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Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Die Binomischen Formeln gehören zur Algebra und sind Formeln die auch in der höheren Mathematik häufig verwendet werden, um Term-Umformungen von Ausdrücken mit Klammern schneller vornehmen zu können.

Sie sind eigentlich nur eine Verkürzung von Umformungen, die auf die Multiplikation von Summen beruhen. Umgekehrt können sie auch verwendet werden, um einen Summenterm als Produkt zu schreiben, was bei der Bestimmung von Lösungen einer Gleichung wichtig ist und bei einigen Umformungen unverzichtbar ist, da es keine anderen anderen Weg gibt.

Es gibt eigentlich 3 Binomische Formeln, wobei hier die 1. und die 2. Binomische Formel hier zusammen behandelt werden, da sie fast identisch sind und nicht getrennt gelernt werden müssen.

Das Adjektiv binomisch leitet sich übrigens von bi (zwei) und Nomen (Namen) ab. Binome sind Summen von zwei Zahlen oder anderen Term-Ausdrücken. Binome sind zum Beispiel: a+b, \ x-\pi, \ x^2+y^2, \ 3ab^5-4c^3, \ \frac{p^2}{2} - q während (a+b)^2 nicht selber ein Binom ist sondern das Quadrat eines Binoms. Man kann auch den Ausdruck a+b+c man als Binom verstehen, indem man sich eine Klammer denkt: a+(b+c). So hat man eine Summe, wobei der eine Summand selber eine Summe ist.

Was es zu wissen gilt

(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 erste Binomische Formel (Plus-Formel)
(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 zweite Binomische Formel (Minus-Formel)

Herleitung

Die Formeln ergeben sich von selbst, wenn man das Wissen um die Multiplikation von Summen anwendet. Dazu noch eine kleine Vorbemerkung:

(a+b)^2 steht als Quadrat für ein Produkt der Summe (a+b) mit sich selber. Man kann also statt (a+b)^2 auch den (a+b) \cdot (a+b) verwenden. Die Gleichheit wird vereinfacht ausgedrückt durch: (a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b).

Zu beachten ist hier, dass diese "Gleichung" (auch die auf folgenden) nicht als Aufforderung verstanden werden dürfen, eine "Lösung" zu finden. Sie steht vielmehr dafür, dass beide Terme gleichwertig sind, da der Wert dieser Terme immer identisch ist, egal welche Werte man für a und b einsetzt.

(a+b) \cdot (a+b) kann man nun weiter umformen, indem an zum Beispiel die "Regel" anwendet:

Jeder Summand aus der erste Klammer wird mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer malgenommen.

Dann hat man

(a+b) \cdot (a+b)= a\cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b.

Man kann den Ausdruck verkürzen, indem man die folgendes vereinfacht bzw. zusammenfasst:

a\cdot a = a^2 ... nur eine verkürzte Schreibweise
b\cdot b = b^2
a \cdot b = ab ebenso wie b \cdot a = ab ... hier wird die Verabredung verwendet, dass man bei Produkttermen von Variablen, diese alphabetisch sortiert!

So ergibt sich als weiterer Schritt

 a\cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2

wo man noch vereinfachen kann:

ab + ab = 2 \cdot ab ... daran denken: Die Multiplikation ist die verkürzte Darstellung einer wiederholten Addition..

So ergibt sich, wenn man alle Umformungschritte hintereinander schreibt:

(a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b)= a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot ab + b^2

Die vielen Gleichheitszeichen hinterander zeigen ja, dass alle Ausdrücke, die davor, dahinter bzw. dazwischen stehen mathematisch gleichwertig sind (gleicher Wert bei eingesetzten Zahlen anstatt a und b!!). Also sind auch die Ausdrücke (a+b)^2 und a^2 + 2 \cdot ab + b^2 auch identisch und so kommt man auf die erste Formel:

(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2

Die zweite Binomische Formel ergibt sich auf gleichem Wege:

Stift.gif   Aufgabe

Forme den Ausdruck (a-b)^2 ebenso um, wie es bei der 1. Binomischen Formel vorgemacht wurde. Achte dabei auf das Vorzeichen von b! Wenn bei Produkten negative Vorzeichen vorkommen, sollte man den Faktor mit dem Vorzeichen erst einmal in Klammern setzen.

(a-b)^2=(a-b) \cdot (a-b)= a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot (-a)  + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ab + b^2 =a^2 - 2 \cdot ab + b^2
... zur Erinnerung. Minus mal Minus ergibt Plus. Deshalb wird (-b) \cdot (-b) dann b \cdot b = b^2

Wie es zu nutzen ist

Was hat man nun von den Formeln (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 und (a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2? Eigentlich erscheinen sie erst einmal gar nicht nötig, denn schon mit deinen bisherigen Kenntnissen konntest du ein Produkt von Klammern ausrechnen? Allerdings erspart man sich die zahlreichen Zwischenschritte, die wir bei der Herleitung der Formeln ausführlich notiert hat. Dazu ein paar Beispiele und Anwendungsmöglichkeiten:

Hilfe beim Kopfrechnen 1

Die Binomische Formel kann man nutzen, um sich das Kopfrechnen zu vereinfachen. So lässt sich das Quadrat einer beliebigen Zahl oft einfacher mit der binomischen Formel bestimmen, indem man die Berechnung auf Quadrate von einfacheren Zahlen (Vielfache von 10 oder einstellige Zahlen) zurückführt. Beispielsweise ist

 37^2 = (30+7)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 7 + 7^2 = 1369

Hier wurde die Binomische Formel in "Hinrichtung" genutzt, d.h. man hat das Quadrat einer Summe (30+7)^2 und hat damit die beiden Zahlen 30 für a und 7 für b. Diese Zahlen setzt man dann in die rechte Seite der Formel-Gleichung ein und fasst die Rechnung zusammen, wobei sich die Quadrate von 30 und 7 recht leicht berechnen lassen.

Beispiele, die zeigen, wie praktisch der Einsatz der binomischer Formel ist, sind auch Quadrate von Kommazahlen, die auf "Komma 5" enden, wie zum Beispiel die Berechnung von 12,5^2. Man schreibt die Rechnung um und hat dank dem Faktor 0,5 (2 \cdot 0,5 = 1) eine besonders einfache Rechnung:

12,5^2 = (12+0,5)^2=12^2+2 \cdot 12 \cdot 0,5 + 0,5^2 = 144 + 12 + 0,25 = 152,25

Ausmultiplizieren eines Quadrattermes

Hilfe beim Kopfrechnen 2

Rechentrick

In "Rückrichtung" (oder auch "Hinrichtung"?) kann man die 1. Binomische Formel für einen kleinen Rechentrick nutzen. Die formale Erklärung sieht komplizierter aus, als die Anwendung dann ist.

Beispiel: Gesucht ist die zweistellige Zahl, die zum Quadrat 1369 ergibt.

Lösung: Die zweistellige Zahl kann ich ja zerlegen (wie im ersten Beispiel) in ein Vielfaches von Zehn und eine einstellige Zahl. Das könnte man allgemein so schreiben:

(u \cdot 10 + v)^2

Nur zum besseren Verständnis ein konkretes Beispiel:

58^2 = (50+8)^2=(5 \cdot 10 + 8)^2 wobei dann u = 5 wäre und v=8.

Wenn man den allgemeinen Ausdruck ausmultipliziert erhält man (ohne viele Zwischenschritte zu notieren!):

u^2 \cdot 100 + 2 \cdot u \cdot 10 \cdot v + v^2 = 100 u^2+20uv + v^2

Oder beim konkreten Beispiel:

(5 \cdot 10 + 8)^2=25 \cdot 100 + 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 8 + 8^2 = 2500 + 800 + 64 = 3364

An dem allgemeinen Ausdruck und auch dem Beispiel kann man nun erkennen, dass man die unbekannte Zahl u aufgrund des ersten Terms mit den Faktor 100 vor allem in den ersten beiden Stellen des Endergebnisse wieder. Dagegen ist die Zahl v (die ja einstellig ist) sicher kleiner als 100 und deshalb vor allem "in" den hinteren beiden Stellen zu finden. Der mittlere Term hat auf keinen Fall eine Auswirkung auf die Einerstelle, da er den Faktor 20 (2 mal 10) enthält. Man kann also an der letzten Stelle erkennen, was v sein könnte.

  • 1300 enthält als u^2 und etwas vom mittleren Term.
  • Die 9 an der letzten Stelle muss sich aus dem Quadrat von v ergeben.

Was könnte also u sein? Es kommt nur 3 in Frage, denn 3^2 ergibt 9 (bzw. 30^2 = 900), während 4^2 = 16 (also 40^2=1600) ist, was zu viel wäre.

Für v kommt 3 und 7 in Frage, denn 3^2=9 und 7^2=49. Nebenbei: Meist gibt es zwei Möglichkeiten, die dann immer die Summe 10 ergeben.

Also ist die gesuchte Zahl entweder 33 oder 37, aber welche nun?

Dazu vergleicht man die gegebene Zahl 1369 mit 30^2=900 und 40^2=1600. Da der Abstand zu 40^2 geringer ist, muss 1369 = 37^2 sein.

Beispiele

Aufgaben