IntegralrechnungLK2017

In diesem Lernpfad sollen Integrale mithilfe von Grenzwerten von Ober- und Untersummen bestimmt werden.

Ober- und Untersummen

Wir haben das Integral als orientierten Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse kennengelernt. Eine Überlegung zur Bestimmung der Inhalte der Flächen unter Funktionsgraphen war, diese Fläche durch Rechtecke anzunähern. Dies soll nun weiter ausgeführt und ausgearbeitet werden.

Dazu soll eine Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen: $f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5$   in den Grenzen -8 und 10.

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion soll nun durch Rechtecke angenähert werden. Die Summe der Inhalte der Rechtecke ist dann eine Näherung für das Integral. Man unterscheidet Obersumme und Untersumme. Bei der Obersumme betrachtet man Rechtecke, die im jeweiligen Teilintervalle den maximalen Funktionswert als Rechteckshöhe wählen. Bei der Untersumme wird jeweils der minimale Funktionswert im Teilintervall als Rechteckshöhe gewählt. Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.

Aufgabe 1 Bestimmen Sie einen Näherungswert mit Hilfe der Obersummen und der Untersummen für $\int\limits_0^2 x^2 \ \mathrm{d}x$. Wählen Sie dazu zunächst eine Einteilung in vier Rechtecke, danach eine Einteilung in acht Rechtecke. Fertigen Sie auch eine Zeichnung an. Vergleichen Sie die Ergebnisse. Vergleichen Sie auch mit dem rechnerischen Wert für das Integral.

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Lösung Eine Einteilung in vier Rechtecke liefert den Wert 3,75, für die Untersumme 1,75. Bei einer Einteilung in acht Rechtecke ergibt sich für die Obersumme 3,1875, für die Untersumme 2,1875. Die Werte für die Ober- und Untersumme unterscheiden sich bei diesen Rechtecksgrößen ziemlich. Die Näherung ist recht ungenau.

Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.

Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!

Aufgabe 2 Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollen Sie einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. Gezeigt ist der Graph der Funktion $f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5$ mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b]. Verschieben Sie abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreiben Sie wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und der Differenz? Variieren Sie jetzt die Anzahl $n$ der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von $n$ die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben? Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfen Sie dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl $n$ der Rechtecke. Wie groß müsste $n$ sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von $f$ mehr zu erwarten wäre?

Applet

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Lösung Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl $n$ der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz. Je größer die Anzahl $n$ der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von $n$ wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird. Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle! Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von $f$ mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste $n$ unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang $n \to \infty$.

Wenn man bei den eigenen Berechnungen die Einteilung des Intervalls immer weiter verfeinern will und die Rechtecksbreiten immer kleiner wählt, steigt der Rechenaufwand sehr stark.

Aufgabe 3 Bestimmen Sie einen Näherungswert für $\int\limits_0^2 \sqrt x \ \mathrm{d}x$ (Einteilung vier Rechtecke). Fertigen Sie auch eine Skizze an. Vergleichen Sie mit dem rechnerischen Wert für das Integral. Bestimmen Sie einen Näherungswert für $\int\limits_1^4 \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x$ (Einteilung in 3 Rechtecke). Fertigen Sie auch eine Skizze an. Vergleichen Sie mit dem rechnerischen Wert für das Integral.

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Lösung Bei 4 Rechtecken: Untersumme: 1,75; Obersumme: 3,75; Mittelwert: 2,75; bei 8 Rechtecken: Untersumme: 2,19, Obersumme 3,19; Mittelwert: 2,69. Obersumme: 2,17, Untersumme 1,47; Mittelwert: 1,82. Obersumme: 1,83; Untersumme: 1,08; Mittelwert: 1,455

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Ich kann erklären, wie orientierte Flächeninhalte durch Ober- und Untersummen angenähert werden könen.
Ich kann Ober- und Untersummen berechnen.

Das bestimmte Integral

Im vorherigen Abschnitt haben Sie gelernt, dass die Fläche $A$ unter dem Graphen einer Funktion $f(x)$ im Intervall $[a;b]$ immer durch die Obersumme $O_n$ und die Untersumme $U_n$ (jeweils bestehend aus $n$ Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:

$U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n$

Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für $n \to \infty$ wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:

$\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A$

Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:

Definition Die Fläche $A$ unter dem Graphen der Funktion $f(x)$ im Intervall $[a;b]$ nennt man das bestimmte Integral von $f(x)$ in den Grenzen $a$ und $b$, in Zeichen: $\int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n$

Merke: Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d$x$" ist ein sog. Differential und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe. Die Zahlen $a$ und $b$ sind die Grenzen des Integrals. $a$ ist die untere Grenze, $b$ die obere Grenze. Die Funktion $f(x)$, also alles, was unter dem Integral steht (alles außer d$x$), wird Integrand genannt. Zwischen dem Integranden $f(x)$ und dem Differential d$x$ steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte $f(x)$ und deren Breite durch das Differential d$x$ gegeben sind. $f(x) \cdot \mathrm{d}x$ ist dann der Flächeninhalt (Höhe $\cdot$ Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!

Aufgabe 4 Bestimmen Sie Werte für die Obersumme und Untersumme von $\int\limits_0^2 x^2 \ \mathrm{d}x$ bei einer Einteilung in 10, in 100, in 1000 Rechtecke. Verwenden Sie dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm. Vergleichen Sie mit dem rechnerischen Wert für das Integral.

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Ich kann das bestimmte Integral als Grenzwert von Ober- und Untersummen darstellen.
Ich kann mit Hilfe von Ober- und Untersummen Näherungswerte für Integrale bestimmen.