Kongruenzabbildungen

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Inhaltsverzeichnis

Abstände und besondere Geraden


Alle Konstruktionen sollen zur Übung auch mit Bleistift, Zirkel etc. auf Papier ausgeführt werden. Dokumentiert, wo es sich anbietet, eure Antworten und Ergebnisse schriftlich im Heft!


Die Mittelsenkrechte einer Strecke \overline{AB} versammelt alle Punkte, die von den Endpunkten A und B den gleichen Abstand haben.
Illustriert wird dies hier.
Diesen Umstand nutzen wir für die Konstruktion von Mittelsenkrechten.


Aufgabe 1:

Konstruiere mit "elektronischem Zirkel und Lineal" die Mittelsenkrechte der angezeigten Strecke \overline{AB}.
Kontrolliere Dein Ergebnis mit Hilfe der Programmfunktion "Mittelsenkrechte".
Hier geht es zur Aufgabe.

  • Zeichne um die Punkte A und B jeweils einen Kreis mit gleichem Radius.
  • Wähle den Radius so, dass die beiden Kreise sich in zwei Punkten schneiden.
  • Definiere die Schnittpunkte.
  • Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte. Diese Gerade ist die gesuchte Mittelsenkrechte.


Die Winkelhalbierende eines Winkels α versammelt alle Punkte, die von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.
Illustriert wird dies hier.
In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Mittelsenkrechte zur Basis zugleich die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels.
Wenn wir ein passendes gleichschenkliges Dreieck finden, dessen Eckpunkte auf den Schenkeln sowie dem Scheitelpunkt eines gegebenen Winkels liegen (vgl. die Abbildung!), können wir die gesuchte Winkelhalbierende wie eine Mittelsenkrechte konstruieren.


Aufgabe 2:

Konstruiere mit "elektronischem Zirkel und Lineal" die Winkelhalbierende des gegebenen Winkels.
Kontrolliere Dein Ergebnis mit Hilfe der Programmfunktion "Winkelhalbierende".
Hier geht es zur Aufgabe.

Tipp: Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius um den Scheitelpunkt des Winkels.

  • Definiere die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln des Winkels.
  • Konstruiere im Anschluss - wie gehabt - die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen diesen beiden Schnittpunkten. Diese Mittelsenkrechte ist die gesuchte Winkelhalbierende.


Weitere Anwendungen, die sich aus der Grundkonstruktion einer Mittelsenkrechten ergeben, sind das Fällen eines Lots von einem Punkt P auf eine Gerade g...


Aufgabe 3:

Fälle (nur mit "Zirkel und Lineal") das Lot von Punkt P auf die Gerade g. Unterscheide zwei Fälle:
a) Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden g - mathematische Kurzschreibweise:P \notin g
b) Der Punkt P liegt auf der Geraden g bzw. P \in g
Hier geht es zu den Aufgaben.

  • In beiden Fällen zeichnet man einen geeigneten Kreis um P und definiert zwei Hilfspunkte (Schnittpunkte!) auf der Geraden, die von P den gleichen Abstand haben.
  • Die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen den beiden Hilfspunkten ist das gesuchte Lot.


... oder auch das Spiegeln von Punkten an einer Spiegelachse.


Aufgabe 4:

Konstruiere mit Hilfe des "elektronischen Zirkels und Lineals" den Spiegelpunkt P´ von P bezüglich der Spiegelachse g.
Hier geht es zur Aufgabe.

Du kannst natürlich wie in der vorigen Aufgabe das Lot von P auf g konstruieren und mit Hilfe des Zirkels den Abstand von P zur Geraden "auf die andere Seite" übertragen (Einstechen auf dem Lotfußpunkt!).
Anschauen kannst Du das hier.

Eleganter ist die "Dreikreiskonstruktion": Ergänze mit Hilfe von drei Kreisen den Punkt P und die beiden Hilfspunkte auf g (vgl. Lösung zu Aufgabe 3!) so um einen vierten Punkt, dass diese die Eckpunkte einer Raute bilden. Der vierte Eckpunkt ist zugleich der gesuchte Punkt P´.

Hierbei müssen alle drei Kreise den gleichen Radius haben, der lediglich größer sein muss als der Abstand von P zu g, wie man hier sehen kann.


Nicht zuletzt kann man bei achsensymmetrischen Figuren die Symmetrie- bzw. Spiegelachse ermitteln.


Aufgabe 5:

Konstruiere mit "Zirkel und Lineal" die Symmetrieachse zur gegebenen achsensymmetrischen Figur.
Hier geht es zur Aufgabe.

  • Konstruiere die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen einem beliebigen Paar "symmetrisch liegender" Punkte. Diese ist die gesuchte Symmetrieachse.


Verkettung von Achsenspiegelungen


Führt man mehrere Abbildungen hintereinander aus, so nennt man das eine Verkettung dieser Abbildungen.
In der folgenden Aufgabe geht es ganz speziell um die Verkettung zweier Achsenspiegelungen.


Aufgabe 6:

Spiegele das gegebene Dreieck ABC an der Geraden g (nutze die entsprechende Programmfunktion!). Spiegele danach das Bilddreieck A´B´C´ an der Geraden h.
Verändere nun die Lage der Spiegelachsen und überlege, welche grundsätzlich verschiedenen Konstellationen bzw. Lagebeziehungen der Achsen es hierbei gibt.
Hier geht es zur Aufgabe.

Die Spiegelachsen g und h können sich schneiden oder parallel zueinander liegen.
Bitte weiterlesen!

Fülle die Lücken:

  • Schneiden sich die Spiegelachsen, so stellt die Verkettung der beiden Spiegelungen eine andere Abbildung dar, nämlich eine __________ .
  • Liegen die Spiegelachsen parallel zueinander, so stellt die Verkettung der beiden Spiegelungen ebenfalls eine andere Abbildung dar, nämlich eine __________ .

Maehnrot.jpg

  • Schneiden sich die Spiegelachsen, so stellt die Verkettung der beiden Spiegelungen eine andere Abbildung dar, nämlich eine Drehung.
  • Liegen die Spiegelachsen parallel zueinander, so stellt die Verkettung der beiden Spiegelungen ebenfalls eine andere Abbildung dar, nämlich eine Verschiebung.


Zusatzaufgabe

Das Dreieck A´´B´´C´´ ist durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen aus dem Dreieck ABC hervorgegangen. Ergänze zwei geeignete Spiegelachsen.
Hier geht es zur Aufgabe.

Tipp: Beachte Aufgabe 5! Mehr wird erst einmal nicht verraten...