den beiden Vorgehensweisen erkennen? Kreuze alle richtigen Antwortmöglichkeiten an.<div class="multiplechoice-quiz">
Der Umfang ist größer als (1x Durchmesser) (2x der Durchmesser) (3x der Durchmesser) (!4x der Durchmesser)
 
Der Umfang ist kleiner als (!1x der Durchmesser) (!2x der Durchmesser)  (!3x der Durchmesser) (4x der Durchmesser)
</div>
 
==Forscherauftrag==
[[Datei:Kreise_Gegenstand.jpg|400x400px|Kreisförmige Gegenstände im Alltag]]


Kreise begegnen uns vielfach im Alltag. Suche dir <u>mindestens fünf</u> kreisrunde Gegenstände. Bestimme den Durchmesser und den Umfang dieser Gegenstände, indem du geeignete Messinstrumente verwendest (z.B. Lineal, Faden, Maßband).


== Parameter ==
Halte deine Ergebnisse in einer Tabelle in deinem Heft unter der Überschrift fest.
{| class="wikitable"
!<span style="color: #6A93B0"> Gegenstand </span>
!<span style="color: #35682D"> Durchmesser d (in cm)</span>
!<span style="color: #A18594"> Umfang U (in cm)</span>
|-
|...
|...
|...
|}
{{Box|Erkundung|Betrachte die Messergebnisse in der Tabelle. Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?
Untersuche, welcher Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U des Kreises besteht. Notiere deine Vermutungen.|Unterrichtsidee
}}{{Lösung versteckt|Pia hat folgende Messergebnisse. Sie schaut sich das Verhältnis von Umfang und Durchmesser <math>\frac{U}{d}</math> an und ergänzt ihre Tabelle.
[[Datei:Beispiellösung Erkundung1.png|300px]]
Welches Muster lässt sich hier erkennen? Überprüfe deine Vermutung an deinen eigenen Messwerten.|Tipps anzeigen|Tipps verbergen}}Überprüfe deine Vermutung mithilfe des Applets. Du kannst die Genauigkeit deiner Messungen kontrollieren und weitere Daten sammeln. Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [https://www.geogebra.org/m/vy4TJ2rU].<ggb_applet id="vy4TJ2rU" width="750" height="500" />


; <code>mit_unterseiten</code>
==Der Kreisumfang==
: zusätzlich werden Autoren und Änderungen aller Unterseiten berücksichtigt.
{{Box|Merke|Der Umfang U eines Kreises ist ungefähr dreimal so groß wie sein Durchmesser d. Genauer beschreibt die Kreiszahl <math>\pi\approx 3,14</math> das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser: Für einen Kreis mit dem Radius <math>r</math> und dem Durchmesser <math>d=2r </math> gilt
:; 0 : nein
<blockquote><math>U= d \cdot \pi = 2 \cdot r \cdot \pi  </math>.</blockquote>
:; 1 : ja
Ergänze deinen Hefteintrag um eine Skizze und ein Beispiel.|Merksatz
}}


; <code>kategorie</code>
<span class="brainy hdg-star fa-3x"></span> Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang U und Durchmesser d ist immer gleich.
: zusätzlich werden Autoren und Änderungen aller Seiten der Kategorie berücksichtigt. Weitere Informationen befinden sich in der [http://followthescore.org/dpldemo/index.php?title=DPL:Manual_-_DPL_parameters:_Criteria_for_page_selection#category DPL Dokumentation für <code>category</code>].


== Beispiele ==
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt.  = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie. π ist also kein Element der rationalen Zahlen.


;Benutzung
Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden, schaus' dir an:
: <pre>{{Autorenbox}}</pre>
{{#ev:youtube|KIZOpIcBEnI|800|center}}
;Ergebnis
: {{Autorenbox}}


;Benutzung
: <pre>{{Autorenbox|kategorie=Ethik}}</pre>
;Ergebnis
: <small>Es wird nur der aktuelle Namensraum berücksichtigt, deshalb ist das Beispiel sehr leer.</small>
: {{Autorenbox|kategorie=Ethik}}


;Benutzung
Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:
: <pre>{{Autorenbox|mit_unterseiten=ja}}</pre>
;Ergebnis
: <small>Die Vorlage hat keine Unterseiten, deshalb ist das Beispiel sehr leer.</small>
: {{Autorenbox|mit_unterseiten=ja}}


*eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
*Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
*mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
*Mittlerweile (2021) von Schweizer Forschern auf ca. 62,8 Billionen Dezimalstellen berechnet
*beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:


<includeonly>
π =  = 3,14159...
<!-- BEGIN: Wir suchen den ersten Autor der Seite -->
<onlyinclude>{{#vardefine:Autorenbox_Autor|}}</onlyinclude>
<!-- wir suchen nach allen Versionen vor der aktuellen Zeit. Wir wollen nur ein Ergebnis und benutzen ein Userformat um die Variable Autorenbox_Autor zu setzen.  -->
<onlyinclude>{{#dpl:
  | noresultsheader=&nbsp;
  | title={{PAGENAME}}
  | allrevisionsbefore={{CURRENTTIMESTAMP}}
  | namespace={{NAMESPACE}}
  | skipthispage=no
  | format=,²{#vardefine:Autorenbox_Autor¦²{RepariereNutzername¦%USER%}²}²,
  | addauthor=true
  | count=1
}}</onlyinclude>
<!-- END: Wir suchen den ersten Autor der Seite -->
<onlyinclude>{{#if: {{{kategorie|}}}
|
<!-- BEGIN: Liste aller Autoren in der Kategorie -->
{{#vardefine:Autorenbox_lastmodified|}}
{{#vardefine:Autorenbox_lastmodified_tmp|0}}
{{#dpl:
| noresultsheader=&nbsp;
| category={{{kategorie}}}
| namespace={{NAMESPACE}}
| skipthispage=no
| userdateformat=U
| ordermethod=lastedit
| addeditdate=true
| minoredits=exclude
| format=,²{#ifexpr: ²{#var:Autorenbox_lastmodified_tmp}² < %DATE% ¦²{#vardefine:Autorenbox_lastmodified_tmp¦%DATE%}²}²,
| distinct=true}}
{{#vardefine:Autorenbox_lastmodified|{{#ifeq:{{#var:Autorenbox_lastmodified_tmp|}}|0||{{#var:Autorenbox_lastmodified_tmp|}}}}}}
<div class="uk-panel uk-panel-box uk-panel-box-primary zum-hintergrund-links zum-farbe-xx-heller">
'''Autoren:'''
<small class="uk-align-right">aktualisiert im {{#time: F Y | {{#if:{{#var:Autorenbox_lastmodified|}}|@{{#var:Autorenbox_lastmodified|}}|{{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY}}}}}}</small>
<div class="uk-flex uk-flex-wrap uk-width-1-1">
{{Nutzerkarte|{{#var:Autorenbox_Autor}}}}
<!--


Die Variable `Autorenbox_Nutzerliste` wird verwendet um Duplikate zu vermeiden.
*Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.
Der DPL Aufruf liefert jeden Autor jeder Revision, das sind natürlich viele Duplikate.
Im DPL format prüfen wir erst ob der aktuell gefundene %USER% bereits in der Variable vorkommt.
Wenn ja, geben wir nix aus. Wenn nein fügen wir ihn hinzu und geben die Nutzerkarte aus.


In der Liste werden die Namen mit `>>` `<<` umrahmt um nicht zufälligerweise Benutzer welche aus Namen anderer Benutzer zusammengesetzt sind auszuschließen. Z.B. ein Nutzer heißt Franz, einer heißt Bergmann und ein dritter heißt FranzBergmann. Würden wir nur einfach den Namen Suchen könnte ein bereits gefundener FranzBergmann die Anzeige sowohl von Benutzer Franz als auch von Benutzer Bergmann verhindern (da beide Namen ja bereits vorkommen als Bestandteile von FranzBergmann. Die Umrahmung mit `>>` und `<<` verhindert dies.
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:
[[Datei:Taschenrechner pi.png|mini|alternativtext=|ohne|281x281px]]


Der DPL Aufruf kommt bei importierten Seiten zu falschen Nutzernamen (NAMENSRAUM>Benutzername). Deshalb muss immer %USER% durch {{RepariererNutzername}} repariert werden.


-->
{{Box|Aufgabe 2|Berechne den Kreisumfang. Runde auf zwei Nachkommastellen.
{{#vardefine:Autorenbox_Nutzerliste|>>{{RepariereNutzername | {{#var:Autorenbox_Autor}}}}<<}}{{#dpl:
# Der Radius des Kreises beträgt <math>r=3</math>cm.
| noresultsheader=&nbsp;
# Der Radius des Kreises beträgt <math>r=5</math>mm.
| category={{{kategorie}}}
# Der Radius des Kreises beträgt <math>d=12</math>cm.
| allrevisionsbefore={{CURRENTTIMESTAMP}}
# Der Radius des Kreises beträgt <math>d=8</math>m.|Übung
| namespace={{NAMESPACE}}
}}{{Lösung versteckt|Lösungen:
| skipthispage=no
# <math>U=2\cdot 3cm \cdot \pi \approx 18,85cm</math>
| ordermethod=lastedit
# <math>U=2\cdot 5mm \cdot \pi \approx 31,42mm</math>
| minoredits=exclude
# <math>U=12cm \cdot \pi \approx 37,7cm</math>
| format=,²{#if: ²{#pos: ²{#var:Autorenbox_Nutzerliste¦}²¦>>²{RepariereNutzername¦%USER%}²<<}²¦¦²{#vardefine:Autorenbox_Nutzerliste¦²{#var:Autorenbox_Nutzerliste¦}²>>²{RepariereNutzername¦%USER%}²<<}²²{Nutzerkarte¦²{RepariereNutzername¦%USER%}²}²}²,
# <math>U=8m \cdot \pi \approx 25,13cm</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Box|Aufgabe 3|Bestimme die Länge der Strecke, die ein Fahrrad mit einem 26-Zoll-Reifen bei einer Radumdrehung zurück legt.
| adduser=true
''Hinweis'': 1 Zoll entspricht 2,54cm|Übung
| distinct=true
}}{{Lösung versteckt|Der Raddurchmesser beträgt 26 Zoll und damit 66,04 cm. Es gilt
}}
<math> U= 66,04 cm \cdot \pi \approx 207,47 cm </math>.
<!-- END: Liste aller Autoren in der Kategorie -->
Mit einer Umdrehung legt das Fahrrad 207,47 cm zurück.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|weiter=Die Kreisfläche erkunden|weiterlink=Lernpfad 8a - Volumina und Flächen/Kreisfläche}}
|
<!-- BEGIN: Liste aller Autoren auf der Seite (evtl. inklusive Unterseiten) -->
{{#vardefine:Autorenbox_lastmodified|}}
{{#vardefine:Autorenbox_lastmodified_tmp|0}}
{{#dpl:  
| noresultsheader=&nbsp;
| titlematch={{PAGENAME}}{{#ifeq:{{{mit_unterseiten|}}}|1|{{!}}{{PAGENAME}}/%}}
| namespace={{NAMESPACE}}
| skipthispage=no
| userdateformat=U
| ordermethod=lastedit
| addeditdate=true
| minoredits=exclude
| format=,²{#ifexpr: ²{#var:Autorenbox_lastmodified_tmp}² < %DATE% ¦²{#vardefine:Autorenbox_lastmodified_tmp¦%DATE%}²}²,
| distinct=true}}
{{#vardefine:Autorenbox_lastmodified|{{#ifeq:{{#var:Autorenbox_lastmodified_tmp|}}|0||{{#var:Autorenbox_lastmodified_tmp|}}}}}}
<div class="uk-panel uk-panel-box uk-panel-box-primary zum-hintergrund-links zum-farbe-xx-heller">
'''Autoren:'''
<small class="uk-align-right">aktualisert im {{#time: F Y | {{#if:{{#var:Autorenbox_lastmodified|}}|@{{#var:Autorenbox_lastmodified|}}|{{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY}}}}}}</small>
<div class="uk-flex uk-flex-wrap uk-width-1-1">
{{Nutzerkarte|{{#var:Autorenbox_Autor}}}}
{{#vardefine:Autorenbox_Nutzerliste|>>{{RepariereNutzername|{{#var:Autorenbox_Autor}}}}<<}}{{#dpl:
| noresultsheader=&nbsp;
| titlematch={{PAGENAME}}{{#ifeq:{{{mit_unterseiten|}}}|1|{{!}}{{PAGENAME}}/%}}
| allrevisionsbefore={{CURRENTTIMESTAMP}}
| namespace={{NAMESPACE}}
| skipthispage=no
| ordermethod=lastedit
| minoredits=exclude
| format=,²{#if: ²{#pos: ²{#var:Autorenbox_Nutzerliste¦}²¦>>²{RepariereNutzername¦%USER%}²<<}²¦¦²{#vardefine:Autorenbox_Nutzerliste¦²{#var:Autorenbox_Nutzerliste¦}²>>²{RepariereNutzername¦%USER%}²<<}²²{Nutzerkarte¦²{RepariereNutzername¦%USER%}²}²}²,
| adduser=true
| distinct=true
}}
<!-- END: Liste aller Autoren auf der Seite (evtl. inklusive Unterseiten) -->
}}
</div>
</div></onlyinclude>
</includeonly>
<noinclude>
<templatedata>
{
"params": {
"kategorie": {
"label": "Kategorie",
"type": "string",
"description": "Autoren und Änderungen aller Seiten der Kategorie werden berücksichtigt. Wenn Kategorie gesetzt ist wird der Parmaeter mit_unterseiten ignoriert."
},
"mit_unterseiten": {
"label": "Mit Unterseiten",
"description": "Autoren und Änderungen der aktuellen Seite sowie aller Unterseiten werden berücksichtigt.",
"type": "boolean"
}
},
"format": "inline",
"description": "Diese Vorlage erzeugt eine Information über den Erstautor und das Datum der letzten Bearbeitung der Seite, auf der die Vorlage eingebunden wird."
}
</templatedata>
</noinclude>

Version vom 18. Juni 2022, 09:41 Uhr

Info
Auf dieser Seite erkundest du den Umfang eines Kreises, erfährst was der Kreis mit der Zahl π zu tun hat und lernst, wie man diesen berechnet.

Erste Erkundungen

Jannis und Paula überlegen, wie sie den Umfang eines Kreises berechnen können.

Kreisumfang Annaeherung.png

Aufgabe 1
Beschreibe Jannis und Paulas Ideen in eigenen Worten. Zeichne einen Kreis mit einem Radius von 5cm in dein Heft unter der Überschrift "1 Umfang und Flächeninhalt eines Kreises - 1.1 Umfang eines Kreises". Berechne den Kreisumfang näherungsweise mit beiden Vorgehensweisen. Benenne Vor- und Nachteile von Jannis' und Paulas Methode.

Welche erste Abschätzung für den Kreisumfang lässt sich aus den beiden Vorgehensweisen erkennen? Kreuze alle richtigen Antwortmöglichkeiten an.

Der Umfang ist größer als (1x Durchmesser) (2x der Durchmesser) (3x der Durchmesser) (!4x der Durchmesser)

Der Umfang ist kleiner als (!1x der Durchmesser) (!2x der Durchmesser) (!3x der Durchmesser) (4x der Durchmesser)

Forscherauftrag

Kreisförmige Gegenstände im Alltag

Kreise begegnen uns vielfach im Alltag. Suche dir mindestens fünf kreisrunde Gegenstände. Bestimme den Durchmesser und den Umfang dieser Gegenstände, indem du geeignete Messinstrumente verwendest (z.B. Lineal, Faden, Maßband).

Halte deine Ergebnisse in einer Tabelle in deinem Heft unter der Überschrift fest.

Gegenstand Durchmesser d (in cm) Umfang U (in cm)
... ... ...
Erkundung

Betrachte die Messergebnisse in der Tabelle. Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?

Untersuche, welcher Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U des Kreises besteht. Notiere deine Vermutungen.

Pia hat folgende Messergebnisse. Sie schaut sich das Verhältnis von Umfang und Durchmesser an und ergänzt ihre Tabelle. Beispiellösung Erkundung1.png

Welches Muster lässt sich hier erkennen? Überprüfe deine Vermutung an deinen eigenen Messwerten.

Überprüfe deine Vermutung mithilfe des Applets. Du kannst die Genauigkeit deiner Messungen kontrollieren und weitere Daten sammeln. Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [1].

GeoGebra

Der Kreisumfang

Merke

Der Umfang U eines Kreises ist ungefähr dreimal so groß wie sein Durchmesser d. Genauer beschreibt die Kreiszahl das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser: Für einen Kreis mit dem Radius und dem Durchmesser gilt

.

Ergänze deinen Hefteintrag um eine Skizze und ein Beispiel.

Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang U und Durchmesser d ist immer gleich.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt.  = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie. π ist also kein Element der rationalen Zahlen.

Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden, schaus' dir an:

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Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:

  • eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
  • Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
  • mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
  • Mittlerweile (2021) von Schweizer Forschern auf ca. 62,8 Billionen Dezimalstellen berechnet
  • beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:

π =  = 3,14159...

  • Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.

Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:


Aufgabe 2

Berechne den Kreisumfang. Runde auf zwei Nachkommastellen.

  1. Der Radius des Kreises beträgt cm.
  2. Der Radius des Kreises beträgt mm.
  3. Der Radius des Kreises beträgt cm.
  4. Der Radius des Kreises beträgt m.

Lösungen:

Aufgabe 3

Bestimme die Länge der Strecke, die ein Fahrrad mit einem 26-Zoll-Reifen bei einer Radumdrehung zurück legt.

Hinweis: 1 Zoll entspricht 2,54cm

Der Raddurchmesser beträgt 26 Zoll und damit 66,04 cm. Es gilt .

Mit einer Umdrehung legt das Fahrrad 207,47 cm zurück.
Die Kreisfläche erkunden
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