Überlagerung von Bewegungen

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Der Kosinussatz

Mit dem Kosinussatz ist es auch in einem schiefwinkeligen Dreieck möglich unbekannte Winkel oder Seiten zu berechnen. Es ist eine allgemeinere Form des Satzes von Pythagoras. Der Kosinussatz lautet:

a^2 \ + \ b^2 \ - \ 2ab \ \cdot \  \cos \ \gamma \ = \ c^2

setzen wir für ein rechtwinkeliges Dreieck

\gamma \ = \ 90^\circ,

so fällt der hintere Teil weg, da

\cos \ 90^\circ \ = \ 0

ist. Daraus ergibt sich für rechtwinkelige Dreiecke der Satz des Pythagoras:

a^2 \ + \ b^2 \ = \ c^2

Bewegung in und auf der Elbe

  1. Ein Kanufahrer fährt mit einem gemieteten Transporter von Hamburg nach Dresden. Dort gibt er das Leihfahrzeug ab und lässt das mitgebrachte Kanu zu Wasser um in einer mehrtägigen Aktion zurück nach Hamburg zu paddeln.
    1. Warum fährt er nicht mit dem Kanu von Hamburg nach Dresden?
    2. Welche Geschwindigkeit erreicht der Kanut, wenn er auf der Alster bei Windstille eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 2 \textstyle \frac{m}{s} erreicht und die Elbe eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 3 \textstyle \frac{m}{s} hat? Löse die Aufgabe sowohl rechnerisch als auch graphisch!
  2. Ein 5er-Ruderboot kommt dem Kanut auf seiner Reise entgegen. Das Boot schafft auf einem still stehenden Gewässer über kurze Strecken eine Geschwindigkeit von 5 \textstyle \frac{m}{s}
    1. Mit welcher Geschwindigkeit (relativ zu einem Beobachter auf einer Parkbank) bewegt sich das Ruderboot? Löse die Aufgabe graphisch und rechnerisch!
    2. Mit welcher Geschwindigkeit (relativ zum Kanut) bewegt sich das Ruderboot? Löse die Aufgabe graphisch und rechnerisch!
  3. In Hamburg hat die Elbe eine Breite von bis zu 1km. Der Kanut möchte auf die andere Elbseite schwimmen. Er schwimmt dazu exakt im rechten Winkel zur Strömungsgeschwindigkeit der Elbe.
    1. Welche Geschwindigkeit (über Grund) erreicht er, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 1{,}5 \frac{m}{s} schwimmt? Löse die Aufgabe graphisch und rechnerisch!
    2. Welchen Weg legt er dabei zurück? Bitte löse auch diese Aufgabe wieder zunächst graphisch und dann rechnerisch!

Weitere Aufgaben

  1. Ein Boot fährt in einem Winkel von 30^\circ zur Strömungsrichtung eines Flusses. Das Schiff hat eine Geschwindigkeit von 9 \frac{m}{s} relativ zum Wasser. Der Fluss hat eine Strömungsgeschwindigkeit von 2 \frac{m}{s}.
    • Ermittle graphisch und rechnerisch die Geschwindigkeit des Bootes über Grund!
    • Ermittle graphisch und rechnerisch welche Strecke das Boot über Grund in  3 minzurücklegt!
  2. Ein Boot fährt auf dem gleichen Fluss von einem Anleger auf der Nordseite los. Es fährt mit einem Winkel von 90^\circ zur Strömungsrichtung mit einer Geschwindigkeit von 9 \frac{m}{s}.
    • Wie groß ist seine Geschwindigkeit über Grund?
    • Der Fluss hat eine Breite von 1km. Ermittle wie weit das Boot abgetrieben wurde und wie weit die Strecke ist, die das Boot über Grund zurück gelegt hat!
    • Ermittle den Winkel zur Strömungsrichtung, mit dem das Boot bei einer Geschwindigkeit von 9 \frac{m}{s} den ursprünglichen Anleger auf direktem Wege wieder erreicht!


Überlagerung von gleichförmiger & beschleunigter Bewegung

Wird ein Ball in einem beliebigen Winkel geworfen, lässt sich seine Geschwindigkeit in zwei Komponenten zerlegen. Die Geschwindigkeit in x-Richtung ist leicht zu berechnen. Da wir die Luftreibung außer Acht lassen, bleibt diese Geschwindigkeits­komponente konstant.

v_x \ = \ v \ \cdot \ \cos \ \beta

Die Geschwindigkeit in y-Richtung ändert sich durch die wirkende Erdbeschleunigung:

v_y \ = \ v \ \cdot\ \sin \ \beta \ - \ g \ \cdot \ t

Als Formel für die zurück gelegte Strecken ergeben sich mit

s_{\text{gleichfoermig}} \ =\ v\ \cdot \ t
s_x \ =\ v\ \cdot\ t\ \cdot\ \cos \beta

und

s_{\text{beschleunigt}} \ =\ \frac{1}{2}\ \cdot\ g\ \cdot\ t^2
s_y \ =v\ \cdot \ \sin \beta \ - \frac{1}{2}\ \cdot\ g\ \cdot\ t^2

Übungsaufgaben

  1. In einem Zug der mit einer konstanten Geschwindigkeit von 72 \frac{km}{h} auf gerader Strecke fährt, lässt ein Kind einen weiß-blau gesprenkelten Ball im Rechten Winkel zur Fahrtrichtung rollen. Der Ball hat eine Geschwindigkeit von 2 \frac{m}{s} relativ zum Zug.
    • Ermittle die Geschwindigkeit des Balls relativ zum Gleisbett!
    • Ermittle die Geschwindigkeit des Balls, wenn dieser in einem Winkel von
      1. 30^\circ zur Fahrtrichtung gerollt wird.
      2. 90^\circ zur Fahrtrichtung gerollt wird.
      3. 120^\circ zur Fahrtrichtung gerollt wird.
  2. Ein Fluss hat eine Strömungsgeschwindigkeit von 9 \frac{m}{s}. Es steht ein Boot zur Verfügung, dass eine Geschwindigkeit von 12 \frac{m}{s} erreicht.
    • Ermittle den Winkel relativ zur Strömungsgeschwindigkeit unter dem der Fluss auf dem kürzesten Weg überquert werden kann.
    • Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Boot dabei über Grund?
  3. Weiterführend:
    Wurfparabel mit Höhen- und Zeitskala (Wurf mit 36 \frac{m}{s} unter 63^\circ, (ohne Luftreibung)
    Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit von 36 \frac{m}{s} unter einem Winkel von 63^\circgeworfen.
    • Berechne die Zeit, die der Ball fliegt! (Am höchsten Punkt beträgt die Geschwindigkeit kurzzeitig v_y\ =\ 0 \frac{m}{s})
    • Berechne die Höhe die der Ball maximal erreicht!
    • Berechne die Strecke in x-Richtung, die der Ball zurücklegt!