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Aufgaben zum exponentiellen Wachstum

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Inhaltsverzeichnis

Lungenkrebs

Aufgabenstellung

Jahre Wahrscheinlichkeit
0 38
2 32
5 20
8 12
12 8
nach Stamatiadis-Smidt,
Thema Krebs,
Springer Verlag 1993
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Raucher an Lungenkrebs stirbt, der über Jahre hinweg 20 Zigaretten oder mehr pro Tag geraucht hat, nimmt nach dem Aufhören des Rauchens mit der Zeit kontinuierlich ab. So gilt in der Literatur diese Tabelle als relativ gesichert. Dabei gibt die angegebene Wahrscheinlichkeit an, um wie viel höher das Risiko an Lungenkrebs zu sterben größer ist als die eines Nichtrauchers.
a) Zeigen Sie, dass das Risiko an Lungenkrebs zu erkranken, exponentiell abnimmt, d.h. es kann durch eine Funktion f mit f(t)=c \cdot e^{-kt} beschrieben werden. Bestimmen Sie aus den Werten für 2 und 8 Jahre die Konstanten c und k.
b) Nach welcher Zeit liegt das Risiko bei 5 %?
c) In welchem Zeitraum sinkt das Risiko auf die Hälfte, wenn man schon zehn Jahre nicht mehr geraucht hat? Vergleichen Sie diesen Zeitabschnitt mit dem ab dem 5. Jahr.

Lösung

Maehnrot.jpg
Merke:

a)

Gegeben:
I: f(2)=c \cdot e^{-2k}=32
II:f(8)=c \cdot e^{-8k}=12
Gesucht:
c \ und e \
Lösung:
Durch Division beider Gleichungen erhält man: e^{6k}=\frac{8}{3} \
Logarithmieren: k = 	 \frac{1}{6} \cdot \ln{	 \left( \frac{8}{3} \right)} \approx 0,1635 \
k \ wird nun in I oder II eingesetzt. Als Ergebnis erhält man c=32\cdot\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\approx44,3751 \
\Rightarrow  f(t)=44,3751 \cdot e^{-0,1635t} \leftrightarrow f(t)=32\cdot\sqrt[3]{\frac{8}{3}} \cdot e^{- 	 \frac{1}{6} \cdot \ln{	 \left( \frac{8}{3} \right)} t}
Die Funktion lautet f(t)=44,3751 \cdot e^{-0,1635t} \     Geogebra.svg GeoGebra-Datei


b)

Gegeben:
f(t)=44,3751 \cdot e^{-0,1635t}
Gesucht:
t \ für f(t)=5 \
Lösung:
Die Gleichung lautet also: 44,3751 \cdot e^{-0,1635t}=5 \
e^{-0,1635t}=\frac{5}{44,3751}\approx0,1127 \
Logarithmieren: -0,1635t=\ln 0,1127 \
\Rightarrow  t\approx13,35 \leftrightarrow t=\frac{\ln {\frac{5}{32\cdot\sqrt[3]{\frac{8}{3}}}}}{-\frac{1}{6} \cdot \ln{	 \left( \frac{8}{3} \right)} }
Nach ca. 13 1/2 Jahren liegt das Risiko bei 5 %.


c)

Gegeben:
f(t)=44,3751 \cdot e^{-0,1635t}
Gesucht:
1. f(10) \               2. t \ für das gilt: f(t)=\frac{f(10)}{2}
Lösung:
1. Die Gleichung lautet also: f(10)=44,3751 \cdot e^{-0,1635\cdot10}
\Rightarrow\ f(10)\approx8,651\leftrightarrowf(10)=32\cdot\sqrt[3]{\frac{8}{3}} \cdot e^{- 	 \frac{1}{6} \cdot \ln{	 \left( \frac{8}{3} \right)} 10}


2. t \ für das gilt: f(t)=44,3751 \cdot e^{-0,1635t}=\frac{8,651}{2}
analog zu b)
\Rightarrow\ t\approx14,24 \leftrightarrow t=\frac{\ln {\frac{1}{2\cdot\left ( \frac{8}{3} \right )^{5 \over 3}}}}{-\frac{1}{6} \cdot \ln{	 \left( \frac{8}{3} \right)} } \
Wenn schon 10 Jahre nicht mehr geraucht wurde, halbiert sich das Risiko an Lungenkrebs zu sterben nach weiteren 4 1/4 Jahren.
Dies kann man auch mit anderen Werten machen. Man kommt fast immer auf die Halbwertszeit von 4 1/4 Jahren. Der Beweis folgt noch, aber hier kann man sich das graphisch anschauen:

Exponentielles Wachstum beim Nautilus und anderen Kopffüßern - die logarithmische Spirale

Siehe auch