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Lösung

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Arbeitsaufgaben Teil 1: Tangenten an Parabeln

In die allgemeine Geradengleichung y = mx + t setzt man den Punkt A(-2/0) ein und erhält für t = 2m und somit

die Geradenschar y = mx + 2m

Schnittbedingung: Gleichsetzen der Funktionsterme

 mx + 2m = 0,5x^2 +2
oder

 0,5x^2 - mx +2 - 2m = 0


Dies ist eine quadratische Gleichung mit a = 0,5;b = -m und c = 2-2m

Berühren von Gerade und Parabel: heißt, dass die obige Gleichung nur eine Lösung besitzen darf. Darüber entscheidet die Diskriminante D =  b^2 - 4ac und diese muss den Wert 0 besitzen:

 m^2-2(2-2m) = 0
 m^2+4m -4 = 0

Eingesetzt in die quadratische Lösungsformel

m_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}


ergibt dies:

m_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+16}}{2} und teilweise radiziert, Faktor 2 ausgeklammert und gekürzt:

m_{1,2}=-2\pm\ 2 \sqrt{2} </br>

Es gibt also zwei den Graphen berührende Tangenten, die durch den Punkt A verlaufen.


Arbeitsaufgaben Teil 2: Sich berührende Parabeln


DieHerstellung der Scheitelform der Parabel  y = 0,5x^2 − x + 2 geschieht durch quadratische Ergänzung:

 y = 0,5x^2 - x + 2

 y = 0,5(x^2 − 2x   + 1 )+ 2  - 0,5

 y = 0,5(x - 1)^2 + 1,5 . Der Scheitel ist also bei S(1/1,5)


Der Lösungsgang für die weitere Aufgabe besteht wieder im Gleichsetzen der Funktionsterme

 0,5x^2 -x + 2 = - x^2 + bx
1,5x^2 -(b+1)x + 2 = 0

Berührung mittels des Diskriminantenkriteriums:

 (b+1)^2 - 12 = 0

 b+1 =\pm\sqrt{12}
 b =-1\pm\ 2 \sqrt{3}


Arbeitsaufgaben Teil 3: Tangenten an andere Funktionen