Erste HÜ

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Erste HÜ


Inhaltsverzeichnis

Musterlösung erste HÜ

Die Dreierreihe

1+4+7+....+(3n-1)= \frac{1}{2} n(3n-1)   n   \varepsilon IN


Aufgabe a): Untersuchen Sie diese Aussage für n \varepsilon {1;2;3} ( jeweils mit LT und RT )

Lösungsansatz:

Wir setzen unsere Beispiele für den linken und den rechten Term ein und vergleichen die Ergebnisse:

1. Beispiel

   LT= N(1) = 1  
   RT= N(1) = \frac{1}{2}   \cdot 1(3  \cdot  1 - 1)  = 1  \surd 

2. Beispiel

    LT= N(2) = 1+4 = 5 
    RT= N(2) =  \frac{1}{2}  \cdot 2(3 \cdot 2-1) = 5 \surd 

3. Beispiel

    LT= N(3) = 1+4+7= 12 
    RT= N(3) = \frac{1}{2}  \cdot 3(3 \cdot 3-1) = 12 \surd 

Aufgabe b): Schreiben sie bitte diese Gleichung mit dem Summenoperator

   \sum_{i=1}^{n}(3i-2) = \frac{1}{2}  \cdot n(3n-1)

Aufgabe c): Beweisen sie den Satz mit vollständiger Induktion

Lösungsansatz

Schritt für Schritt Voraussetzung und Behauptung aufstellen und dann die Behauptung beweisen.

Voraussetzung

 \sum_{i=1}^{n}(3i-2) = \frac{1}{2}  \cdot n(3n-1)

Behauptung

\sum_{i=1}^{n+1}(3i-2) = \frac{1}{2}  \cdot (n+1)(3(n+1)-2)
 =  \frac{1}{2}  \cdot ( 3n^2+5n+2)

Beweis

Beim Beweis muss der linke Term gleich dem rechten Term sein! LT = RT:

RT =  \frac{1}{2}  \cdot (3n^2+5n+2)

LT = \sum_{i=1}^{n+1}(3i-2) = \sum_{i=1}^{n}(3i-2)+(3(n+1)-2)

LT = \sum_{i=1}^{n+1}(3i-2) = \frac{1}{2}\cdot n\left ( 3n-1 \right )+(3(n+1)-2)

LT = \sum_{i=1}^{n+1}(3i-2) = \frac{1}{2}(3n^2-n)+(3(n+1)-2)

LT = \sum_{i=1}^{n+1}(3i-2) = \frac{1}{2}(3n^2-n)+3n+1

LT = \sum_{i=1}^{n+1}(3i-2) =  \frac{3n^2-n+6n+2}{2}

LT = \sum_{i=1}^{n+1}(3i-2) =  \frac{3n^2+5n+2}{2} =  \frac{1}{2} (3n^2+5n+2) = RT

 q.e.d