Scharkurven

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Lernpfad - Funktionenscharen (auch Scharkurven oder Parameterfunktionen)

Begriffserklärung

Es gibt Funktionen, die neben der Variablen x noch von einem zusätzlichen Wert a abhängen - dem sogenannten Parameter.
Für jeden Wert von a erhält man einen anderen Funktionsgraphen. Die Gesamtheit aller Funktionsgraphen bildet die Kurvenschar. Alle Graphen der Kurvenschar haben aber Gemeinsamkeiten, da sie ja - bis auf den Wert von a - den selben Funktionsterm haben.Sie bilden zusammen die Funktionenschar f_a(x).

Nuvola apps xmag.png Untersuchen  Nuvola apps kwrite.png Protokollieren 

Die folgende Graphik zeigt die Funktionenschar f_a(x)=x^2+ax+1. Bewegen Sie den Schieberegler für den Parameter a, um verschiedene Funktionsgraphen zu erhalten und beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.



Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter

Nuvola apps xmag.png Untersuchen 

Die Art und Lage des jeweiligen Extrempunktes werden wie bisher bestimmt, wobei der Paramter a als Konstante mitgeführt wird.


f_a(x)=x^2+ax+1
hat die Ableitung

f'_a(x)=2x+a
Nullsetzen und Lösen der Gleichung nach x liefert

x=-\frac{a}{2}
Einsetzen in die Funktion f_a(x) liefert die y-Koordinate.

y=(-\frac{a}{2} )^2+a \cdot (-\frac{a}{2} ) +1=1-\frac{1}{4} a^2


Da die zweite Ableitung f''_a(x)=2 immer positiv ist, handelt es sich immer (also auch unabhängig von dem Wert Parameters a) um einen Tiefpunkt:
T(-\frac{a}{2} | 1-\frac{1}{4} a^2).

Gleiches gilt auch für z.B. Wendepunkte und Sattelpunkte.


In Geogebra können Funktionen mit Parameter über Schieberegler dargestellt werden. Wie man einen solchen Schieberegler erstellt, zeigt das folgende Video:


Die Ortskurve eines Punktes

Nuvola apps xmag.png Untersuchen  Nuvola apps kwrite.png Protokollieren  Nuvola apps ktip.pngBegründen/Erklären 

Untersuchen Sie mit Hilfe des Schiebereglers, die Lage des Tiefpunktes T für verschiedene Werte von a. Welche Aussage können Sie über die Lage von T machen? Dazu können Sie die "Spur" des Tiefpunktes verfolgen:



Scheinbar liegen alle Tiefpunkte auf einer Parabel.

Wie Sie in Geogebra die Spur und die Ortslinie eines Punktes darstellen können, zeigt das folgende Video:


Definition

In diesem Fall liegen alle Tiefpunkte auf einer gemeinsamen Kurve. Diese Kurve heißt Ortskurve oder Ortslinie der Tiefpunkte der Kurvenschar.


Bestimmung der Ortskurve

Zur Bestimmung dieser Ortskurve benötigt man die beiden von a abhängigen Koordinaten des Tiefpunktes:

(1) x=-\frac{a}{2}
und
(2) y=1-\frac{1}{4} a^2

Um die Gleichung der Ortskurve - also den Zusammenhang zwischen x und y - zu erhalten muss der Parameter a eleminiert werden.
Aus (1) folgt a=-2x

Einsetzen in (2) liefert die Ortskurve:
y=1-\frac{1}{4} (-2x)^2

y=1-x^2

Übungen

Nuvola apps korganizer.png   Geben Sie die Gleichung der Ortskurve aller ...

  1. Hochpunkte der Kurvenschar f_a(x)=-\frac{1}{4}x^4+2a^2x^2+1 mit a>0 an.
  2. Wendepunkte der Kurvenschar f_b(x)=-x^3+bx^2+b^2x mit b>0 an.
  3. Extrempunkte der Kurvenschar f_c(x)=\frac{c}{x}+x mit c>0 an.

y=2x
y=11x^3
y=\frac{1}{4}x^4+1
(ohne Gewähr; ohne Berücksichtigung der Reihenfolge!)


Nuvola apps kcmdrkonqi.png   Erstellen Sie zu jeder Teilaufgabe auch eine Geogebra-Datei zur Darstellung.