Kreise

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Die ist ein Lernpfad zum Thema Kreise im Koordinatensystem

Inhaltsverzeichnis

Koordinatengeometrie: Kreise

In diesem Lernpfad sollst du etwas über Kreise im Koordinatensystem lernen. Bearbeite dazu nach und nach die angegebenen Aufgaben. Sieh dir die Lösungen der Aufgaben erst an, nachdem du schon einen eigenen Lösungsversuch aufgestellt hast. Öffne die Hinweise zu den Aufgaben, falls du nicht weiter kommst.

Koordinatengleichung eines Kreises

In der GeoGebra-Anwendung, die du hier siehst kannst du den Radius des Kreises verändern, indem du den Regler r mit der Maus bewegst. Den Mittelpunkt des Kreises kannst du verändern, indem du den Punkt M mit der Maus ziehst. Die zugehörige Kreisgleichung k für den Kreis ist am Rand des Kreises angegeben. Du kannst die Anwendung in den Anfangszustand zurückversetzen, indem du auf den Reset-Knopf oben rechts in der GeoGebra-Anwendung klickst.



Bearbeite die Aufgaben, die unter der GeoGebra-Anwendung angegeben sind. Notiere deine Ergebnisse.





Stift.gif   Aufgabe

Lasse den Mittelpunkt M des Kreises zunächst unverändert im Ursprung. Verändere den Radius r des Kreises und beobachte die Kreisgleichung k. Wie verändert sich die rechte Seite der Gleichung in Abhängigkeit vom Radius r? Kannst du eine allgemeine Kreisgleichung, für einen Kreis mit beliebigem Radius r aufstellen, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt?


Hinweis:

Stelle den Radius r mit Hilfe des Reglers zunächst nur auf verschiedene ganze Zahlen ein und beobachte dabei wie sich die rechte Seite der Gleichung für k verändert.


Lösung:

Die rechte Seite der Gleichung ändert sich quadratisch mit dem Radius des Kreises. Die allgemeine Gleichung für einen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt im Ursprung lautet:

 x^2+y^2=r^2
Stift.gif   Aufgabe

Verändere nun bei konstantem Radius r die Lage des Mittelpunktes M(x_M/y_M) im Koordinatensystem, indem du ihn mit der Maus ziehst. Beobachte, wie sich die zugehörige Kreisgleichung k in Abhängigkeit von der Lage des Mittelpunktes M verändert. Ziehe den Mittelpunkt M dabei in alle vier verschiedenen Quadranten des Koordinatensystems. Kannst du eine allgemeine Gleichung für einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt M(x_M/y_M) und Radius r aufstellen?


Hinweis:

Findest du die Koordinaten des Mittelpunktes M in der Kreisgleichung k wieder?

Hinweis:

Um herauszufinden, wie sich die Vorzeichen in der Kreisgleichung beim Wechsel zwischen verschiedenen Quadranten verändern, kann es hilfreich sein, möglichst "einfache" Punkte, wie z.B. (1/1), (-1/1), (1/-1) und (-1/-1) für den Mittelpunkt M zu wählen, und sich die entsprechenden Ergebnisse für die Kreisgleichung zu notieren.


Lösung:

Die Gleichung für einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt M(x_M/y_M) und Radius r lautet:

 (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2



Bestimmung von Mittelpunkt und Radius eines Kreises

Erarbeite dir zunächst folgenden Text über die Bestimmung von Mittelpunkt und Radius eines Kreises aus der zugehörigen quadratischen Gleichung.

Zur Bestimmung von Radius und Mittelpunkt eines Kreises bringt man die zugehörige Gleichung in die Form

 (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2

Dies funktioniert mit Hilfe der Methode der quadratischen Ergänzung. Bei der quadratischen Ergänzung geht es darum, einen Term so umzuformen, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann.

Beispiel zur quadratischen Ergänzung:

 x^2 + 6x
 = x^2 + 6x + 9 - 9
 = (x^2 + 6x + 9) -9
 =(x + 3)^2 - 9

Beispiel zur Bestimmung von Radius und Mittelpunkt:

Wir möchten nun den Radius und Mittelpunkt eines Kreises mit der Gleichung

 x^2 - 6x + y^2 - 8y -11= 0

bestimmen. Dafür formen wir die Gleichung zunächst um:

 x^2 - 6x + y^2 - 8y - 11 = 0
 x^2 - 6x + 9 -9 + y^2 - 8y + 16 - 16 - 11 = 0
 (x^2 - 6x + 9) -9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 - 11 = 0
 (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) - 36 = 0
 (x-3)^2 + (y - 4)^2 - 36 = 0
 (x-3)^2 + (y - 4)^2 = 36


Jetzt können wir den Mittelpunkt  M(3/4) und den Radius r=6 an der Gleichung ablesen.


Versuche nun selber einige Aufgaben dieser Art zu lösen...

Übungen zur Bestimmung von Mittelpunkt und Radius eines Kreises


Stift.gif   Aufgabe

Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung

 x^2 - 2x + y^2 - 4y + 1= 0


Lösung:

Nach Umformung lautet die Kreisgleichung:

 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4

Der Mittelpunkt des Kreises ist gegeben durch M(1/2)
Der Radius des Kreises beträgt r=2


Stift.gif   Aufgabe

Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung

 x^2 - 6x + y^2 + 8y + 16= 0


Lösung:

Nach Umformung lautet die Kreisgleichung:

 (x-3)^2 + (y+4)^2 = 9

Der Mittelpunkt des Kreises ist gegeben durch M(3/-4)
Der Radius des Kreises beträgt r=3


Stift.gif   Aufgabe

Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung

 x^2 + 14x + y^2 - 14y + 49 = 0


Lösung:

Nach Umformung lautet die Kreisgleichung:

 (x+7)^2 + (y-7)^2 = 49

Der Mittelpunkt des Kreises ist gegeben durch M(-7/7)
Der Radius des Kreises beträgt r=7


Stift.gif   Aufgabe

Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung

 x^2 + y^2 = - 8x - 10y -37

Hinweis:

Forme die Gleichung zunächst in die übliche Ausgangsform um, indem du alle Summanden auf die linke Seite bringst.


Lösung:

Nach Umformung lautet die Kreisgleichung:

 (x+4)^2 + (y+5)^2 = 4

Der Mittelpunkt des Kreises ist gegeben durch M(-4/-5)
Der Radius des Kreises beträgt r=2



Lage von Punkten zu Kreisen

Nachdem du dich jetzt mit der Kreisgleichung auskennst und weisst, wie du mit ihrer Hilfe Mittelpunkt und Radius bestimmen kannst, kannst du dir überlegen, wie du feststellen kannst, ob ein Punkt P(x_P/Y_P) innerhalb oder außerhalb eines Kreises liegt. Bearbeite dazu die folgende Aufgabe.

Stift.gif   Aufgabe

In der GeoGebra-Anwendung unter diesen Aufgaben siehst du einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r, sowie einen Punkt P. Der Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt M des Kreises ist mit d bezeichnet.
Verändere nun die Lage des Punktes P indem du ihn mit der Maus ziehst. Wie verhalten sich P und r zueinander, wenn der Punkt P innerhalb bzw. außerhalb des Kreises liegt?

Lösung:

P liegt genau dann innerhalb des Kreises, wenn  d<r gilt.
P liegt genau dann außerhalb des Kreises, wenn  d>r gilt.



Stift.gif   Aufgabe

Wie verhalten sich der Radius r und der Abstand d des Punktes P zum Mittelpunkt M, wenn P auf dem Kreis liegt.

Lösung:

P liegt genau dann auf dem Kreis, wenn  d=r gilt.





Im folgenden Kasten findest du eine Schrittweise Anleitung zur Bestimmung der Lage von Punkten zu Kreisen. Erarbeite sie dir, falls du dich darin noch unsicher fühlst und bearbeite dann die Aufgaben darunter.

Anleitung zur Bestimmung der Lage von Punkten zu Kreisen

Gegeben ist der Kreis k und der Punkt P(x_P/y_P).

Um herauszufinden, ob der Punkt P innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis k liegt, gehen wir Schrittweise vor:

1.) Wir lesen den Mittelpunkt  M(x_M/y_M) und den Radius r des Kreises an der Kreisgleichung ab. Dafür muß sie gegebenenfalls noch in die Standardform

 (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2

gebracht werden.

2.) Als nächstes bestimmen wir den Abstand d des Punktes vom Mittelpunkt M des Kreises:

 d = \sqrt{(y_p-y_M)^2+(x_P-x_M)^2}



3.) Um zu entscheiden, ob der Punkt P innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegt vergleichen wir jetzt d mit r:

falls  d<r , so liegt der Punkt innerhalb des Kreises. falls  d=r , so liegt der Punkt auf dem Kreis. falls  d>r , so liegt der Punkt außerhalb des Kreises.




Bearbeite nun selbst einige Aufgaben dieser Art...

Übungen zur Lage von Punkten zu Kreisen


Stift.gif   Aufgabe

Liegt der Punkt P(1/1) innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis mit der Kreisgleichung

 (x-5)^2 + (y-4)^2 = 25

Hinweis:

M(5/4),  r= 5

Lösung:

Der Punkt P liegt auf dem Kreis.



Stift.gif   Aufgabe

Liegt der Punkt P(1/1) innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis mit der Kreisgleichung

 x^2 + y^2 = 25

Hinweis:

M(0/0),  r= 5

Lösung:

Der Punkt P liegt innerhalb des Kreis.





Stift.gif   Aufgabe

Liegt der Punkt P(-4/-3) innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis mit der Kreisgleichung

 x^2 - 10x + y^2 -8y = -16

Hinweis:

Forme zunächst die Kreisgleichung in die Standardform

 (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = r^2

um.

Hinweis:

M(5/4),  r= 5

Lösung:

Der Punkt P liegt außerhalb des Kreises.





Bestimmung der gemeinsamen Punkte von Kreisen und Geraden

Im GeoGebra-Applet, dass du unter diesem Text siehst, kannst du die Lage der Gerade durch Ziehen der Punkte B und C mit der Maus verändern. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Geraden mit dem Kreis? Die Gerade wird je nach Anzahl der Schnittpunkte mit dem Kreis unterschiedlich bezeichnet.



Lösung:

Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl der Schnittpunkte von einer Gerade mit einem Kreis.

Eine Gerade, die keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat, nennt man Passante des Kreises.

Eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt, nennt man Tangente des Kreises.

Eine Gerade, die zwei Schnittpunkte mit dem Kreis hat, nennt man Sekante des Kreises.

Erarbeite dir nun zunächst die folgende Anleitung zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte von einem Kreis und einer Geraden:

Anleitung:

Um die gemeinsamen Punkte eines Kreises k mit Kreisgleichung

 (x-x_M)^2 +(y-y_M)^2=r^2

und einer Geraden g mit Geradengleichung

  y = mx + b

zu bestimmen, untersucht man ob es einen gemeinsamen Punkt P(xP/yP) gibt, der sowohl die Kreisgleichung zu k, als auch die Geradengleichung zu g erfüllt. Dazu geht man nach folgender Anleitung vor:

1.) Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung. Allgemein bedeutet das, man setzt für y in der Kreisgleichung mx + b ein.

2.) Man untersucht die entstandene Gleichung durch Umformen auf Lösungen für x.

- Gibt es keine Lösung, so handelt es sich bei der Geraden g um eine Passante des Kreises k.
- Gibt es eine Lösung, so handelt es sich bei der Geraden g um eine Tangente des Kreises k.
- Gibt es zwei Lösungen, so handelt es sich bei der Geraden g um eine Sekante des Kreises k.

3.) Man erhält die verschiedenen y-Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Berührungspunktes, indem man die Lösungen für x in die Geradengleichung y=mx+b einsetzt.

Beispiel:

Bestimmung der gemeinsamen Punkte der Geraden g mit Geradengleichung

  y = -2x + 5

und des Kreises k mit der Kreisgleichung

 (x-3)^2 +(y-4)^2=10

1.) Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung:

 (x-3)^2 +(y-4)^2=10
 (x-3)^2 +((-2x+5)-4)^2=10

2.) Umformen und Lösen der entstandenen Gleichung:

 (x-3)^2 +((-2x+5)-4)^2=10
 (x-3)^2 +(1-2x)^2=10
 (x^2-6x+9) + (1-4x+4x^2)=10
 5x^2 -10x +10  = 10
 5x^2 -10x  = 0
 (5x -10)x  = 0

Eine Möglichkeit zur Lösung dieser Gleichung ist also x=0, die andere Möglichkeit ist die Lösung der Gleichung

 (5x -10) = 0
 5x = 10
 x = 2

Es gibt also zwei Lösungen, nämlich x=0 \or x=2. Es handelt sich bei der Geraden g also um eine Sekante des Kreises k.

3.) Bestimmung der y-Koordinaten der Schnittpunkte durch Einsetzen der Lösungen in die Geradengleichung:

  y = -2x + 5

für x=0:

  y = -2 * 0 + 5 =0+5=5

für x=2:

  y = -2*2 + 5=-4+5=1

Die Schnittpunkte der Geraden g mit dem Kreis k sind also S_1(0/5) und S_2(2/1).


Übungen zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte von Kreisen und Geraden

Bearbeite nun nach und nach die Aufgaben, die du unter dem GeoGebra-Applet findest. Nutze die Hinweise, falls du nicht weiter weisst. Du kannst die Lösungen der Aufgaben überprüfen, in dem du im GeoGebra-Applet links jeweils auf die Geradengleichung g und die Kreisgleichung k doppelklickst und jeweils die Gleichungen aus der Aufgabenstellung eingibst. Dabei muß bei Kommazahlen der Punkt verwendet werden. Das Applet zeichnet dann die zugehörigen Graphen und berechnet die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden.




Stift.gif   Aufgabe

Bestimme die gemeinsamen Punkte der Geraden g mit Geradengleichung

y=-x+5

und des Kreises k mit Kreisgleichung

x^2+y^2=25

Hinweis:

Nach dem Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung muß hier, ähnlich wie im Beispiel, x ausgeklammert werden.



Stift.gif   Aufgabe

Bestimme die gemeinsamen Punkte der Geraden g mit Geradengleichung

 y = 0,5x +2,5

und des Kreises k mit Kreisgleichung

 (x-6)^2 +(y-3)^2 = 6,25

Hinweis:

Nach dem Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung kann hier nicht einfach x ausgeklammert werden. Quadratische Gleichungen dieser Art müssen stattdessen auf die Form

 0=x^2+px+q

gebracht werden, wobei p und q reelle Zahlen sind. Sie werden dann mit Hilfe der sogenannten p-q-Formel

x= {-p \over{2}} \pm \sqrt{{p^2 \over 4} - q}

gelöst.

Beispiel:

 0=2x^2+20x+18

wird zunächst umgeformt indem wir durch 2 teilen.

 0=x^2+10x+9

Jetzt steht das x^2 ohne Vorfaktor in der Gleichung und wir können die p-q-Formel anwenden. In diesem Fall ist also p=10 und q=9. Durch Einsetzen in die p-q-Formel ergibt sich dann:

x= {-10\over{2}} \pm\sqrt{{100\over4}-9}

 = {-5} \pm \sqrt{25 - 9}

 = {-5} \pm \sqrt{16}

 =-5 \pm 4

Die beiden Lösungen in diesem Beispiel sind also x=-1 und x=-9



Stift.gif   Aufgabe

Bestimme die gemeinsamen Punkte der Geraden g mit Geradengleichung

y=-5

und des Kreises k mit Kreisgleichung

x^2+y^2=25

Hinweis:

Diese Gleichung hat nur eine Lösung, es handelt sich bei g also um eine Tangente des Kreises k.



Stift.gif   Aufgabe

Bestimme die gemeinsamen Punkte der Geraden g mit Geradengleichung

y=6

und des Kreises k mit Kreisgleichung

x^2+y^2=25

Hinweis:

Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert, daher hat z.B. die Gleichung

x^2=-2

keine Lösung.



Tangentengleichung

In dieser GeoGebra-Anwendung siehst du eine Tangente an den Kreis k im Punkt P(x_P/y_P). Links sind die Koordinaten des Punktes P und des Mittelpunktes M, sowie die Kreisgleichung k, die Tangentengleichung t und die Steigung m der Geraden durch M und P angegeben. Die Strecke \overline{MP} nennt man auch den Berührradius. Die Steigung m nennt man dann die Steigung des Berührradius.


Stift.gif   Aufgabe

Verändere den Mittelpunkt M des Kreises und den Berührpunkt P, indem du sie mit der Maus ziehst. Beobachte dabei die Lage der Tangente und des Berührradius. Was fällt auf?

Lösung:

Der Berührradius und die Tangente im Berührpunkt P stehen immer senkrecht aufeinander.



Stift.gif   Aufgabe

Kannst du deine Beobachtung auch anhand der angegebenen Steigung m des Berührradius und der Geradengleichung der Tangente belegen?

Hinweis:

Für zwei Geraden g mit Steigung mg und h mit Steigung mh, die orthogomal zueinander sind, gilt:
Die Steigung mh entspricht dem negativen Kehrwert der Steigung mg.

Lösung:

Das Produkt aus der Steigung m des Berührradius und der Steigung der Tangente m_t beträgt immer -1, also stehen der Berührradius und die Tangente im Berührpunkt senkrecht aufeinander.

m*m_t=-1







Stift.gif   Aufgabe

Gegeben ist der Kreis k mit Mittelpunkt M(2/-3) und Radius r=5.
Berechne die Steigung der Tangente an den Kreis, die durch den Punkt P(-1/1) geht.
Überprüfe dein Ergebnis mit Hilfe der GeoGebra-Anwendung, indem du M und P an die entsprechenden Stellen ziehst und die Steigung an der Tangentengleichung abliest.

Hinweis:

Berechne zunächst die Steigung des Berührradius über die Koordinaten von M und P

 m=(y_P-y_M)/(x_P-x_M)


Hinweis:

Berechne die Steigung m_t der Tangente über

 m_t=-1/m


Nachdem wir nun wissen, wie wir die Steigung der Tangente in einem Punkt des Kreises k berechnen, können wir die Koordinatengleichung der Tangente aufstellen, denn wir haben einen Punktder auf der Tangente liegt, und die Steigung der Tangente gegeben und damit alles was wir brauchen.

Im folgenden Kasten findest du noch einmal eine Zusammenfassung zur Berechnung der Tangentengleichung.


Anleitung zur Bestimmung der Tangentengleichung an einen Kreis im Berührpunkt P:

Gegeben ist ein Kreis k mit der Kreisgleichung  (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 und der Berührpunkt P(x_P/y_P), an dem die Tangente den Kreis berührt.

Zur Berechnung der Tangentengleichung geht man dann Schrittweise vor:

1.) Bestimme den Mittelpunkt  M(x_M/y_M) aus der Kreisgleichung. Dafür muß sie unter Umständen noch in die Form  (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 gebracht werden.

2.) Berechne die Steigung m des Berührradius r über

 m = (y_P-y_M)/(x_P-x_M)


3.) Berechne die Steigung  m_t der Tangente über die Steigung m des Berührradius r

 m_t = -1/m


4.) Setze die Tangentensteigung  m_t und den Berührpunkt P(x_P/y_P) in die Normalform der Geradengleichung ein, um den y-Achsenabschnitt b_t der Tangente zu bestimmen.

 y=mx+b
 y_P =m_t *x_P +b_t
 y_P-m_t * x_P = b_t


5.) Die Tangentengleichung ist dann in Normalform gegeben durch:

 y=m_t* x+ b_t



Beispiel:

Gegeben ist der Kreis k mit Kreisgleichung  (x-7)^2+(y-6)^2=25 und der Berührpunkt P(4/10).

1.) Aus der Kreisgleichung können wir den Kreismittelpunkt M(7/6) ablesen.

2.) Wir bestimmen die Steigung m des Berührradius r über

 m = (y_P-y_M)/(x_P-x_M)
 = (10-6)/(4-7)
 = -(4/3)



3.) Wir bestimmen die Tangentensteigung m_t über

 m_t = -1/m =-(-3/4)=3/4



4.) Wir bestimmen den y-Achsenabschnitt b_t der Tangente, indem wir den Berührpunkt P und die Tangentensteigung m_t in die Normalform der Geradengleichung einsetzen und nach b_t auflösen.

 y=mx+b
 10 =(3/4) *4 +b_t
 10 = 3+ b_t
 7 =  b_t



5.) Damit ergibt sich für die Tangentengleichung

 y=m_t* x+ b_t = (3/4)*x+7