2. Der Satz von Cavalieri

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Zur Person

Bonaventura Cavalieri.jpeg Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.

Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt) geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.


Erarbeitung des Satzes von Cavalieri


Zylinder gerade geschwungen.jpg

Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"

Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"



Stift.gif   Aufgabe 1

Wer hat nun Recht?

Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!

Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!

Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:
Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.








Zurück zur Ausgangsfrage:

Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!



Stift.gif   Aufgabe 2

Verallgemeinerung der Erkenntnisse

Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen.
Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...

Du hast gerade Sachverhalte herausgearbeitet, welche Bonaventura Cavalieri in seinem berühmten (grundlegenden) Satz formuliert hat. Du kannst den Satz in deinem Schulbuch auf S. 22 nachlesen und deine Aufzeichnungen - wenn nötig - ergänzen oder berichtigen!



Stift.gif   Aufgabe 3

Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?

Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.
Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und begründe deine Antwort!



Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächeninhalt an!

Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre Grundflächeninhalte, ihre Höhe und die zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe gleich groß sind.




Übungsaufgaben


Stift.gif   Aufgabe 4

Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an!

a)Schiefes Prisma Maße.jpg b) Geschwungener Zylinder Maße.jpg

Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also: V=27000cm^{3}=27dm^{3}
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also: V\approx 1696,46cm^{3}\approx 1,7dm^{3}

Zu deiner Lösung gehört auch der Rechenweg!



Stift.gif   Aufgabe 5

Hausaufgabe für nächste Stunde

Bearbeite in deinem Schulbuch die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht mehr lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde noch anfangen!

Zur Bearbeitung von Nr. 2 hilft dir eventuell die Beispielaufgabe auf Seite 22.

Zeige die Lösungen deiner Lehrerin.