Herleitung Logistisches Wachstum

$f'(t) = k \cdot f(t) \cdot (G-f(t))\Rightarrow$

$\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = k$ (Separation)

(Partialbruchzerlegung) $\frac{f'(t)}{f(t)(G-f(t)} = \frac{A}{f(t)} +\frac{B}{G-f(t)}$$\quad \Rightarrow$

$f'(t)=f(t)(B-A)+A\cdot G\Rightarrow$

$A=B=\frac{f'(t)}{G}$

$\frac{f'(t)}{G \cdot f(t)} +\frac{f'(t)}{G \cdot (G-f(t)} =k$$\Rightarrow$

(Jetzt beide Seiten integrieren)

$\frac{ln(f(t))}{G} -\frac{ln(G-f(t))}{G} = k \cdot t+C\Rightarrow$

$ln(f(t))-ln(G-f(t))=G \cdot k \cdot t+C_1 \Rightarrow$

$ln\frac{f(t)}{G-f(t)}=G \cdot k \cdot t+C_1 \Rightarrow$

$\frac{f(t)}{G-f(t)} =e^{Gkt} \cdot C_2\Rightarrow$

$f(t)=e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot G-e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot f(t)\Rightarrow f(t)+e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot f(t)=e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot G\Rightarrow$

$f(t)(1+e^{Gkt} \cdot C_2)=e^{Gkt} \cdot C_2 \cdot G\Rightarrow$

$f(t)=\frac{e^{Gkt} \cdot G \cdot C_2}{1+e^{Gkt} \cdot C_2} =\frac{G}{1+b \cdot e^{-Gkt}}$

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Nachfolgend eine alternative Herleitung der Funktion des logistischen Wachstums (u.a. ohne Partialbruchzerlegung; außerdem wurde noch eine motivierende Anwendung angefügt; die PDF-Datei entstammt aus einem Projekt der Stormarnschule (in Ahrensburg / Schleswig-Holstein)