Aufgaben zum Hypothesentest

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Zur Berechnung der Sigma-Umgebungen binomialverteilter Zufallsgrößen kann näherungsweise die Tabelle der normalverteilten Zufallsgrößen verwendet werden, falls die Laplace- Bedingung Sigma > 3 erfüllt ist. Falls einer Aufgabe die Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten beigefügt ist, ist diese für die Rechnung zu verwenden.

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Stift.gif   Aufgabe 1

Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10%. Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat. Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung mindestens gleich geblieben ist. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden.

Man ist sich auch der Zufälligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95% des Befragungsergebnisses zufrieden.

Bestimmen Sie den Annahne- und Ablehnungsbereich, den tatsächlichen Fehler 1. Art. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Punkte.

Lösung

Aufgabe 2

Stift.gif   Aufgabe 2

In einer Kleinstadt gibt es 2 Grundschulen. Der Schulleiter der Bismarckschule bestreitet, das im kommenden Schuljahr wieder nur 37% aller Einschulungen an seine Schule kommen. Man habe die Schule schließlich durch viele Zusatzangebote attraktiver gemacht.

Eine Meinungsumfrage mit 200 Eltern soll zeigen, dass die Beliebtheit der Schule gestiegen ist.

Bestimmen Sie den Annahne- und Ablehnungsbereich, den tatsächlichen Fehler 1. Art. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Stellen. Das Signifikanzniveau sei höchstens 5%.

Lösung

Aufgabe 3

Stift.gif   Aufgabe 3

Im vergangenen Jahr wechselten 75% aller Grundschüler eines Schulbezirkes nach der 4. Klasse zur Realschule. Das Schulamt vermutet, dass der Anteil der Schüler, die zur Realschule wechseln auch in diesem Jahr unverändert bleibt.

Diese Annahme soll durch eine Befragung von 120 Eltern überprüft werden.

a) Wie lautet die Entscheidungsregel für \alpha \le 5%? Berechnen und beschreiben Sie den Fehler 1. Art. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Stellen.
b) Beschreiben und berechnen Sie den Fehler 2. Art, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,7 zugrunde liegt. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Stellen.

Lösung

Aufgabe 4

Stift.gif   Aufgabe 4

Der Hersteller eines Glücksspielautomaten behauptet, das die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Gewinnkombination p = 0,3 beträgt. In 170 Spielrunden soll diese Angabe überprüft werden.

a) Geben Sie eine Entscheidungsregel für das Signifikanzniveau \alpha \le 10% an und berechnen Sie den Fehler 1. Art. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und markieren Sie die markanten Werte. Der Annahmebereich soll symmetrisch zum Erwartungswert liegen.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, falls die tatsächlicheWahrscheinlichkeit dieser Gewinnkombination nur p = 0,2 beträgt. Skizzieren Sie grob die Verteilungsfunktion und markieren Sie die markanten Werte

Lösung

Aufgabe 5

Stift.gif   Aufgabe 5

Die Firma „Schlemmerland“ behauptet, dass ihre Konkurrenzfirma „Billigfood“ die Gewichtsangabe, die auf deren Kaviarverpackungen steht unterschreitet und damit die Kunden betrügt. „Billigfood“ behauptet: „Maximal 5% der Verpackungen haben Untergewicht“. „Schlemmerland“ untersucht 300 Packungen, davon haben 24 Untergewicht. Liegt ein Betrugsversuch von „Billigfood“ vor? Bei der Untersuchung will man aber sehr sensibel vorgehen und geht davon aus, dass die Behauptung der Konkurrenzfirma vielleicht doch richtig ist.

Lösung

Aufgabe 6

Stift.gif   Aufgabe 6

Bei der letzten Notenkonferenz einer gymnasialen Oberstufe hatten 15% der Schüler in einigen Fächern Defizite. Im laufenden Schuljahr werden Stützkurse für die kritischen Fächer angeboten. Bei der nächsten Notenkonferenz haben 22 von 140 Schülern Defizite.

a) Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% annehmen, dass das Engagement der Lehrkräfte Erfolg hatte?
b) Die Nullhypothese wird aufgrund des Tests abgelehnt. Wie groß ist der Fehler 1. Art?

Lösung

Siehe auch