LernPfad besondere Punkte im Dreieck

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LernPfad zu "besondere Punkte im Dreieck"

Zeitbedarf: ca. 45 Minuten
  • Material: Karton, Schere, Heft, Bleistift, Lineal, Zirkel
  • Vorkenntnisse: Allgemeines zu Dreiecken, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Kreise, Satz des Thales

besondere Punkte im Dreieck

1. Aufgabe (ca.15Min.):

a) Schneide aus einem Karton ein Dreieck aus und versuche es möglichst stabil auf eine Kappe von einem Stift (oder die flache Seite von einem Bleistift o.Ä.) zulegen. Markiere den Punkt auf deinem Dreieck, auf dem das Dreieck am stabilsten auf dem Stift liegt ohne es festhalten zu müssen.

b) Zeichne nun die Seitenhalbierenden in dein Dreieck ein. Fällt dir was auf?

c) Messe jeweils die Längen der Seitenhalbierenden und deren Teilstrecken (Eckpunkt-Schnittpunkt und Schnittpunkt-Seitenmittelpunkt) und trage sie in eine Tabelle in dein Heft ein. Erkennst du eine Regel?


Das Verhältnis der Strecken Eckpunkt-Schnittpunkt und Schnittpunkt-Seitenmittelpunkt ist V_{Seitenhalbierende} = 2 : 1 .  


2. Aufgabe (ca.10Min.):

a) Zeichne die Winkelhalbierende in ein beliebiges Dreieck in deinem Heft ein. Fällt dir was auf?

b) Kannst du nun geschickt einen Kreis in dein Dreieck einzeichnen, der alle drei Seiten berührt, d.h. das Dreieck nicht verlässt aber einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam hat. Wo ist der Mittelpunkt dieses Kreises?

Für den Radius r dieses Kreises gilt: r=\frac{2A}{a+b+c} , wobei a,b,c, die Seitenlängen und A den Flächeninhalt des Dreiecks angibt.

c) Überprüfe die Formel an deiner Zeichnung.


3. Aufgabe (ca.10Min.):

a) Es gibt auch einen Kreis, der durch alle drei Eckpunkte eines Dreiecks geht. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Untersuche im Applet die Lage des Mittelpunktes, wenn das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist. Kannst du das erklären?

Geogebra.svg Umkreismittelpunkt

Für den Radius R dieses Kreises gilt: R=\frac{abc}{4A} , wobei a,b,c, die Seitenlängen und A den Flächeninhalt des Dreiecks angibt.

b) Zeichne auch diesen Kreis in deine Zeicnung ein und überprüfe die Formel.


4. Aufgabe (ca.10Min.):

a) nur für leistungsstarke Schüler ! Beweise mit Hilfe des Bildes und dem bisher gelerntem, dass sich die Höhen. eines beliebigen Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Hoehenschnittpunkt.JPG

Hinweise zum Bild: Das große Dreieck A`B`C` entsteht aus dem kleinen Dreieck ABC dadurch, dass man Parallelen zu jeder Seite des kleinen Dreiecks durch den gegenüberliegenden Eckpunkt zeichnet. Die Schnittpunkte der Parallelen sind dann die Eckpunkte des großen Dreiecks. Die roten Geraden sind die Höhen des kleinen Dreiecks.


b) Ordne die Begriffe Innkreismittelpunkt I, Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt S und Umkreismittelpunkt U den in Aufgabe 1-4 gefunden „besonderen Punkten im Dreieck“ zu.

c) Bearbeite folgenden Link: http://www.geogebra.org/de/examples/euler_gerade/euler_gerade2.html


5. Aufgabe:

Löse zum Abschluss das Quiz ( immer nur eine richtige Antwort ).

1. In welchem Punkt schneiden sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks?

a Höhenschnittpunkt.
b Umkreismittelpunkt.
c Innkreismittelpunkt.
d Schwerpunkt.

2. Der Innkreis

a … berührt alle Seiten des Dreiecks.
b … kann außerhalb des Dreiecks liegen.
c … kann nur in stumpfwinkligen Dreiecken konstruiert werden.
d … geht durch alle drei Eckpunkte.

3. Wann liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks?

a Spitzwinkliges Dreieck.
b Rechtwinkliges Dreieck.
c Immer.
d Stumpfwinkliges Dreieck.

4. Wann liegt der Innkreismittelpunkt auf der Euler-Geraden?

a Immer
b Gleichseitiges Dreieck
c Rechtwinkliges Dreieck
d Gleichschenkliges Dreieck

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