Verschiebung in x-Richtung

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Was eine Verschiebung in x-Richtung für den Funktionsgraphen bedeutet, ist anschaulich klar. Nur stellt sich algebraisch dazu die Frage, wie diese Verschiebung in den x- bzw. y-Werten der Funktion und schließlich in ihrem Funktionsterm sichtbar wird. Dies soll im Folgenden erarbeitet werden.

Dazu wählen wir uns zuerst eine recht einfache Funktion, z.B. f(x)=x^2 (Du kannst im folgenden GeoGebra-Applet auch ganz andere Funktionen eingeben...), zeichnen ihren Graphen und verschieben diesen dann in x-Richtung:



Stift.gif   Aufgabe 1

Betrachte einen Punkt vor und nach Verschiebung um 2 [3; -1.5] der Funktion und gib seine Werte an. Beachte besonders die y-Werte!

WIE GEHT DAS? Punkte ablesen

bla



Aus dem Punkt P(0, 0) wird bei Verschiebung um 2 der Punkt (2, 0). Bei Verschiebung um 3 ergibt sich der Punkt (3, 0). Das negative Vorzeichen steht für eine Verschiebung nach links, der neue Punkt ist dann (-1.5, 0). Aus (2, 4) wird analog (4, 4) bzw. (5, 4) bzw. (0.5, 4). Allgemein gilt: Aus (t, f(t)) wird (t+a, f(t)). Die y-Werte bleiben gleich, die x-Werte ändern sich um die Verschiebung.



Nun schauen wir uns das Problem von der anderen Seite an: Wir halten die y-Werte fest und ändern alle x-Werte einer Funktion um den gleichen Wert a.


Stift.gif   Aufgabe 2

Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph ändert, wenn wir

  1. alle x-Werte um 1 erhöhen,
  2. alle x-Werte um 2 verringern,
  3. alle x-Werte um a ändern.
WIE GEHT DAS? Funktionsgraph aus einer Wertetabelle zeichnen

bla



Bei der Änderung der x-Werte um a verschiebt sich die Funktion in x-Richtung um genau diesen Wert, d.h. wenn a positiv ist, nach rechts, wenn a negativ ist, nach links.


Jetzt wissen wir, wie sich jeder einzelne Punkt auf der Funktion bei Verschiebung ändert. Wie aber sehen wir das im Funktionsterm?

Das "Vorzeichenproblem"

Das folgende Applet veranschaulicht, wie der neue Funktionsterm bei Verschiebung in x-Richtung durch eine Verschiebung der x-Werte aus dem alten Funktionsterm hervorgeht (Ziehe dafür den blauen Punkt auf der x-Achse hin und her).

Stift.gif   Aufgabe 3

Beschreibe, wie du den Funktionswert der verschobenen Funktion an der Stelle x mit Hilfe der Pfeile ermitteln kannst.

Kommt noch


Maehnrot.jpg
Merke:

Verschiebt man eine Funktion f(x) um den Wert d nach rechts, so kann man die verschobene Funktion als f(x-d) angeben.

Wir setzen also in den Funktionsterm der alten Funktion anstelle des x ein x-d ein und erhalten den Term der verschobenen Funktion, den man natürlich wieder umformen und zusammenfassen sollte, soweit möglich.

WIE GEHT DAS? Termumformung

bla

Das müssen wir üben!

Hand.gif   Übung

Ermittle jeweils den neuen Funktionsterm, wenn Du die gegebene Funktion f um den Wert d in x-Richtung verschiebst.

  1. f(x)=x^2, d=-4
  2. f(x)=(x-1)^1, d=-1
  3. f(x)=x^3-2x^2+4x-8, d=-2
  4. f(x)=exp(2x). d=3
Hand.gif   Übung

Wie wurde jeweils die Funktion f in x-Richtung verschoben, so dass der neue Funktionsterm der angegebene ist?


Für Fortgeschrittene:

Stift.gif   Aufgabe 4

Beschreibe, wie man

  • rechnerisch
  • zeichnerisch

vorgehen muss, um eine gegebene Funktion f so zu verschieben, dass man einen vorgegeben Punkt (a,b) trifft.