Beweis längentreue Affinitäten

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Beweis der Bedingungen für längentreue Affinitäten

Um zu zeigen, dass die Länge von Vektoren unter den gegebenen Bedingungen für alle Vektoren erhalten bleibt, berechnen wir das Bild eines beliebigen Vektors \vec{u}= {x \choose y}.
Die Länge eines Vektors entspricht dem Betrag des Vektors |\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}.

1. Fall: \vec{u'}=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot\vec{u}= \begin{pmatrix} ax-by \\ bx+ay \end{pmatrix}.

\begin{matrix}
|\vec{u'}|^2&=&(ax-by)^2+(bx+ay)^2\\ 
&=&(a^2+b^2)x^2+(a^2+b^2)y^2+2abxy-2abxy\\ 
&=&(a^2+b^2)\cdot(x^2+y^2)
\end{matrix}

Verwendet man die Bedingung a^2+b^2=1, erhält man:

|\vec{u'}|^2=x^2+y^2=|\vec{u}|^2, d.h. die Vektoren \vec{u} und \vec{u'} sind gleichlang.


2. Fall: \vec{u'}=\begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}\cdot\vec{u}= \begin{pmatrix} ax+by \\ bx-ay \end{pmatrix}.

\begin{matrix}
|\vec{u'}|^2&=&(ax+by)^2+(bx-ay)^2\\ 
&=&(a^2+b^2)x^2+(a^2+b^2)y^2+2abxy-2abxy\\ 
&=&(a^2+b^2)\cdot(x^2+y^2)
\end{matrix}

Verwendet man die Bedingung a^2+b^2=1, erhält man:

|\vec{u'}|^2=x^2+y^2=|\vec{u}|^2, d.h. die Vektoren \vec{u} und \vec{u'} sind gleichlang.