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.Aufgabe bearbeitet von::--Joao99OB (Diskussion) 16:52, 14. Nov. 2015 (CEST)

Nr.1.1

Wir haben die Funktion h(t)gegeben. t entspricht die Zeit in Stunden, h(t) entspricht die Höhe in 100m.
Gesucht ist nun die Dauer der Ballonfahrt und die größte erreichte Höhe.

h(t)=2t^{2}  \cdot (1,5-ln(t))



Zuerst gehen wir auf die Dauer der Ballonfahrt ein. Dabei brauchen wir die beiden Nullstellen der Funktion.

0=2t^{2}\cdot (1,5-ln(t))

0=1,5-ln(t)

ln(t)=1,5

t=e^{1,5}\approx4,4817h

Die Ballonfahrt hat eine Dauer von ca. 4,5 Stunden

Nun Berechnen wir die größte erreichte Höhe des Ballons

h{}'(t)=4t\cdot (1,5-ln(t))+2t^{2}\cdot (-\frac{1}{t})

       = 6t-4t\cdot ln(t)-2t

=4t\cdot (1-ln(t))

Da die erste Ableitung von h(t) gleich die Steigung m(t) ist, muss man die Extremstelle finden, um dann auf die größte erreichbare Höhe des Ballons zu kommen.

0=4t\cdot (1-ln(t))

t_{1}=0


ln(t)=1


t=e


t_{2}=e\approx2,718


h{}''(t)= -4\cdot ln(t)


h{}''(e)= -4 < 0

= Maximum


Der Ballon braucht 2,718h, um den höchsten Punkt seiner Flugbahn zu erreichen.

Für t setzt man bei h(t) den Wert von t2 ein.

h(t)=2e^{2}\cdot (1,5-ln(e))

=e^{2}

h(t)\approx 7,389

h_{Gesamt}=7,389\cdot 100= 738,9m

Die maximale Höhe der Ballonflugbahn beträgt 738,9m

Nr.1.2

Gesucht ist nun der Zeitpunkt der höchsten Steigung und der stärksten Senkung des Heißluftballons. Dabei wird auch die Steig-und Senkgeschwindigkeit wie auch die jeweilige Höhe gesucht.
Abituraufgabe graph
Wir wissen dass die Steigung extremal an der Wendestelle ist.
Berechnung des Wendepunktes:

h{}''(t)=4\cdot (1-ln(t))+4t\cdot (-\frac{1}{t})

h{}''(t)=4-4\cdot ln(t)-4

h{}''(t)=-4\cdot ln(t)


0=-4\cdot ln(t)

0= ln(t)

1=t


h{}'''(1)=-4 \neq 0

h(1)=3

W(1/3)

h_{Steigung}=3\cdot 100m=300m

t_{Steigung}=1h


Maximale Steiggeschwindigkeit:


h{}'(t)=m(t)

h{}'(1)= 4\cdot 1 (1-ln(1))
h{}'(1)= 4
Das entspricht:

v=\frac{\Delta y}{\Delta x}= m(x)


v=\frac{4\cdot 100m}{1h}

400\frac{m}{h}=\frac{20}{3}\frac{m}{min}=\frac{1}{9}\frac{m}{s}

Die Steiggeschwindigkeit beträgt demnach \frac{1}{9}\frac{m}{s}, der Zeitpunkt ist 1h und die Höhe beträgt 300m.


Maximale Sinkgeschwindigkeit

Längere abi
Durch Probieren an mehreren Sinkstellen (vom Hochpunkt bis zur zweiten Nullstelle) die Größte Senkung herauszubekommen, habe ich die Größte an der Stelle t=4,5 entdeckt.


Da die größte Senkung bei der Landung herrscht, muss man die zweite Nullstelle von h(t)=e1,5 in die erste Ableitung einsetzen.

h{}'(e^{1,5})= 4\cdot e^{1,5}\cdot (1-ln(e^{^{1,5}}))
= -2\cdot e^{1,5}\approx -8,963

Wir haben nun als Bedingung für die maximale Sinkgeschwindigkeit die größte Senkung. Um diese in die Sinkgeschwindigkeit umzuwandeln, braucht man folgene Formel:

v=\frac{\Delta y}{\Delta x}=m(x)



v=\frac{-8,963\cdot 100}{1}


-896,34\frac{m}{h}\approx -0,24\frac{m}{s}


Die Sinkgeschwindigkeit beträgt-0,24\frac{m}{s} und die Zeitzone ist 4,5h.

.Aufgabe bearbeitet von:--Jonas98OB (Diskussion) 14:22, 24. Okt. 2015 (CEST)

Erklärung der Kettenregel:

Die Kettenregel für Ableitungen besagt, wie verknüpfte Funktionen abgeleitet werden. Verknüpfte Funktionen werden also abgeleitet, indem man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion bildet, in diese Ableitung die innere Funktion unverändert einsetzt und anschließend das Ergebnis noch einmal mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. In Kurzform kann man sich die Kettenregel merken als: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung".

Beispiel:

Wir haben diese Funktion:

h\left( x \right)=\left( 8x+2 \right)^{ 3 }

In dieser Funktion sind zwei Funktionen versteckt:

f\left( x \right)=8x+2

g\left( x \right)=x^{ 3 }

Dabei ist f die äußere und g die innere Funktion. Nun müssen wir die Ableitung von f und g bilden:

f^{ / }\left( x \right)=8

g^{ / }\left( x \right)=3x^{ 2 }

Jetzt bilden wir die Ableitung von h, indem wir g in f´einsetzen und das Ergebnis mit g´multiplizieren:

Die allgemeine Formel lautet so :h^{ / }\left( x \right)=f^{ / }\left( g\left( x \right) \right) \cdot g^{ / }\left( x \right)

h^{ / }\left( x \right)=3\left( 8x+2 \right)^{ 3 } \cdot 8

h^{ / }\left( x \right)=24\left( 8x+2 \right)^{ 3 }


2.1


0=\frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }

0=\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }

0=20x^{ 2 }-x^{ 3 }

0=x^{ 2 }\left( 20-x \right)

x_{ 1 }=0

x_{ 2 }=20


2.2


f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }

g\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 4 }

g^{ / }\left( x \right)=0

k\left( x \right)=\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }

k^{ / }\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 2\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } } }\cdot\left( 40x-3x^{ 2 } \right)

f^{ / }\left( x \right)=\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }\cdot0+\frac{ 1 }{ 4 }\cdot\left( \frac{ 1 }{ 2\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } } }\cdot\left( 40x-3x^{ 2 } \right) \right)

f^{ / }\left( x \right)=0+\frac{ 40x-3x^{ 2 } }{ 8\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } } }

f^{ / }\left( x \right)=\frac{ 40x-3x^{ 2 } }{ 8\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } } }

f^{ / }\left( x \right)=0

0=\frac{ 40x-3x^{ 2 } }{ 8\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } } }

0=\frac{ 40-3x }{ 8\sqrt{ 20-x } }

0=40-3x --> wir schauen uns nur den oberen Part an, da wenn man dort 0 rausbekommt ergibt alles 0

3x=40

x=\frac{ 40 }{ 3 } --> dies ist die Stelle auf der x-Achse, wo der Ballonäquator liegt

Jetzt wird der x-Wert in die Ursprungsformel eingesetzt damit man den Radius herausbekommt

f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20\cdot\left( \frac{ 40 }{ 3 }\right)^{ 2 }-\left( \frac{ 40 }{ 3 } \right)^{ 3 } }

f\left( x \right)=8,6

Nun muss man den Umfang des Lastbandes ausrechnen damit man die Länge herausbekommt --> U=2 \pi r

U=2\cdot\pi\cdot8,6

U=54,1

Berechnung des Durchmessers des Brennerrahmens

f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20\cdot1^{ 2 }-1^{ 3 } }

f\left( x \right)=1,1

d=2,2

.Aufgabe bearbeitet von:--Jonas98OB (Diskussion) 12:03, 19. Okt. 2015 (CEST)

Berechnung des Volumens des Ballons

V=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^{ 2 }dx

f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }

Heißluftballon um 90° gedreht

Beachte bei der Abbildung: Eingezeichnet ist nicht die Höhe des Ballons, sondern der Radius am Ballonäquator; --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 18:13, 3. Nov. 2015 (CET)


1. Schritt: Berechnung der beiden Integralgrenzen.

0=\frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }

0=\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } }

0=20x^{ 2 }-x^{ 3 }

0=x^{ 2 }\left( 20-x \right)

x_{ 1 }=0

x_{ 2 }=20


2. Schritt: Berechnung des Volumens

V=\pi\int_{a}^{b}\left( \frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } } \right)^{ 2 }dx

V=\pi\int_{1}^{20}\left( \frac{ 1 }{ 4 }\sqrt{ 20x^{ 2 }-x^{ 3 } } \right)^{ 2 }dx

V=\pi\int_{1}^{20}\left( \frac{ 1 }{ 16 }\left( 20x^{ 2 }-x^{ 3 } \right) \right)dx

V=\pi\int_{1}^{20}\left( \frac{ 5 }{ 4 }x^{ 2 }-\frac{ 1 }{ 16 }x^{ 3 } \right)dx

V=\pi\left[ \frac{ 5 }{ 12 }x^{ 3 }-\frac{ 1 }{ 64 }x^{ 4 } \right]_{1}^{20}

V=\pi\left( \frac{ 5 }{ 12 }\cdot20^{ 3 }-\frac{ 1 }{ 64 }\cdot20^{ 4 }-\left( \frac{ 5 }{ 12 }\cdot1^{ 3 }-\frac{ 1 }{ 64 }\cdot1^{ 4 }\right) \right)

V=\pi\left( \frac{ 5 }{ 12 }\cdot8000-\frac{ 1 }{ 64 }\cdot160000-\left( \frac{ 5 }{ 12 }-\frac{ 1 }{ 64 } \right) \right)

V=\pi\left( \frac{ 10000 }{ 3 }-2500-\frac{ 77 }{ 192 }\right)

V=\pi\cdot ( 833,3-0,4)

V=832,9\pi

V\approx2616,63

Man würde den Ballon mit Zylindern ausfüllen, wobei man das jeweilige Volumen bestimmen könnte; das ist die Herleitung unseres Rotationsvolumens; wir hatten es seinerzeit mit den Türmen von Hanoi veranschaulicht.--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 20:00, 23. Aug. 2016 (CEST)