Kategorie:Robot Karol und Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate: Unterschied zwischen den Seiten

In diesem Abschnitt werden Sie sich die Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung benötigen Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.

Bild von Tacho einfügen

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinern Sie dieses.
a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
zur Tabelle

b) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?

Die Gerade, die den Graphen von ${\displaystyle f}$ am Punkt ${\displaystyle P(x_0|f(x_0))}$ berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von ${\displaystyle f}$ in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von ${\displaystyle f}$ am Punkt ${\displaystyle P}$.

a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die Steigung der Tangente sein. Hilfe einbauen!