A12

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1. Aufgabe von (--Karo99OB (Diskussion) 20:38, 10. Jul. 2016 (CEST)) bearbeitet

1.1.)

Skizze



































1.2)

Geradengleichung berechnen:


Die Geradengleichung lautet: f(x)=mx+b

Da der Steigungswinkel \gamma der Geraden gegeben ist, können wir die Steigung mit dem Tangens berechnen:

f(x)=-tan(35) \cdot x + 50,64

f(x)=-0,7
 \cdot x + 50,64

Die Gerade muss um 50,64 nach oben verschoben werden, da sie ihren y-Achsenabschnitt bei dem Punkt  P_A (0| 50,64) hat .


Punkt  P_E berechnen:


Da man die Länge der Strecke \overline{P_{A}P_{E}} kennt kann man die X-Koordinate mit dem Kosinus berechnen.


Dreieck 90
















\begin{align}

cos(\alpha)& =\frac{A}{H}\\


cos(35) & = \frac{x}{56,3}\\

x & = cos(35) \cdot 56,3\\

x & =46,12 \\

\end{align}


Da wir nun unseren Wert für x haben können wir diesen in die in 1.2 ermittelte Geradengleichung einsetzen und somit unsere y-Koordinate erhalten:

\begin{align}

f(x) & =-0,7 \cdot x + 50,64\\

f(46,12) & = -0,7 \cdot 46,12 + 50,64\\

& = 18,35

\end{align}


Somit ist der Punkt dann:

P_E(46,12|18,35)


1.3.)

m_1=-0,7 ist die Steigung des oberen gradlinigen Auslaufteils, welche wir mit der Geradengleichung in 1.2 bestimmt haben.

m_2=1,43 ist die Steigung der Geraden zwischen den Punkten M und P_E.

Man berechnet sie mit der Formel:

m=\dfrac {\Delta y}{\Delta x} = \dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}


P_M(106,36|104,35)

P_E(46,12|18,35)


\begin{align}

m_2 & =\dfrac {104,35-18,35}{106,36-46,12}\\

& = 1,4267\\

\end{align}



m_1 \cdot m_2 = -0,7 \cdot 1,4267 \approx -1

Das Produkt aus den beiden Steigungen ergibt -1. Daraus kann man schließen, dass die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen. Somit ist der Übergang vom gradlinigen Teil der Schanze zum Übergangsbogen ohne Knick.



Zeichnung

























2 . Aufgabe von --Karo99OB (Diskussion) 20:27, 15. Jul. 2016 (CEST) bearbeitet

Folgende 4 Bedingungen sollen für die Funktion p_3(x) gelten:


p_3(x)=-0,000028053x^3+0,011864312x^2-1,61556349x+70,3757036


1.)

Da sich die kubische Parabel ohne Knick an den Punkt P_E anschmiegen soll, muss dieser Punkt auf der Parabel liegen und gelten :

p_3(46,12)=18,35


2.)

Da sich die kubische Parabel ohne Knick an den Punkt P_S anschmiegen soll, muss dieser Punkt auf der Parabel liegen und gelten :

p_3(86,35)=1,28


3.)

Da sich die kubische Parabel ohne Knick an den Punkt P_E anschmiegen soll, muss die Parabel an dieser Stelle die gleich Steigung besitzen :

p_3'(46,12)=-0,7


4.)

Da sich die kubische Parabel ohne Knick an den Punkt P_S anschmiegen soll, muss die Parabel an dieser Stelle die gleich Steigung besitzen :

p_3'(86,35)=0,194



Bedingungen in P_E prüfen:


Zuerst bildet man die Ableitung:

p_3(x)=-0,000028053x^3+0,011864312x^2-1,61556349x+70,3757036

p_3'(x)=- 0,000084159x^2+ 0,023728624x-1,61556349


1.)

p_3(46,12)=-0,000028053 \cdot (46,12)^3+0,011864312 \cdot (46,12)^2-1,61556349 \cdot 46,12 +70,3757036=18,34996


2.)

p_3(86,32)=-0,000028053 \cdot (86,32)^3+0,011864312 \cdot (86,32)^2-1,61556349 \cdot 86,32 +70,3757036=1,2797


3.)

p_3'(46,12)=- 0,000084159 \cdot (46,12)^2+ 0,023728624 \cdot 46,12-1,61556349= -0,7002


4.)

p_3'(86,32)=- 0,000084159 \cdot (86,32)^2+ 0,023728624 \cdot 86,32-1,61556349= -0,1944


-> Alle Bedingungen werden somit von der kubischen Parabel p_3 erfüllt.

3. Aufgabe von --Karo99OB (Diskussion) 18:38, 16. Jul. 2016 (CEST) bearbeitet

3.1)

Die Funktion y_{Kreis}\left( x\right) kann man mit dieser Zeichnung erklären:


Kreis

















Um den Radius (hier R) herauszufinden, benutzt man den Satz des Pythagoras:

(x-x_m)^{2} +(y-y_m)^{2}=R^2


Nun löst man diese Gleichung nach y auf, um die Funktion zu erhalten:

\begin{align}

(y-y_m)^{2}&=R^2  -(x-x_m)^{2}\\

y-y_m&=-\sqrt{R^2  -(x-x_m)^{2}}\\

y_{Kreis}=y&=y_m-\sqrt{R^2  -(x-x_m)^{2}}\\

 \end{align}


Nun soll man die Ableitung der Funktion y_{Kreis}\left( x\right) bilden:


y_{Kreis}\left( x\right) =y_m-\sqrt {R^{2}-\left( x-x_m\right)^{2}}

y^{'}_{Kreis}\left( x\right) =-\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{\sqrt {R^{2}-\left( x-x_{m}\right) ^{2}}} \cdot 2 \cdot (-(x-x_m))

y^{'}_{Kreis}\left( x\right) = \dfrac {(x-x_m)}{\sqrt {R^{2}-\left( x-x_{m}\right) ^{2}}}


Kasten erklären:

Schaut man sich die Zeilen(1) und (2) an, kann man erkennen, dass lediglich y^{'}_{Kreis}\left( x\right) ^{2} ersetzt wurde. Also wurde die schon oben ermittelte Ableitung quadriert und eingesetzt:

\begin{align}

 L_{Bogen}& =\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+y'_{Kreis}(x)^2} dx\\


       & =\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\left ( \frac{x-x_m}{\sqrt{R^2-(x-x_m)^2}}\right )^2} dx\\

\end{align}


Beim Betrachten der Zeilen (2) und (3) fällt auf, dass x-x_m durch z substituiert wurde:

\begin{align}

L_{Bogen} & =\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\left ( \frac{x-x_m}{\sqrt{R^2-(x-x_m)^2}}\right )^2} dx\\

 & =\int_{z_1}^{z_2} \sqrt{1+\left ( \frac{z}{\sqrt{R^2-z^2}}\right )^2} dz\\

\end{align}


Die Veränderung von Zeile (3) bis (4) ist etwas komplexer. Hier wurde der Teil der Gleichung unter der Wurzel zusammengefasst:

1+\dfrac {z^{2}}{R^{2}-z^{2}} = \dfrac {R^{2}-z^{2}}{R^{2}-z^{2}}+\dfrac {z^{2}}{R^{2}-z^{2}}=\dfrac {R^{2}}{R^{2}-z^{2}}

Gesamter Schritt:

\begin{align}

L_{Bogen} & =\int_{z_1}^{z_2} \sqrt{1+\left ( \frac{z}{\sqrt{R^2-z^2}}\right )^2} dz\\

& =\int_{z_1}^{z_2} \sqrt{\frac{R^2}{R^2-z^2}} dz\\

\end{align}


3.2)


Man kann das Ergebnis (7) benutzen, um die Länge des kreisförmigen Bogens der Schanze zu berechnen:

(7) L_{Bogen}=R \cdot (\varphi_1 - \varphi_2)


Als erstes berechnen wir den Radius (R) unseres Kreises mit dem Mittelpunkt M.

Dies können wir mit unserem gegeben Punkt P_E und M berechnen.

Kreis mit Dreieck












\begin{align}

R^2 & =(46,12-106,36)^2+(18,35-104,35)^2\\

R & \approx 105\\

\end{align}



Nun folgen die beiden Winkel \varphi_1 und \varphi_2.


Kreis
















\begin{align}

sin(\varphi_1)& =\frac {G}{H}=\frac{x_1-x_m}{R}\\

sin(\varphi_1)& =\frac{46,12-106,36}{105}\\

\varphi_1 & = - 35^o

\end{align}



\begin{align}

sin(\varphi_2)& =\frac {G}{H}=\frac{x_2-x_m}{R}\\

sin(\varphi_2)& =\frac{86,32-106,36}{105}\\

\varphi_2 & = - 11^o

\end{align}


Um die Werte in unsere Formel einsetzen zu können, müssen wir die Winkel in Bogenmaß umrechnen:


\varphi_1= \dfrac {35 \cdot \pi } {180} = \dfrac {7} {36} \cdot \pi


\varphi_2= \dfrac {11 \cdot \pi } {180} = \dfrac {11} {180} \cdot \pi


Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

L_{Bogen}=R \cdot (\varphi_1 - \varphi_2)=105 \cdot ( \dfrac {7}{36} \cdot \pi - \dfrac {11}{180} \cdot \pi ) =43,98

Somit beträgt die Länge des Kreisbogens 43,98 Meter.


Alternative:

\int_{z_1}^{z_2} \sqrt{\frac{1}{R^2-z^2}} dz= R \left [ arcsin\left ( \frac{z}{R} \right )\right ]^{z_2}_{z_1}

Zuerst haben wir die Stammfunktion gebildet, welche sich in der Formelsammlung finden lässt, um dann jeweils z_1 und z_2 einzusetzen:

=R \left ( arcsin \left ( \frac{x_2-x_m}{R} \right ) -arcsin \left ( \frac{x_1-x_m}{R} \right ) \right )

Zum Schluss ersetzen wir {x_2-x_m} und {x_1-x_m} noch mit den entsprechenden Zahlen:

=105 \left ( arcsin \left ( \frac{46,12-106,36}{105} \right ) -arcsin \left ( \frac{86,32-106,36}{105} \right ) \right )

Und kommen zu dem Ergebnis: =105 ( arcsin(-0,57)-arcsin(-0,19))=44,1