Prowald: Lernpfad zum Thema "Satzgruppe des Pythagoras"

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Inhaltsverzeichnis

Satzgruppe des Pythagoras

Hier kannst Du die Satzgruppe des Pythagoras kennen lernen, welche den Satz des Pythagoras und den Höhensatz bzw. Kathetensatz des Euklid umfaßt. Alle drei beschäftigen sich mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken und sind äquivalent zueinander: Beweist man einen Satz, folgen daraus die beiden anderen direkt!


Satz des Pythagoras

Stift.gif   Aufgabe

Im Folgenden findest Du ein interaktives Arbeitblatt, bei dem Du die Seitenlängen in einem Dreieck so bestimmen sollst, dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Finde mindestens zwei verschiedene Lösungen. Kannst Du Deine Ergebnisse allgemein in einem Satz formulieren?

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Fläche des großen Quadrats über der Hypotenuse (Seite gegenüber des rechten Winkels) gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den beiden Katheten (Schenkel des rechten Winkels) ist.

Pythagoras.png
Seien a,b,c die Seiten eines Dreiecks mit der Seite c (Hypotenuse), die sich stets gegenüber einem 90°-Winkel befindet, den b auf a bildet, dann ist das Quadrat über c flächengleich zu der Summe der Quadrate über a und b.
Maehnrot.jpg
Merke:

In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt: a^2 +b^2 =c^2









Beweis des Satzes von Pythagoras

Hinweise:

  • Die Konstruktion lässt sich an den Punkten A, B und C verändern. Die Seite a sollte hierbei allerdings die kleinere Kathete bleiben.
  • Mit dem hellblauen Pfeilsymbol oben rechts auf dem Zeichenblatt kannst du die Konstruktion zurück setzten.
  • Führe den Beweis noch einmal mit a als größerer Kathete.

Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Nuvola Stift.png   Aufgabe 1

Gib an, welche Seite im Dreieck ABC die Hypotenuse ist und wie man sie berechnen kann. Klicke auf die richtige Lösung!

Dreieck Benennung.svg

1.  a = 3cm, b = 4cm und c = 5cm

 a, a^2 = b^2+c^2
 b, b^2 = a^2+c^2
 c, c^2 = a^2+b^2

2.  a = 6cm, b = 10cm und c = 8cm

 a, a^2 = b^2+c^2
 b, b^2 = a^2+c^2
 c, c^2 = a^2+b^2

3.  a = 12cm, b = 13cm und c = 5cm

 a, a^2 = b^2+c^2
 b, b^2 = a^2+c^2
 c, c^2 = a^2+b^2

4.  a = 17cm, b = 5cm und c = 12cm

 a, a^2 = b^2+c^2
 b, b^2 = a^2+c^2
 c, c^2 = a^2+b^2

Punkte: 0 / 0


Nuvola Stift.png   Aufgabe 2

Berechne die fehlende Seitenlänge im Dreieck ABC mit \gamma = 90°.

  1.  a = 15 cm, b = 7 cm :
 c \approx 16,55 cm
  1.  b = 13 cm, c = 21 cm :
 a \approx 16,49 cm
  1.  a = 6,9 cm, c = 10,8 cm :
 a \approx 8,31 cm


Nuvola Stift.png   Aufgabe 5

Schau Dir das folgende Video bis 1:03 Minuten an und versuche, die Aufgabe mit Hilfe des Satzes von Pythagoras zu lösen. Falls Du nicht weiterkommst, schaue das Video bis 1:55 Minuten, versuche es noch einmal. Deine Lösung kontrollieren kannst Du ab 2:55 Minuten.

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Der Höhensatz des Euklid

Der Höhensatz des Euklid

Der Höhensatz des Euklid besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt des Höhenquadrats gleich ist zu dem Flächeninhalt des Rechtecks über die beiden Hypotenusenabschnitte.
Höhensatz.svg
Seien a,b,c die Seiten eines Dreiecks mit der Seite c (Hypotenuse), die in die Hypotenusenabschnitte p und q unterteilt ist. Dann gilt: Das Quadrat über der Höhe der Hypotenuse ist flächengleich zum Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
Maehnrot.jpg
Merke:

Als Formel:  h^2=pq




Beweis des Höhensatz des Euklids

Für den Höhensatz gibt es viele verschiedene Beweise. Hier kannst du ihn für verschiedene Dreiecke überprüfen. Bewege dazu einfach die Punkte A, B und C und vergleiche die beiden angegebenen Flächeninhalte.

Aufgaben zum Höhensatz des Euklid

  • Das Dreieck im folgenden Bild hat einen 90°-Winkel bei dem Punkt B. Finde weitere rechtwinklige Dreiecke und wende mehrmals den Satz des Pythagoras an. (Beachte dabei, dass du die Seite b auch anders schreiben kannst.) Beweise so nochmals den Höhensatz. (ca. 15 Minuten)

Höhensatz3'.jpg

  • Aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 4cm und 5cm soll ein Quadrat konstruiert werden, das den selben Flächeninhalt besitzt. Führe die Konstruktion mit Hilfe des bewiesenen Satzes durch. Begründe dabei alle Schritte. (ca. 15 Minuten). Falls Du Hilfe brauchst, findest Du sie hier.

Wenn du bisher alles verstanden hast, solltest du dein Wissen in diesem Quiz testen und diese Rechenaufgabe lösen.