Lineare Gleichungssysteme

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Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Eine Gleichung, die nur aus einer Unbekannten (Variablen) besteht, kann man nach dieser auflösen. Die Lösungsmenge dieser Gleichung gibt alle Lösungen an, die man für die Variable einsetzen kann, sodass die Gleichung eine "wahre Aussage" hat. Es gibt aber auch Situationen, da sind mehrere von einander unabhängige Gleichung mit mehreren Variablen gegeben.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems (kurz: LGS) mit n Variablen besteht aus n Zahlen.
Diese werden als Zahlenpaare bzw. n-Tupel angegeben.
Eine Lösung muss dabei alle Gleichungen des LGS erfüllen.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Ein Vater und seine Söhne sind zusammen 100 Jahre alt. Der Vater ist doppelt so alt wie sein ältester Sohn und 30 Jahre älter als sein jüngster Sohn.
Unbekannt sind das Alter von dem Vater und seinen beiden Söhnen.

Da man das gesamte Alter von den dreien, sowie den Altersunterschied von dem Vater zu jeweils beiden Söhnen kennt, kann man drei Gleichungen aufstellen, die die Situation beschreiben.
Das Alter des Vaters wird hierbei durch die Variable a, das Alter des ältesten Sohnes durch die Variable b und das Alter des jüngsten Sohnes durch die Variable c beschrieben:

Väter und Söhne LGS.png

Keine der Gleichungen kann man nach einer Variablen auflösen um auf eine Lösung zu kommen, da immer eine zweite Variable enthalten ist.
Der Trick zum Lösen dieses Gleichungssystems ist, aus allen Gleichungen die Informationen zu kombinieren, sodass man zum Schluss nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten hat. Hierzu Verwendet man unterschiedliche Lösungsverfahren:

  • Einsetzungsverfahren
  • Gleichsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

Information icon.svg Lösung

Vater und Söhne.png

Der Vater ist folglich 52 Jahre alt, sein ältester Sohn 26 Jahre und sein jüngster Sohn 22 Jahre.


Nuvola Stift.png   Aufgabe

Bestimme alle dreistelligen Zahlen mit den Eigenschaften:

  • Die erste Ziffer ist um 5 kleiner als die zweite Ziffer.
  • Die Quersumme der Zahl beträgt 10.

Information icon.svg Lösung

Aufstellen des LGS:

Aufg.1.png

Suchen der Lösung:

Wählt man für x_3 ein Zahl, so kann man x_1 und x_2 direkt berechnen. x_3 ist hierbei eine Zahl zwischen 0 und 9.

  • Ist x_1=0, so folgt daraus x_2=5 und x_3=5. Die gesuchte Zahl lautet: 55.
  • Ist x_1=1, so folgt daraus x_2=6 und x_3=3. Die gesuchte Zahl lautet: 163.
  • Ist x_1=2, so folgt daraus x_2=7 und x_3=1. Die gesuchte Zahl lautet: 271.




Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren ist ein Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ziel des Verfahrens ist das LGS in eine Stufenform umzuformen.
Ein LGS ist in Stufenform, wenn bei jeder Gleichung mindestens eine ihrer Variablen in der folgenden Gleichung nicht mehr enthalten ist.

Maehnrot.jpg
Merke:

Beim Gauß-Verfahren löst man ein LGS mit n Variablen, indem man es zunächst in eine Stufenform bringt und dann schrittweise nach den Variablen auflöst.
Als Äquivalenzumformungen sind folgende Schritte erlaubt:

  1. Vertauschen von Gleichungen
  2. Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten c ≠ 0
  3. Ersetzen einer Gleichung durch die Summe (Differenz) eines Vielfachen von ihr und dem Vielfachen einer anderen Gleichung
LGS Umformungen.png


Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Löse das LGS mittels Gauß-Verfahren.
Bsp.2 Gauß.png


Nuvola Stift.png   Aufgabe

Löse das LGS mit dem Gauß-Verfahren.

Aufgaben Gauß.png

Information icon.svg Lösung

a)
LGS 9.png

b)
LGS 8.png

c)
LGS 7.png



Matrix-Schreibweise

Statt Gleichungen können lineare Gleichungssysteme auch mittels Matrizen gelöst werden. Die Matrix-Schreibweise ist hierbei eine Kurzform.
Man notiert in jeder Zeile nur die Koeffizienten, sowie die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen.

Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Löse das LGS in der Matrix-Schreibweise.
Gauß-Matrix.png


Nuvola Stift.png   Aufgabe

Löse das LGS in der Matrix-Schreibweise.

Aufgabe LGS Matrix.png

Information icon.svg Lösung

a)
LGS 6.png

b)
LGS 5.png

c)
LGS 4.png



Lösbarkeitsuntersuchungen

Die Untersuchung der Lösungen eines LGS ist für die spätere Deutung von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum von besonderer Bedeutung. Im Folgenden könnt Ihr für die unterschiedlichen Fälle das Erstellen der Lösungsmenge wiederholen.

Maehnrot.jpg
Merke:

Ein lineares Gleichungssystem kann

  • keine Lösung,
  • genau eine Lösung oder
  • unendlich viele Lösungen

haben.



Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Anzahl Lösungen.png

Detaillierte Lösungen zu Fall 1:

Information icon.svg Lösung

LGS 3.png

Detaillierte Lösungen zu Fall 2:

Information icon.svg Lösung

LGS 2.1.png

Detaillierte Lösungen zu Fall 3:

Information icon.svg Lösung

LGS 1.1.png