Induktionsbeweis

Vor.  ???

Beh. $2^n \ge n^2$

Bew.  ???

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Lösungsvorschlag 1 von: --Marius95 23:40, 20. Sep. 2013 (CEST)

Vor.: n $\in \mathbb{N}$

Beh.: 2ⁿ$\ge$n²

Bew.:

n $\in \{1,2,3,4,5\}$

A(1): 2¹$\ge$1²

A(2): 2² = 4$\ge$2² = 4

A(3): 2³ = 8$\le$3² = 9 => nicht wahr

A(4): 2⁴ = 16$\ge$4² = 16

A(5): 2⁵ = 32$\ge$5² = 25

Die Behauptung gilt nicht für n = 3

Vor.: n $\neq$3 n $\in \mathbb{N}$

Voraussetzung also?

Das wäre der Induktionsanfang; jetzt kommt der Beweis:--CJSchmitt 16:10, 21. Sep. 2013 (CEST)

--Marius95 17:15, 20. Sep. 2013 (CEST)

Lösungsvorschlag 2 von: --Vincent97 17:08, 1. Nov. 2013 (CET)

Beweis

$2^n\ge n^2$

Jetzt setzt man $n+1$ in die linke Seite der Ungleichung ein.

$2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2n^2$ $|\cdot 2$

Nun setzt man auch in die rechte Seite $n+1$ein.

$2n^2\ge n^2+2n+1=(n+1)^2$ $|-n^2-2n-1$

$(n-1)^2-2=n^2-2n-1\ge 0$ $|+2$

$(n-1)^2\ge 2$

Man sieht das die Ungleichung erst ab $n=3$ wahr wird. Aus den Aussagen ergibt sich folgender Satz:

$2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2n^2\ge n^2+2n+1=(n+1)^2$